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文[1]结合几个例题详细介绍了利用不等式取等号的条件解方程的方法,笔者读后感觉受益匪浅.利用不等式取等号的条件解方程,关键是 相似文献
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某些含有等号的不等式的证明题,若从等号成立的条件出发,利用基本不等式,则可迅速获证.下面举例说明.例1已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥13.分析:考虑到当且仅当a=b=c=13时,不等式取等号,此时,a2=19,于是有下面的证法.证a2+1... 相似文献
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用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点,也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的知识点.运用时必须注意三个限制条件,即“一正、二定、三取等”.笔者在教学实践中,发现很多同学在“取等”这一环节上由于观察不仔细,条件分析不充分,知识方法应用不恰当等原因,经常出现错而不知的现象.本文拟从多角度剖析运用均值不等式求最值时取错等号的原因,以期引起大家的注意. 相似文献
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构造不等式,探求方程的解,是求解方程问题的一种有效策略.其要领是:先利用一些重要不等式,将方程的一端化为不等式,然后结合原方程把不等式化为等式,再利用不等式取等号的条件,把原方程化为与自身同解且比较简单的方程,从而使问题得以圆满解决.本文举例说明这一策略在解题中的应用. 相似文献
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等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题.如能利用重要不等式(或特殊不等式)取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下: 相似文献
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“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为 相似文献
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我们知道,对于任意的实数a和b,有a2 b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.对于正数u和v,有u v≥2uv~(1/2),当且仅当u=v时取等号.有一类方程组,它们的特征是:各方程之间环环相扣,首尾呼应.这类方程组可用配方法解决,但比较繁杂.如能利用不等式等号成立的条件来解,则能收到事半功倍的效果. 相似文献
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怎样证明不等式,大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上,而对不等式的等号成立条件有所忽略.其实,如果注意合理使用不等式的等号成立条件,常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门. 相似文献
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对一个几何不等式的探究 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]~ [3]先后用复数方法和三角方法证明了如下一个漂亮的几何不等式 :设 a,b,c分别表示△ ABC的三边 BC,CA,AB的长 ,则对△ ABC所在平面上的任意两点 P,Q,恒有a PA.QA+ b PB.QB+ c PC.QC≥ abc ( 1 )文 [2 ]作者特别指出 :不等式 ( 1 )难度较大 ,至今尚未找到其纯几何证法 .而且文 [1 ]~ [3]均未论及 ( 1 )式取等号的条件 .本文首先给出不等式 ( 1 )的两个纯几何证法 ,顺便引出 ( 1 )式取等号的条件 ,然后再由 ( 1 )式导出三角形中的几个新颖的不等式 .为方便叙述 ( 1 )式取等号的条件 ,我们需用到等角共轭点的概念 [4] :… 相似文献
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用“取等匹配”技巧证明非严格不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
笔者在文[1]指出:“对非严格不等式的证明,每一次‘放’或‘缩’保证等号成立是一个基本思考点,是放大或缩小的一个必要性要求”.本文着眼于这一必要性要求,以算术——几何平均值不等式的取等条件为出发点,根据待证不等式(或变形后的不等式)的取等条件和结构特征施行“取等匹配”——凑项或嵌式(数),使许多经常在中数刊物上出现且貌似繁难的非严格对称不等式轻松获证.例1 在△ABC中,证明不等式 tgA2tgB2+5+tgB2tgC2+5+ tgC2tgA2+5≤43.证明 由于△ABC中,有tgA2tgB2… 相似文献
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涉及多元的数学问题,有两类可以通过最值范围调节转化后简捷获解.1条件等式处于“最值状态”的相等问题如果多元问题中的条件等式(或其等价形式)处于一端恰好是另一端的最值的极端情形,则可利用取最值的条件沟通已知与所求之间的关系而收化难为易,以简驭繁之功效.这类问题的一个显著特点就是条件等式的个数少于“元”的个数.例1已知cosα+cosβ-cos(α+β)=,求税角α、β的值。解化条件式为知等号成立,于是据二元平均值不等式取等号的条件得1-cosβ=cosα且sinβ-sinα,注意到α、β为锐角知sinα=sinβ=,即例2已知… 相似文献
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等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题,如能利用重要不等式(或特殊不等式)取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下: 相似文献
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巧用柯西不等式求最值 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]、[2]分别给出了巧用向量不等式和椭圆不等式求一组最值问题的方法,读后很受启发.作为对这组问题探究的继续,本文从巧用柯西不等式的视角再给出其解法(限于篇幅,各例均略去不等式取等号的条件),供大家参考. 相似文献
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不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)是高中数学不等式一章中的一个习题的结论,取等号的条件是bc=ad.此不等式的证明很简单,只需将右边展开对其中两项使用x2+y2≥2xy即可得证.但是利用它却可以很方便地求到一些函数的最大值或最小值.... 相似文献
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文[1],[2]把欲证不等式引入参数后,使问题转化为求关于参数函数的最值问题.本文给出另一种方法,即对欲证不等式引入参数后,利用均值不等式及其取等号的条件来证明.这种方法的思路自然,操作简便,应用广泛.下面举例说明.例1设p,q∈R+,且p3+q3=... 相似文献
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关于角平分线的两个不等式的注记李鸿祥(上海铁道学院)本刊1994年第5期上的文[1]说:“用初等方法提出并证明若干新近发现的三角形角平分线的不等式”.文中给出定理3在西ABC中,有当且仅当面ABC为正三角形时,(1)式取等号.我们指出,上述定理是易于... 相似文献
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由平均不等式可得.了丁《苦+l一了一’俩不万‘仁健土三, 乙闷、三半生,则厂.一..广~~~二,了-~气二,1,丫盆十丫梦一1十丫:一翻喃1犷气忿个口十名夕 ‘当且仅当:二1,,一1=1,:,2=1时,上述不等式取等号,即原方怪成立. 故原方程的娜是:·1,,二2,:·衣冬侧:娜方程:、扫·+co.’.(音一卜专一根据柯西不等式》‘~‘号一,+,‘n‘管一,一‘”‘二+奋一,一‘·荟一专当且仅当‘n~一‘n‘管一二,·二‘奋一‘,即‘””一‘“‘晋一”,时方程成立·由此解得.(几〔Z)汀一12 +坛一2 一一 苦蕊 观察方程的特点,化方程为不等式取等号的情形,利用不等式取等… 相似文献
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关于正项式a_(ik)~a的几个不等式贵州民族学院周如银众所周知,若,则有下面的加权平均值不等式等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.利用这一结论,可导出下面的结果.引理设ai、bi>0(i=1,2,…,n),a+1>0,a<0,则等号当且仅当a... 相似文献