四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体。它是三角形在空间的直接推广．四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．如：连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分；连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G．且这点将所在线段分成的比为3：1。这个点G称为四面体的重心；四面体都有外接球和内切球；等等．等腰四面体（对棱均相等的四面体）、直角四面体（有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体）和正四面体是三种特殊的四面体．在竞赛中经常涉及到．较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决，常用的数学思想方法有变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等．     

解等腰四面体的简易方法

等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体.竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题,通过把等腰四面体补全为立(长)方体,我们就会有“山重水复疑图1无路,柳暗花明又一村”的感觉.例1(2000年全国高中数学联赛题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是.     

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？４４３０００宜昌师专数学系９３２１班丁评虎以前，我一直认为，外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体．后来，仔细研究这一问题时，我吃惊的发现上述结论竞是错误的．定理四面体外接球、内切球球心重合的充要条件是四...     

四面体表面积与体积的平分

引题如图1,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球的球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,试比较四棱锥A- BEFD与三棱锥A-EFC的表面积的大小．     

正交四面体中的十二点共球定理

三双对棱互相垂直的四面体叫做正交四面体．关于正交四面体，我们有定理正交四面体棱的中点，对棱的公垂线段的端点，凡十二点共球．为叙述方便起见，我们不妨称此定理为十二点球定理．先看下面的引理．引理１正交四面体中对棱中点的连线段相等且互相平分．图１证如图１，...     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体,它是三角形在空间的直接推广.四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来,如:连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分;连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G,且这点将所在线段分成的比为3:1,这个点G称为四面体的重心;四面体都有外接球和内切球;等等.等腰四面体(对棱均相等的四面体)、直角四面体(有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体)和正四面体是三种特殊的四面体,在竞赛中经常涉及到.较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决,常用的数学思想方法有变…     

一道高考试题的推广及引申

2006年江西高考第11题如图1,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC     

四面体同垂心和高有关的两个性质

四面体同垂心和高有关的两个性质６３２２６０四州江津江津中学冯华本文介绍四面体的两个有趣性质．定理１设Ｈ是四面体ＡＢＣＤ的垂心，Ｒ为四面体外接球的半径．则：定理的证明需要以下引理．引理１［１］具有垂心的四面体．外心，重心，垂心三点共线，且外心到重心的距...     

解等腰四面体的简易方法

等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体．竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题。通过把等腰四面体补全为立（长）方体．我们就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。     

四面体

四面体是最简单的多面体，它具有很多类似于三角形的性质：1．四面体都有外接球和内切球，且R≥3r，其中R为外接球半径，为内切球半径．     

四面体的十二点二次曲面

垂心四面体中四条高的垂足,四个面的重心及从各顶点与四面体的垂心连线的三等分点,共十二个点共球.试图把垂心改为四面体内的任意点,相应地把四条高线改换为过该点与每个顶点连线的共点直线组时,则将把垂心四面体的十二点球有趣地推广为四面体的十二点二次曲面.     

例说有关球的组合体问题

高考中考查的球的内容常是与几何体结合的组合体,这类组合体也是学生平时学习易错的内容,本文举例分析四类有关球的组合体问题. 第1类四面体 球例1球的内接正四面体内有一内切球,求这两球的表面积之比.     

四面体有内切球吗?

文[1]介绍了空间任意不共面的四点可同在一个球面上,即任意四面体一定有一个外接球.那么,任意四面体一定有内切球吗?这是不久前一个学生问到的问题.本文对此做个回答,也算是对文[1]的补充.与平面几何中角平分线相类比,我们把平分一个二面角的半平面称为这个二面角的分角面.引理     

关于四面体棱切球的一个猜想

文[1]中林祖成先生猜想：设四面体A1A2A3A4存在棱切球,其半径为e,内切球的半径为r,则有r≥√3r (1) 本文将证明上述猜想是正确的．     

三角形重心的两条性质的推广

文［１］给出了三角形重心的几条性质,现将前两条性质推广到空间四面体中．性质１以四面体重心与顶点的连线段为棱可构成四面体,且该四面体的体积是原四面体体积的１４．证明如图１,设Ｇ是四面体Ｓ—ＡＢＣ的重心,Ｏ１、Ｏ２分别为△ＡＢＣ、△ＳＡＣ的重心,Ｄ为ＡＣ...     

“空间四点定球”的探索

在平面几何中,不在同一直线上的三点可以确定一个圆:若三点连线组成三角形,且三角形的三边己知,则此三角形的外接圆的半径可以求出。在空间中不在同一平面内的四点可以确定一个球,若四点连线组成四面体,且四面体的六条棱长已知,那末此四面体的外接球半径是否可以求出?本文对此问题进行探索。设四面体D—ABC中,BC=a、AC=b、AB=c其相对棱DA、DB、DC的长分别为a、b、c,求DABC的外接球的半径。解:在平面ABC中过A作AE⊥BC于E,在平面DBC中过D作DF⊥BC于F,则平面ABC与平面DBC所成二面角的平面角,是异面直线DF与AE所成的角,或此角的补角,由于棱长已知,所以各个     

塞瓦定理在空间的推广

将塞瓦定理推广到三维空间得到结论：P是不在四面体的面所在平面上的一点．且P点不在过棱且平行于对棱的平面上,则四面体的各棱中点,过各棱与点P的平面与对棱所在直线的交点,及过各顶点与点P的直线与四面体对面所在平面的交点和四面体在这个面上的顶点的连线中点．这24个点在同一个二次曲面上．当点P在四面体内或四面体的三面角的对顶角区域内时,24点二次曲面为椭圆面;当点P在四面体的面分空间所成的其它区域内时,24点二次曲面为双曲面或二阶锥面．     

球的一个内含四面体体积最值

介绍求球的一个内含四面体体积最值的方法     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.