对椭圆中的一类张角的最值初探

对椭圆中的一类张角的最值初探江苏省灌云县中学李平龙在解析几何中关于椭圆的复习教学时，常遇如下问题：求椭圆上的动点对两焦点、长（短）轴的两端点所张的角的最值．笔者经联想、探索将其推广到较为一般的情况，并给出便于应用的结论．这类问题的一般形式是：已知Ｐ（...     

椭圆“特征焦点三角形”的一个性质

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明　不妨设椭圆方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,两焦点Ｆ1 (-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1 | + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1 Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1 ＰＦ2=0 ,显然α >∠Ｆ1 ＰＦ2 .…     

椭圆特征焦点三角形的一个性质及应用

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证　不妨设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 ) ,两焦点Ｆ1( -ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =0 ,显然α >∠Ｆ1ＰＦ2 .当Ｐ…     

椭圆中两类张角最大值的推求及其应用

定理1 在椭圆上一点到该椭圆长轴两端的张角中，以短轴端点到长轴两端的张角最大．     

关于椭圆中最大角的一个定理

定理 若点P是椭圆上的任意一点,F1、F2是椭圆的两焦点,当点P是短轴的端点时,∠F1PF2为最大．     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

椭圆上对两焦点的视角θ的探究

椭圆上对两焦点的视角指的是椭圆上的点与两焦点的连线所成的角,在有关椭圆知识的综合应用中常涉及这个角,因此有必要对这个角作个系统的研究。     

圆锥曲线上的点对焦点张直角的性质

圆锥曲线上的点对焦点张直角的性质６６３３００云南广南一中玉炳图中的参数叫做椭圆和双曲线的离心角，本文给出椭圆和双曲线的离心率ｅ和离心角之间的一个重要的关系式，然后举例说明它们在解题中的应用．上的一点，则点Ｐ对椭圆两焦点张直角的充要条件是证明必要性。设...     

关于椭圆离心率的一组优美结论

<正>文[1]给出了双曲线离心率的一组优美结论.类似地,本文给出椭圆离心率的一组优美结论.引理椭圆上异于长轴端点的各点对长轴端点(或焦点)的张角中,以短轴端点的张角最大.     

二次曲线的切线与三角形的角平分线

笔者在考察椭圆、双曲线、抛物线的图形时,得到以下结论：曲线上任一点与两焦点或与焦点及该点到准线的垂线段所构成的三角形的角平分线为曲线的过该点的切线．现分述如下,请同行指正．引理１　过椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．定理１　椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）与椭圆的两焦点Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）所构成的△ＰＦ１Ｆ２在顶点Ｐ的外角的平分线为过椭圆上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线．证明　根据椭圆的对称性…     

关于二次曲线相切的定理

关于二次曲线相切的定理熊大桢江西南昌三中９５０１２１３两条二次曲线相切的定义：两条二次曲线有公共点并且在公共点上有公共的切线；则这两条二次曲线在这点相切．焦点参数和余焦点参数的定义：过二次曲线的一个焦点作和焦点所在的轴垂直的直线与二次曲线相交则从焦点...     

过椭圆上一点做椭圆切线的一种方法

过椭圆上任一点(非顶点)A作切线的方法是先作A关于两焦点张角的平分线,再过A作平分线的垂线即可.现在有另一种方法: 设椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2;A为椭圆上的任一点(非顶点).     

圆与椭圆的一组相关性质

本文拟介绍关于圆x2 y2=a2与椭圆x2a2 y2b2=1的一组相关性质.图1定理1图定理1如图1,点A,B分别为椭圆x2a2 2yb2=1的左顶点和右顶点,点F1,F2分别为椭圆x2a2 2yb2=1的左焦点和右焦点,过椭圆x2a2 2yb2=1上异于点A,B的任一点P引椭圆x2a2 2yb2=1的切线交圆x2 y2=a2于点M,N(两交点中偏     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

椭圆焦点三角形最大顶角问题解法归纳和应用

椭圆中焦点三角形由于综合了椭圆的第一定义、第二定义、焦半径公式、三角函数以及解三角形的常用知识,近几年的数学高考试题中出题比较多,对焦点三角形的处理我们一般有三个常见思路：余弦定理、正弦定理以及向量,本文对椭圆的焦点三角形最大顶角问题探讨思路进行挖掘,并得出一些有用的结论和它们的应用,希望读者能据此举一反三,得出更多的结论．     

这样处理合适吗？

在高三复习时，遇见这样一道题目： （山东省烟台市2008年高三年级诊断性测试数学试题）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=√2/2，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e．直线l与y轴交于点P（O，m），与椭圆C交于相异两点A，B．且AP=λPB.     

2010年安徽卷理科19题的探究

题目已知椭圆C经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=(1)/(2). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程; (Ⅲ)在椭圆C上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.     

圆锥曲线中"张角为直角的弦"问题概述

圆锥曲线的弦对一些特征点(顶点、中心、焦点等)张角为直角的问题,是圆锥曲线中非常典型的问题,蕴涵着解析几何丰富的思维方法和思想精髓,近年来全国各地的高考对这方面内容的考查也方兴未艾、精彩不断.本文试图对历年的高考数学试卷中的这类问题罗列、归纳与思考,以便于我们的高考复习作些参考.1与顶点的张角为直角的弦试题1(2007年山东省高考数学试题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l∶y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径…     

一道椭圆试题的引申

2005年全国高考文科卷Ⅰ第（22）题：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，OA＋OB与a=（3，-1）共线．     

有心圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多性质，已为人们所熟悉，对其他性质的讨论仍然吸引着广大的数学爱好者．笔者在教学中发现圆锥曲线的又一性质，现把它介绍如下．定理１设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），两焦点为Ｆ１（－Ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０）．点Ｑ为椭圆上除顶点外的任意...