构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

一个定理的七十二变

有这样一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的证明方法如下:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=12AB.证法一如图1,延长BC至D使CD=BC,连结AD.根据"边角边"可证△ABC≌     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

利用面积比等于线段比证题

以下两个命题在几何证题中用得较多。命题1 如图1,D是△ABC的边BC所在直线上任一点,则有S_△ABD:s_△ACD=BD:DC. 命题2 如图2,D是△ABC的边BC所在直线上任一点,E是直线AD上任一点,则有s_△ABE:S_△ACE=BD:DC.     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

帕普斯定理的一般形式

容如下: 如图1,在△ABC中。D是BC边上的中点,则有:AB2 AC2=2(AD2 BD2), 这里所要证明的并不是这个定理,而是其一般形式. 在△ABC中,D是BC边或其延长线上一点,且BD:DC=m=1, 求证:AB2 mAC2=(m 1)AD2 m(m 1)DC2.     

纸条打个结结成了一个正五边形

问题将一张等宽的纸条按如图1的方式打一个结,就可以得到一个正五边形(如图1所示).这奇怪吗?为什么呢?让我们用平面几何知识来证明这个问题.首先给一个引理:一个三角形中,如果两边上的高相等,那么这两条边也相等.此引理可由两个三角形全等得证.问题的证明在△EAB中,边EA、AB上的高BH、EG均为纸条的宽度(图2),即BH=EG,∴EA=AB.同理,在△ABC、△BCD中,有AB=BC,BC=CD,∴EA=AB=BC=CD.∵纸条的两条边是平行的,故四边形EABC、ABCD均为等腰梯形,∴∠EAB=∠ABC=∠BCD,∴△EAB≌△ABC≌△BCD,∴BE=AC=BD.①图3在△ABD…     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

一道课外练习题的多解探索

<正>《中学生数学》2016年4月下课外练习题初一年级第3题为:图1是6×6的方格,求∠BAC的度数.参考答案给出的方法是:如图1,连结BE,DE,易知AD=BD,AE=BE,DE=DE.∴△ADE≌△BDE.∴∠ADE=90°.又AD=DE,∴△ADE是等腰三角形,于是∠BAC=45°.下面给出该题的另外四种解法.     

一道中考题的探究

1试题呈现 (2010年北京市中考题)如图1所示,已知△ABC中,∠BAC≠90°,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值,并加以证明.     

一道向量证明题的多角度思考

题目　已知△ABC中 ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若a·b =b·c =c·a ,则△ABC为正三角形 .笔者将该题的证明作为高一期末试题 ,在阅卷中发现同学们给出了许多证法 .今列出其中较为典型的六种证法 ,供同学们学习时参考 .思考 1:由于平面向量具有代数形式和几何形式双重身份 ,因而解题中若能充分利用向量的几何形式 ,将会使问题轻松解决 .图 1　解法 1图证明 1　如图 1,取BC边上的中线AD ,由平行四边形性质得c -d =2AD ,又由条件得 (c -b)·a =0 ,∴ 2AD·a =0 ,∴AD⊥BC ,∴AB =AC .同理AB =BC ,故△ABC是正三角形 .思考 2 :向量的…     

几何一题多解

<正>题目在△ABC中,BD平分∠ABC,E为△ABC外一点,且∠EAB+∠ACB=180°,AE=DC.求证:EF=DF.一、利用截长构造全等三角形方法一在线段BA上截取一点H,使得BC=BH,连结DH.根据BD平分∠ABC以及辅助线,易证△BHD≌△BCD (SAS),所以     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答

题目(重庆市初中数学竞赛)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:BD=CD.分析由题设中的已知条件,△ABC为等腰直角三角形.易求得∠BAD=15°,∠ACD=75°,∠DCB=15°.要证明BD=CD,即要证明∠DBC=15°,或证明点D在BC的中垂线上.     

“三角形内角平分线性质定理”教学实录 湖北省六市、三企教研协作会数学公开课之一

一课题:三角形内角平分性的线质定理。二教学目的 1.理解定理的含义,初步用来解答一些基本习题; 2.理解定理的证明过程,了解这种证法的基本思想。三重点与难点三角形内角平分线的性质定理及其证明过程是重点;证明定理时适当添作辅助平行线是难点。四教学方法:研究式教学法。五教学过程 1.引入新课教师:如图1,已知△ABC中,AB=AC且AD平分∠BAC;那么BD/DC=? AB/AC=? 〔众生举手,教师指定A生回答。〕 A生:BD/DC=1,AB/AC=1。教师:这两个比有何关系?     

寻找主条件,打开解题突破口

<正>一、问题(2016年全国初中数学四川初二初赛13题)已知如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,且AC=AB+BD,求证:AD是∠BAC的平分线.二、问题分析在△ABC中,已知一个边关系AC=AB+BD,一个角关系∠B=2∠C,欲证明AD是角平分线.从哪里入手呢?题目给出的两个已知条件还不能直接建立联系.此时可以选择其中一个为主条件,从它出发找到解决问题的突破口实现问题解决.