余弦定理与向量

1如以x_a,x_b,x_c分别表示三角形三边a,b,c上首尾相接的向量,则x_a x_b x_c=0.所以内积(x_a.x_a)=[-(x_b x_c)]-[(x_b x_c)]或x_a~2=(x_b x_c)~2=x_b~2 x_c~2 2(x_b.x_c).其标量式:a~2 b~2 c~2 2bc.cos(π-A)=b~2 c~2-2bccos A即为三角形的余弦定理.进而考虑任一有向角折线:∑n     

双曲线焦点三角形的几个性质

如图 1 ,设Ｆ1,Ｆ2 是双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 )的焦点 ,Ｐ是双曲线上的任意一点 (异于实轴端点 ) ,则称△Ｆ1ＰＦ2 为双曲线的焦点三角形 .图 1设∠Ｆ1ＰＦ2 =θ,∠ＰＦ1Ｆ2 =α,∠ＰＦ2 Ｆ1=β ,双曲线的离心率为ｅ,则△Ｆ1ＰＦ2 具有如下的性质 .定理 1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜=ｂ2ｓｉｎ2 θ2.证明　在△Ｆ1ＰＦ2 中｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2 ｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜ｃｏｓθ= 4ｃ2 (1 )又因｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ2 ｜ =2ａ ,所以 ｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜= 4ａ2 (2 )(1 ) -(2 )得2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 …     

焦点三角形面积的另两类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，与其相关的问题是各类考试的热点，所以，值得我们总结与研究。对于形如S=b^2tan a/2和S=b^2cot a/2是大家都比较熟悉的，本文介绍另两类公式，供同行参考．     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

一类三角形存在性的进一步结论

特别约定：满足1/a^2＋1/b^2=1的椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1称为标准椭圆．以标准椭圆的中心为圆心的圆x^2＋y^2=r^2称为标准椭圆的同心圆．     

两个关于三角形边角关系的结论

定理 1　设a、b、c为△ABC的三边 ,当an,bn,cn(n∈N+,n <5 )组成等差数列时∠B≤ 60°.证明　当n=1时 ,2b=a+c由cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 14(a+c) 22ac =34× a2 +c22ac - 14≥12 　即B ≤ 60°当n =2时 ,2b2 =a2 +c2cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 12 (a2 +c2 )2ac =12 ·a2 +c22ac ≥ 12 　即B≤ 60°当n =3时 ,12 (a3+c3)≥ ( a+c2 ) 3 (a3+c3) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a+c) 3(a2 +c2 -ac) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 2 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 23 a2 +c2 -ac≥b2 B ≤ 60°当n =4时 ,(a-c) 4 …     

一类本原Evans三角形

构造一类本原Evans三角形,其高与底边之比为2n(n2-2)型的整数.     

抛物线的外切三角形和内接三角形的另外两个性质

文[1]给出了抛物线的外切三角形和内接三角形的两个性质:性质1抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设△ABC和△P1P2P3的重心分别为G1,G2,则G1,G2的纵坐标相同.性质2抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设抛物线的焦点为F,则     

再探三角形的一种边角关系

以下用a ,b ,c分别表示△ABC中角A ,B ,C的对边 ,文 [1 ]已证得 .定理 1　若an,bn,cn(n =1 ,2 ,3,4 )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .定理 2　若an,bn,cn(n∈Z)成等差数列 ,则B≤ 6 0°.实际上 ,还可将定理 2推广为 :定理 3　若an,bn,cn(n <0 )成等差数列 ,则B≤ 6 0°.证　因为a ,b ,c∈R+,an+cn2 =bn,所以bn≥ancn .又n <0 ,所以b2 ≤ac ,得(a -c) 2 ≥ 0≥b2 -ac,a2 +c2 -b2 ≥ac ,cosB =a2 +c2 -b22ac ≥12 ,B≤ 6 0° .猜想 1　若an,bn,cn(n≤ 4 ,n∈R )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .下面是对猜想 1的研究 :由an+cn=2bn,可不妨设an≥bn≥…     

关于Pell方程与Evans问题的四类新解

本文利用Pell方程u~2-2v~2=±1的正整数解和Evans三角形的一个充分条件,构造出四类新的本原Evans三角形,其Evans边(最短边)c=3,并将结论作进一步推广.     

焦点三角形面积的计算方法再探

在圆锥曲线中，焦点三角形引人注目，对于椭圆焦点三角形的面积公式S=b^2tan a/2和双曲线焦点三角形的面积公式S=b^2 cot a/2是大家都十分熟悉的，文[1]、[2]在其基础上推出了另四类公式，在它们的启示下，笔者再作进一步的研究，又得到了三种不同的表达形式，现论述如下，供同行教学参考．     

余弦定理在四边形的一个推广

在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b,c,余弦定理cosB =a2 +c2 -b22ac ( 1 )是我们所熟悉的 .笔者在文 [1 ]中给出了余弦定理在四面体的推广 ,注意到文 [2 - 3]中给出了余弦定理在四边形的推广 ,本文试给出余弦定理在四边形的另一新颖推广 ,使得三角形的余弦定理成为该推广式极限情形的一个特例 .定理　记凸四边形ABCD的四边长依次为AB =a ,BC=b ,CD =c,DA =d ,两对角线长AC =p ,BD =q ,则cos(B+D) =(ac) 2 + (bd) 2 - (pq) 22abcd ( 2 )证明　如图 ,设两对角线交角为θ ,p ,q分别由p1 ,p2 与q1 ,q2 组成 .由余弦定理得p2 =…     

解三角形问题的探究

在学习解三角形一章中,一次习题课遇到如下问题：在△ABC中,设a3＋b3-c/a＋b-c=c2,且sinAsinB=3/4,试判断三角形的形状．     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义 如图1，设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，6〉0）上的一点P（x0，y0）的切线，l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，与x轴交于点Q，则称△OMN为双曲线的渐近三角形．     

焦点三角形面积的另类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，值得我们深入探究．对于S=b^2tan α/2和S=b^2cot α/形式是大家都比较熟悉的，在它的启示下，笔者从焦点三角形内切圆、外接圆和旁切圆半径的角度作了探究，得到了两类不同形式，现论述如下，与读者共赏．     

对一类本原Evans三角形的探究

给出一类三角形是本原Evans三角形的一个充分条件,构造出Evans三角形问题的两组新解,得到其高与底边之比分别为4n(n+1)和2n(n2-1)(n2-2)(n2-3)型的整数.     

一道三角函数题的巧解

题目在△ABC中,若sin^2A＋sin^2B＋sin^2C〈2,则△ABC必定是 （ ） （A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）锐角三角形． （D）钝角三角形．     

三角形不等式的共同解法—关于三角形旁切圆半径的两个不等式证明的改进

众所周知(x y)(y z)(z x)=xy(x y) yz(y z) zx(z x) 2xyz=x2y xy2 y2z yz2 z2x zx2 2xyz　(*)这是一个十分重要的代数恒等式,由(*)立即得到(x y)(y z)(z x)=(x y z)(xy yz zx)-xyz(1)(x y)(y z)(z x)=x(y z)2 y(z x)2 z(x y)2-4xyz(2)(x y)(y z)(z x)(x y z)=xy(x y)2 yz(y z)2 zx(z x)2 4xyz(x y z)(3)(x y)(y z)(z x)(xy yz zx)=x2y2(x y) y2z2(y z) z2x2(z x) 2xyz(x y z)2(4)……(*)及(1),(2),(3),(4)……在证明关于三角形不等式方面有极其广泛的应用.这是因为:图1任一三角形总有内切圆(图1),总可以作变换a=y z,b=z x,c=x y(x,y,z∈R )…     

两个结论的改进及引申

文 [1]所得外心、重心、垂心的结论非常优美 ,而内心和旁心的结论却难以记忆 ,可操作性不够 .下面将文 [1]中关于内心和旁心的结论加以改进 ,再添加关于“中心”的结论 .1　内心定理 1　若O为△ABC所在平面上一点 ,则O为△ABC内心的充要条件为AO·(e1+e2 ) =BO·(e2 +e3) =CO·(e3+e1) =0 (其中e1,e2 ,e3分别为与CA ,AB ,BC同向的单位向量 ) .证　设非零向量a ,b的夹角为θ,则cosθ =a·b|a| |b| =a|a| ·e(其中e为与b同向的单位向量 ) .图 1　定理 1图如图 1,O为△ABC的内心 ∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ 4 ,∠ 5 =∠ 6 cos∠ 1=AO|AO…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…