对一道课本练习题的多角度研究

笔者最近在教授解析几何时,课本配套的练习册上有一道如下的练习题.问题1已知直线l经过点P(1,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.(1)当S=3时,满足条件的直线有几条?(2)当S=4时,满足条件的直线有几条?(3)当S=5时,满足条件的直线有几条?这是一道很普通的题目,但笔者发现与问题1背景类似的题目甚多,为此笔者考虑能否对问题1加以多角度研究,以认清与之类似的各类问题.下面将笔者的研究过程整理出来,供大家参考.     

新题征展(43)

A　题组新编1 .如果直线 l经过点 P( 2 ,1 ) ,且与 x轴、第 1题图y轴正半轴分别交于点 A、B,O为坐标原点 ,则( 1 ) | OA| .| OB|的最小值为 ;( 2 ) | OA| + | OB|的最小值为 ;( 3)△ OAB面积的最小值为 ;( 4 ) | PA| .| PB|的最小值为 ;( 5 ) | PA| + | PB|的最小值为 .2 .如果直线 l经过点 P( 2 ,1 ) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 S.( 1 )当 S=3时 ,这样的直线 l有条 ;( 2 )当 S=4时 ,这样的直线 l有条 ;( 3)当 S=5时 ,这样的直线 l有条 ;( 4 )若这样的直线 l有且只有 2条 ,则 S的取值范围是 ;( 5 )若这样的直线 l有且只有…     

用“拟二次曲线”解一类相交直线问题

一条直线与二条直线相交时，如果将此二直线方程相乘构成一个二元二次方程，我们当作它对应着一条二次曲线（不妨称为“拟二次曲线”），这时我们是把此二直线看作一条二次曲线．这样，我们就可以利用一条直线与一条二次曲线相交时处理问题的方法，来处理一直线与两直线相交的有关问题，这样做可以避免求交点从而使解题手续大大简化．通常可以利用这种策略来解如下几方面的问题．1与被截线段中点有关的问题例1一直线l被两直线4x十y＋6=0，3x-5y-6=0截得线段中点恰为坐标原点，求直线l的方程．解设拟二次曲线C：（4x十y十6）（3x=5y-6）=0，…     

一道探究题的拓展

苏教版数学“必修2”教材中有一道探究题目：已知圆C：x^2＋y^2=r^2,直线l：ax＋by=r^2．（1）当点P（a,6）在圆C上时,直线z与圆C具有怎样的位置关系？（2）当点P（a,b）在圆C外时,直线l具有什么特点？     

这样的直线有多少条?

不少报刊可能都刊载过这样的问题:过空间任意一点且与两已知直线成等角的直线有多少条?这个问题解决后,现在问:过空间任意一点且与两已知平面成等角的直钱又有多少条?本文对此问题作一探讨. 问题 已知P为空间任意一点,二面角α-l-β的大小为θ,则过点P且与α、β成等角(?)的直线m有几条? 解析 由已知,θ∈[0,π],(？)∈[0,π/2],1.若θ=0或π,不难得到(1)当(？)=π/2时,     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

一道试题的解法探究

有这样一道试题： 过点P（2,1）作直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点,且使三角形OAB的面积为定值S,则这样的直线有多少条？     

数学问题解答北大核心

2017年11月号问题解答（解答由问题提供人给出）2391凸四边形A1A2A3A4在直线l同一侧,A1A3与A2A4是凸四边形的两条对角线,△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4及△A1A2A3的面积分别是S1,S2,S3,S4.Ai至直线l的距离为di（i=1,2,3,4）,则d1S1+d3S3=d2S2+d4S4.     

一道例题结论的变通

1问题的提出高中《代数》（必修本）下册第9页例3是已知，求证：（1）如果P是定值，那么当且仅当X=3时，S的值最小；（2）如果S是定值，那么当且仅当X=3时，P的值最大．例求的最小值．解=4，（*）当且仅当即X=2时取等号，此时，y取最小值4．问题十分简单地解决了．但如果将此题改为“求y—X十：（OMX＜1）的最小值”，若仍用上述方法，则因2F（0，fi，即（。）式不能取等号而使此法失效．我们能否变通一下，把条件放宽一些，使修改后的结论既不脱离中学教材的理论和学生的思维水平，又在选择解题的思路上有更大的灵活性呢？2交通后的新…     

过双曲线焦点的定长弦探究

在学习双曲线的过程中,会遇到这样一道题目： 过双曲线x2/4-y2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点．若｜AB｜=4,则这样的直线有几条？     

对一道上海高考试题的探讨

（2009年上海第18题）过圆C：（x-1）2＋（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分，如图1．若这四部分图形面积满足SI＋SⅡ=SⅡ＋SⅢ，则这样的直线AB有_______．     

你知道点差法产生增根问题的原因吗

同学们都熟悉,用点差法求二次曲线的中点弦问题,有时所求得的直线方程,却不是问题的解,是增根,你知道产生增根问题的原因吗？例1已知直线l与双曲线x22-y24=1交于A,B两点,P（1,1）是弦AB的中点,问直线l是否存在？如果存在,求出l的方程;如果不存在,说明理由.解当直线l的斜率不存在时,由双曲线的轴对称性知不满足要求.当直线l的斜率存在时,设A（x1,y1）,B（x2,     

一道解几习题的应用

众所周知，弦长公式在处理直线与二次曲线的弦长问题时，有着十分重要的作用．然而，当涉及的长度不是弦长（如线段的一端在曲线上，而另一端在直线上或线段的两端不在同一条曲线上）时，上边的公式就失去了“用武之地”．那么，是否能找到一个类似于弦长公式的公式来解决上述矛盾，同时也能处理有关弦长问题呢？请看高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修本）P27第5题，设A、B两点的坐标分别是A（x_1，y_1）和B（x_2，y_2），直线AB的倾斜角是a，求证：此结论可改写为：而利用这一结论可圆满地解决上述问题，下面略举几例．例1如图…     

63 两相交(切)圆中生成的平行弦

（本专栏特邀过伯祥老师主持，稿件请寄：310064浙江舟山师专）1生成为基础T：opl与opz相交（相切）于A、B（A），如图1，有两条直线PS、HN同它们相交（挂出小黑板）大家动手画一两个类似的图形，看一下这样的构图，有什么具有特殊关系的线段没有？S......．T：再看另一种图形，如图2．这时，PS、ICPJ分别过两圆交点A、B（或过切点A）．这时的情况又如何呢？大家多画几个图形，现察--猜测--验证一下！S；：这时，可能有PH／／SN．T：其他同学从图形上观察到的，也是这样的么？S：是的．〔评析：从反面说明，"过交（切）点"是生成…     

圆的切点弦所在直线方程的求解策略

本文选取一例对“从圆外一点引圆的两条切线,求两切点所在直线方程”的问题进行探究,得出几种求解策略,供读者参考． 题目 （云南省普通高中学业水平考试题）过点P（-2,-3）向圆C：x^2＋y^2-8x-4y＋11=0引两条切线,切点分别为T1,T2,则直线T1T2的方程是（ ）     

直线中最值问题的类型

类型一面积最值型例1过点P(1,4)引一条直线l,若它与两坐标轴在第一象限中围成的面积最小,求此直线方程.分析设此直线方程为y-4=k(x-1)(k<0),则它与两坐标轴分别交于点(k-k4,0)和点(0,4-k).设直线与两坐标轴围成三角形的面积为S,则S=21(4-k)(k-k4)=-21k(4-k)2=4-8k-2k≥4 2(-8k)·(-2k)=8.当且仅当-2k=-8k即k=-4,Smin=8.将k=-4代入原直线方程,就可以得到直线方程y=-4x 8.类型二距离最值型例2当θ∈[0,2π]时,方程xcosθ ysinθ-3=0表示一簇直线,点P(1,-1)离这簇直线中哪一条最近,哪一条最远?分析由直线xcosθ ysinθ-3=0知,点P(1,-1)到直…     

一道2009年高考模拟试题的别解与推广及类比

2009年福建宁化市有如下一道模拟题: 已知椭圆C的离心率e=(3)/(2),长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0). (1)求椭圆C的方程; (2)设直线x=my+1与椭圆C交于两点P,Q,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.     

一个西瓜切五刀

试问把一个西瓜切五刀,最后可切出多少块来? 问题1 一个平面用n条直线去划分,划分出的部分数最多是多少? 当n=1时,平面被划分为2块,a1=2．当n=2时,增加的直线与原来的一条直线有一交点,此交点把增加的直线一分为二,每一部分通过所分平面中的一块,且把这块一分为二,所以平面比n=1时增加2块,a2=a1 2．     

错解与剖析

已知圆C：x2＋y2-4x-14y＋45=0. （1）若M（x,y）为圆C上任一点,求k=（y-3）/（x-6）的取值范围; （2）已知点N（-6,3）,直线kx-y-6k＋3=0与圆C交于点A、B,当k为何值时,^→NK·^→NB取得最小值？     

一类极值问题巧解

1问题的提出不少资料上有这样一道题：“过点P（1，4）作直线交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，求：（1）DO火I叫OBD的最小值；（2）求bOAB面积的最小值．”对求DAB的最小值却无处涉及，从几何图形上看，这个问题解的存在性是确定无疑的，能否用初等数学知识解答这个问题？答案是肯定的，现解答如下：解设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），那么直线的方程为3＋3—l，将点P的坐标代人得“十子一1，变形得b一一斗（显然aMI），这样我们有＃op。lmtr。。＄、gb％。ff。ljRt’＝9。t一7，都是要求t—ZSM·这样我们有，当t—…