利用坐标的压缩变换来解椭圆问题的探讨

在平面几何中我们学习了圆的知识,解析几何中又进一步学习了圆的方程及有关知识。可以说,对于圆我们是比较熟悉的。学习椭圆时,椭圆的方程及有关的一些命题的计算与推证,和圆比较起来,就复杂了。但是,虽然椭圆与圆有很大的不同,但两者之间确有许多相似之处。实际上可以把圆看作是椭圆的一种特殊情况。圆的某些结论如果相应地推广到椭圆中去仍然成立,这就是“一般性寓于特殊性之中”。反过     

到两点距离之积是常数的点的轨迹之研究——高二数学研究性学习一例

在高中数学中，可作为研究的问题是很多的，下面笔者介绍一个在解析几何中的课例．在学习了椭圆的定义以后，不少学生就可能会提出：如果把椭圆定义中的和改成差，结果会是什么样？而学生一旦学了双曲线以后，就更容易提出：把定义中的和或差改成积，改成商又如何？     

深入钻研椭圆

椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,也是高考命题的热点.纵观近年来有关椭圆的高考试题,我们认为学习中应当在定义、标准方程以及几何性质等几个方面,多下功夫,打好基础.一、活用定义椭圆的定义是椭圆最本质     

椭圆和抛物线性质的一些联系

北京科技报(中学版)第53期刊登了“椭圆向抛物线的转化”一文,文章运用极限知识证明了椭圆(x-a)~2/(a~2)+y~2/b~2=1当a→+∞时就转化为抛物线y~2=2px(式中p=2(a-c),c=(a~2-b~2)~(1/2))揭示了椭圆和抛物线之间的内在联系,说明了当椭圆的长轴无限伸长时,椭圆和抛物线就统一起来了。本文就在这个结论上,举例说明椭圆和抛物线的这种统一,使它们的性质之间存在着一定的联系,以便加深对椭圆和抛物线的认识。     

椭圆几何性质教学设计

人们对事物的认识多是从直观到抽象 ,从感性到理性 ,中学生的数学学习过程更是如此 .现行《解析几何》教材对椭圆 (双曲线 )几何性质的编排 ,缺乏感性的铺垫 ,一开始就严格遵循“用方程研究曲线性质”的解析思想 ,这就不太符合学生认知发展的先后顺序 ,学生学起来感到“突然”,不能自然流畅 .从直观和感性的角度入手考虑问题时 ,多数同学首先注意到椭圆的对称性而不是它的范围 ,其次是椭圆的“扁圆”程度 ,最后在位置、大小的比较之下注意到椭圆的范围 .笔者按着这样的认知顺序设计了如下“观察——判断——证明 (或反驳 )、定义”的教学程…     

关于圆的正等测画法的直观图是椭圆的一个简证

我们立体几何中有许多椭圆问题,由于教材安排《立体几何》在前《解析几何》在后,所以,《立体几何》中的椭圆问题当时无法解决,但在高二学习了《解析几何》以后,返回来解决它不失为一个好办法.下面考虑圆的正等测画法的直观图是椭圆的证明.     

多媒体辅助下的双曲线定义教学——类比椭圆的双曲线定义教学片断案例及分析

双曲线的定义方式与椭圆非常相似,对它们的学习包含着生活语言及数学的文字语言、几何语言、符号语言的转换,多媒体的辅助能在类比椭圆学习双曲线和各种语言的转换中起到较好的作用．     

一堂研究性学习课

本文就椭圆上一动点到对称轴上一定点的最短距离问题为例 ,谈谈自己上“研究性学习课”的思路和方法 .例题　椭圆的对称轴为坐标轴 ,短轴两端点与右焦点 F构成正三角形 ,且椭圆上的点至 F的最短距离为 2 - 3,求此椭圆方程 .思考途径　由已知所求椭圆是中心在原点的标准方程 ,且由两端点与焦点 F构成正三角形 ,可知 a =2 b( a为半长轴长 ,b为半短轴长 ) ,设所求的椭圆方程为 x24 b2 y2b2 =1 ,又结合图形离 F最近的点在何处 (学生会立即回答 ,是右顶点 ) ?为什么 (转化为到相应准线的距离 ,则由图示可以看出顶点到准线的距离最短 ) ?　∴…     

浅议椭圆与双曲线的两条性质及其应用

在解析几何学习中，同学们对椭圆与双曲线的焦点的性质已经有一个全面的了解．但是，对椭圆和双曲线的顶点具有什么性质不是十分清楚，本文给出椭圆与双曲线的顶点的两条性质，供大家参考．     

探求椭圆的近似画法

已知长轴和短轴画椭圆有各种不同的画法。在制图中,借助于以长轴和短轴为直径的两个辅助圆可以得到椭圆上的点;在解析几何中,按椭圆的定义亦可作出椭圆上的点。然后用平滑的曲线把这些点连接起来而得到整个椭圆。当然,找的点愈密,所得到的椭圆就愈精确,显然,这样画椭圆是比较麻烦的。在实际问题中,常常希望找椭圆的简便画法。现     

圆与椭圆双曲线类比一例

我们知道,圆与椭圆、双曲线同属有心圆锥曲线,它们都有对称中心和对称轴,因此它们往往具有相同或相似的性质．同学们在数学的学习过程中,当你面对一个圆的问题时,要经常想一想,如果在椭圆或双曲线中创设了相同的条件下,其结论会作何种变化？经过探究,你可能会有惊喜的发现和收获．这样对待数学的学习,你会觉得数学真奇妙,数学很好玩．下面,我们通过一个例子,简单谈谈怎样将圆与椭圆、双曲线进行类比从而得到新的结论的方法,以期抛砖引玉．     

伸缩变换视角下的直线与椭圆问题

<正>在圆锥曲线的学习中,我们知道圆锥曲线问题的解法,普遍偏向于联立方程求解．若直接在椭圆中利用几何性质相较繁琐,而伸缩变换却具有将椭圆转化为圆的功能,所以对椭圆进行伸缩变换后,转而利用圆的一些几何性质进行辅助研究解题更为简便．     

借助信息技术之力研究圆锥曲线间的相互转换

在中学教材中,椭圆被定义为到两定点的距离之和是定值的点的轨迹,把这个定义中的和改为差就成为双曲线的定义.很多老师在引入椭圆的定义时,都是用一根细绳,然后叫一个同学上去帮忙按住绳子两端,使细绳处于绷紧状态,老师移动粉笔,画出椭圆图形.这种方法固然可以做出椭圆图形,但在教学过程中不可避免地会出现许多失误,且对于双曲线的定义解释根本无计可施.如果我们有一支神奇的"笔"能直观的画出所作点的轨迹就好了.     

例析椭圆圆化方法的应用

<正>椭圆经过适当的伸缩变换就可以变成圆.虽然椭圆与圆之间有很大的不同,但它们之间有很多的相似之处,通过变换先把椭圆变成圆,在圆中研究图形的某些性质,再还原到椭圆中,往往比直接在椭圆中进行计算和推证要简单的多.在平面直角坐标系中,曲线C:f(x,y)=0     

在主编寄语指导下的椭圆教学

1教学回顾与反思在笔者以往的椭圆第1课时教学中,采用的教学基本流程是:教师用绳子画椭圆→建立椭圆定义→建立椭圆标准方程→例1和练习→小结与布置作业.反思这一过程,感到有如下问题:(1)两种曲线无关感到突兀按照教材编写的顺序进行教学,根据椭圆的定义先画出图形,然后给出定义,再推导其标准方程.但是学生心目中的"椭圆"应该与圆有一定联系,至少它们外表"相近","椭圆"是一个长圆形,是由圆"压扁"或"伸长"而成.今天学习椭圆教师为什么不提圆呢?这样显得没有人情味,学生心里产生一种不自然感.     

椭圆焦点三角形内心的两个新性质

最近笔者在研究与椭圆焦点三角形内心有关的问题时,获得了两个新性质。现记录如下,仅供同学们学习时参考。     

圆与椭圆

在圆锥曲线中,通常都是以平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两定点长度）的点的轨迹叫椭圆,其标准方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a,b〉0）。特别地,当a=b时,椭圆的方程就成为了圆的方程．从这个角度来讲,圆可以看作一类特殊的“椭圆”．而且对上述椭圆方程,     

深入钻研椭圆

椭圆是圆锥曲线中最重要的内容，也是高考命题的热点．纵观近年来有关椭圆的高考试题，我们认为学习中应当在定义、标准方程以及几何性质等几个方面，多下功夫，打好基础．     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

巧用椭圆的对称性转化焦点弦平行的问题

<正>通过《椭圆的几何性质》一节的学习,我们知道椭圆关于原点成中心对称,也关于坐标轴成轴对称,在解决问题的过程中,如果用好了这些性质,往往可以降低计算量,达到事半功倍的效果,问题也能迎刃而解.这方面的例子很多,本文仅针对如何利用椭圆的对称性转化焦点弦平行的条件,从而使"生题"变"熟题".