递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6：已知数列{an}中,a1=5,a2=2、an=2an-1＋3an-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升．本文试从这道题的类型展开加以研究．     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

一道数列不等式型高考题的放缩策略

试题 已知数列{an}满足a1=1,an＋1=3an＋1．（Ⅰ）证明{an＋1/2）是等比数列,并求{an}的通项公式;（Ⅱ）证明：1/a1＋1/a2＋…1/an〈3/2.此试题是2014年普通高等学校全国统一招生考试（新课标Ⅱ）数学（理）科第17题,其第（Ⅱ）问是一道综合性较强、融数列与不等式为一体的和式数列不等式证明问题,我们知道,数列问题是高考的一大热点,在高考中可谓常考常新,而数列与不等式的融合更成为高考命题者的新宠,倍受命题者的青睐。     

一堂一类递推公式的探究课

上海高中数学第二学期的课本第24页有这么一道题：在数列{an}中a1=1,an＋12an＋1（n∈N^＊）,设bn=an＋1,（1）求证：数列{bn}是等比数列;（2）写出数列{an}的通项公式．这个题这样设计应该说是比较容易解决的,     

我为高考设计题目

题83已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=-12,b1·b2·b3=27,且a1+b1,a2+b2,a3+b3是各项均为正整数的等比数列的前3项,求数列{an},{bn}的通项;     

解答数列题常见的错误举例

数列是中学数学的重要内容之一 ,有关数列的习题形式多样 ,解法灵活 ,除要求学生有较高的能力之外 ,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识 ,否则常因概念不清而导致解题出错 ,现举例如下 .1　判别数列的类型不确切例 1　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1,试判断此数列是何种特殊数列 ?错解 :ａ1=Ｓ1=ａ - 1,ａ2 =Ｓ2 -Ｓ1=(ａ2 - 1) -(ａ - 1) =ａ(ａ - 1) ,ａ3 =Ｓ3 -Ｓ2 =(ａ3 - 1) - (ａ2 -1) =ａ2 (ａ - 1) ,… ,ａｎ =Ｓｎ-Ｓｎ -1=(ａｎ- 1) -(ａｎ-1- 1) =ａｎ -1(ａ - 1) .容易验证每一项与前一项之比都等于同一常数ａ ,…     

2021新高考Ⅰ卷17题的背景、解法与变式研究

<正>2021新高考Ⅰ卷17题为数列题,本题通过探究情境来考查学生等差数列的概念和分组求和的思想,是一道很有价值且值得研究探讨的试题.1试题重现与解答(2021·新高考Ⅰ17题)已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n+1)=■(1)记b_n=a_(2n),写出b_1,b_2,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.解(1)因为a_1=1,     

从一道训练题谈数列积式不等式的证明策略

题目 (武汉市2011届高中毕业生五月供题训练(三)理科第21题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2na(n+1)(n∈ N+),其中a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bk＝(a1a3…a2k-1)/(a2a4…a2k)(n∈N+).证明:bn＜1/√2an+1这是一道融数列、不等式与函数为一体的综合问题,主要考查学生的思维能力.第(2)问的证明具有一定的难度,从证法上看,它注重通性通法,也不回避特殊技巧,既可用大众化的常规证法,也可用证明不等式的一些特殊技巧,很好地区分了考生思维的层次性.由第(1)问可知an=n,从而原不等式即为:1/2·3/4·5/6·…·.     

一起争执引发的思考

前几天的一个晚自习,我在办公室备课,两个同学拿着作业本来找我,他们为一道题的解法起了争执,两人都认为自己的解法是对的,但又都看不出对方的解法有什么错误,而两种解法的结果是不一样的,所以让我做裁判．题目很简单,是我们刚学过的数列的通项这一节课的课后作业题:已知数列{an}的首项为a1=3,且2an-1=Sn 1 Sn,求数列{an)的通项公式．下面是两位同学的解法．     

用待定系数法求解一类数列的通项

2005年重庆高考数学卷第22题,原题为:数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),记bn=1/an-1/2,要求根据计算b1,b2,b3,b4的值再求数列{bn}的通项公式.……     

一道联考试题的解法探究——记加强不等式在解题中的运用

题目(2010年湖北省六市高三联考理科第21题)设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*). (1)求a2,a3; (2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式; (3)已知f(n)=6an+1-3an,求证:f(1)·f(2)·...·f(n)>1/2. 解 (1),(2)略.     

等差和等比中项性质的另类应用

等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质：①b是a、c的等差中项←→b=a＋c;②b是a、c的等比中项←→b2=a·c（b≠0）.在题设条件具有＂2b=a＋c＂或＂b2=a·c＂结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

一道“条件不足”数列题的六种解法

有这样一道数列题 :已知等差数列 {ａｎ}中 ,Ｓｐ=Ｓｑ(ｐ≠ｑ) ,求Ｓｐ ｑ的值 .学生解此题时 ,由等差数列求和公式和Ｓｐ=Ｓｑ 列出等式 .因为未知数太多而无法解下去 ,误以为此题条件不足 ,其实 ,此题还是有多种解法的 .解　 [方法 1]设该数列的公差为ｄ ,由条件得ｐａ1 12 ｐ(ｐ - 1)ｄ =ｑａ1 12 ｑ(ｑ - 1)ｄ ,整理得(ｐ - ｑ)ａ1 12 ｄ(ｐ - ｑ) (ｐ ｑ - 1) =0 ,∵ｐ≠ｑ ,∴ａ1 12 ｄ(ｐ ｑ - 1) =0 .∴Ｓｐ ｑ=(ｐ ｑ)ａ1 12 (ｐ ｑ) (ｐ ｑ - 1)ｄ=(ｐ ｑ) [ａ1 12 ｄ(ｐ ｑ - 1) ]=0 .[方法 2 ]　∵Ｓ…     

函数与极限方法在数列中的应用

上海市2010年春季高考数学第23题为一道数列题.此题以递推公式揭示了数列首项和常数因子对数列后续项的影响,值得学习与探究.笔者围绕题中数列,利用函数与极限方法探究数列初始值的设定及其影响,进行了以下研究. 题 已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axn/xn+1(a为常数).     

找准错因,防止再错

我校2011届高三高考模拟卷中有这样一道数列题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ.2an3(λ∈R),若数列{cn}     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

再探数学问题1803

<数学通报>数学问题1803是: an>0,且3n∑k=1a2k=(2n+1)n∑k=1ak,求an. 这是一道给出数列的递推关系,求通项公式的数学题,求出的结果也很简单:an=n,此题提供者的解答由k=1,2求出a_1,a_2人手,提出猜想,然后用数学归纳法证得a_n=n,从而解决了问题.所用的数学方法、数学思想也都是基本的同时也是重要的.笔者认为,这是一道很好的值得品味的数学题,它所提供的有价值的信息远不止这些,下面将笔者自己学习这道题的成果罗列如下.     

《一道课本习题的变式教学》一文的一点补充

文[1]例谈了an=pan-1 f(n)型数列的通项求法,让笔者受益匪浅.但文[1]中变题2,3,4,7最后在方法点评上似有不妥,今冒昧提出,与大家讨论.我们先看变题2:已知数列{an}中,a1=21,an=4an-1-3n-1,求an.解将递推式变为an λ·3n=4(an-1 λ·3n-1),即an=4an-1 λ·3n-1.所以λ=-1.则an-3n     

关于一类数列的最大项问题

题1 在数列{A_n}={11~n(n 2)/12~n}中第几项的值最大?这个最大项是多少? 题2 求数列中的最大项。题3 求证,数列中的第一项最大,并求出这个最大项。细心的读者不难看出以上三个题中的数列都是由一个正项无穷递缩等比数列{a_n}和一个正项无穷等差数列{b_n}的对应项之乘积组成的一个新数列{a_n·b_n}。对于这一类数列的最大项问题,我们有下面一个很漂亮的结论。定理数列{c_n}={a_n·b_n}。如果数列{a_n}为正项无穷递缩等比数列,{b_n}为正项无穷递增等差数列,那么 (1)当1/1-q≥b_1/d,取n为区间[1 /1-q-b_1/d,1