在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

用“平方法”巧解三角题

平方法是数学解题中一种重要的转化手段,某些三角题，通过平方升次，可以巧妙地利用恒等式sin2θ＋cos2θ=1，优化解题过程，现举几例加以说明.     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

二倍角正弦、宗弦、正切公式的几何解释

注：①由计算△MCB面积得：1/2×1×1×sin（π-2α）=1/2×（cosα＋cosα）×sinα→sin2α=2sinα·cosα．     

一道竞赛题的推广

问题(第十四届“希望杯”高一第二试)若sin3θ-cos3θ=-1,则sinθ-cosθ的值为.将该问题推广,可以得以下结论.结论1若sinnθ-cosnθ=-1,且m,n都为正奇数,则sinmθ-cosmθ=-1.证当n=1时,由条件得sinθ-cosθ=-1.平方得sinθcosθ=0.当n≥3时,若sinθcosθ≠0,则0<|sinθ|<1,0<|c     

避免对棣莫弗公式的错误理解

中学数学教师从事复数棣莫弗公式 [r(cosθ i sinθ)]~n=r~n(cosθ十i sinθ) (1)的教学,一般利用它进行计算是不会发生错误的。但是,我们仍应避免对它可能产生的错误理解。 在某些中学数学读物上对(1)式是这样解释的:“复数n(n ∈N)次幂的模等于这个复数的     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

一法一世界 小题大乾坤

2013年高考新课标全国（I）卷理科第15题与文科第16题是同一道题： 题目 设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ=——．     

用函数值的符号判定角所在象限

八六年上海市高考数学试卷中有这样一道选择题: 若sinθ/2=3/5,cosθ/2=-4/5则角θ的终边在(A)第一象限;(B)第二象限;(C)第三象限;(D)第四象限。一般的解法是: 由sinθ/2=3/5>0,知θ/2在第一或第二象限,cosθ/2=-4/5<0知θ/2在第二或第四象限。综合而得,θ/2在第二象限,得2kπ+π/2<θ/2<2kπ+π(k∈z)。进一步,siθ/2=3/5<(2~(1/2))/2,     

在圆内解释两个三角公式

利用圆的特点 ,不难解释三角函数公式 :tan θ2 =sinθ1+cosθ和cot θ2=1+cosθsinθ .如图 ,△BOC中 ,∠BOC =θ,AB为⊙O的直径 ,CD⊥AB于D .　　则　OC =OA =OB =R ,　∠CAB =θ2 .在△COD中 ,CD =Rsinθ ,　OD =Rcosθ,∴　tan θ2 =CDAD=RsinθR +Rcosθ=sinθ1+cosθ,cot θ2 =ADCD=R +RcosθRsinθ =1+cosθsinθ .在圆内解释两个三角公式$河南省永城第三高中(二)九班!476600@刘冬辉…     

用向量方法证明和差化积公式

公式1/2（sinα＋sinβ）=sinα＋β/2 cosα-β/2 1/2（cosα＋cosβ）=cosα＋β/2cosα-β/2     

读“sinx≤x≤tan x的简单运用“后的思考

武增明老师在文[1]中提到重要不等式:sinx≤x≤tanx,x∈0,2π,当且仅当x=0时等号成立.思考:x→0时,则sinx→x,tanx→x.在导数中,研究瞬时速度时会涉及这一知识的应用.例1、如图所示,质点P在半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动,且角速度为2rad/s,设A(1,0)为起始点,求t时刻时,点P在x轴上的射影M的速度.思路解析:设经过t时刻∠MOP=θradOM=OP·cosθ=cosθ,则影子的位移S=AM=-(1-cosθ)ΔSΔt=-[1-cos(θ ΔΔθt)] (1-cosθ)=cos(θ ΔΔθt)-cosθ=cosθ·cosΔθ-siΔntθ·sinΔθ-cosθ当Δθ→0时,cosΔθ→1,sinΔθ→Δθ∴ΔS=…     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

一种拟Grünwald插值算子的Lp收敛速度

1 引言 设f（x）为[-1,1]上的连续函数，则以第二类Chebyshev多项式Un（x）（Un（cosθ）=sin（n＋1）θ/sinθ的全部零点{xk=cos k/n＋1 π}^n k=1为插值结点组的f的Grunwald插值多项式为     

对“一类三角题的复数解法”的补充

《中学数学》刊登的“一类三角题的复数解法”一文介绍了复数在三角方面的一些应用。笔者试作如下补充。(原文见1985年2月号) 设z=cosθ+isinθ,z=cosθ-isinθ。显然有z·z=1。易求得sinθ=z-z/2=z~2-1/2iz,cosθ=z~2+1/2z,tgθ=z~2-1/i(z~2+1),由棣美弗公式     

对“巧用公式解一类根式方程”一文的思考

原文通过配方给出证明，过程十分巧妙．公式是怎么得到的呢？公式的原型是同角三角函数的关系sin2θ＋cos2θ=1．