蝴蝶定理的一个推广

定理 设ＡＢ是Ｏ中任意一弦厂为ＡＢ上一点,过 Ｃ作两弦 ＭＮ、ＫＬ,连结 ＫＮ、ＭＬ,分别交 ＡＢ于 Ｐ、Ｑ,则 证明 如图 １,由相交弦定理,得ＮＰ·ＰＫ＝ＡＰ·ＰＢ＝（ｋａ－ｘ）（ｘ＋ａ）．由正弦定理,可得由上两式,得经整理,得 所以ｘ＋ｙ＝０（舍去）,或 （ｋ、１）ｘｙ＋ｋａ（ｙ－ ｘ）＝０, 解得 即 得 当Ｃ为ＡＢ的中点时,ＡＣ＝ＢＣ,此时ＰＣ＝ＱＣ,该定理即为著名的“蝴蝶定理”．蝴蝶定理的一个推广@蒋祝权$江苏省涟水县徐集中学!223400     

区间上三段单调扩张自映射的周期轨道

设ｎ３是奇数，ｍ０是整数，Ｓｎ及ｒｎ分别是方程ｘｎ－２ｘｎ－１－１＝０及ｘｎ＋２－３ｘｎ－ｘ２－１＝０的唯一正根，记ｔｎ０＝ｒｎ，ｔｎｉ＝ｓｎ（ｉ１）．又设ｆ及ｇ分别是闭区间Ｉ上的Ｎ型（即增－减－增型）及反Ｎ型（即减－增－减型）扩张自映射．本文证明了，若ｆ（或ｇ）的扩张常数或则ｆ（或ｇ）有２ｍ·ｎ周期点．此外，本文还指出，当或时，在［０，１］上存在着具有扩张常数λ却无２ｍ·ｎ周期轨道的Ｎ型（或反Ｎ型）扩张自映射．     

Q过程的不变分布(Ⅰ)

设Ｅ为一可数集， Ｑ＝（ｑｉｊ；ｉ，ｊ∈ Ｅ）为 Ｅ × Ｅ上的矩阵，满足 ｑｉｊ≥ ０（ｉ≠ｊ），ｑｉｋ＝－ｑｉｉ≤＋∞， ｉ∈Ｅｍ＝（ｍｉ； ｉ∈ｅ）是一严格正的概率分布，满足ｍｉｑｉｊ＝－ｍｊｑｊｊ≤＋∞，ｊ∈Ｅ．问何时存在Ｑ－过程，使得ｍ是它的不变分布？ 这个问题由Ｗｉｌｌｉａｍｓ（１９７９）作为一个开问题提出．本文对全稳定情形，完整地解决了该问题．     

非线性中立型微分差分方程非振动解的渐近性

考虑非线性中立型微分差分方程［ｙ（ｔ）＋Ｐ（ｔ）ｇ（ｙ（ｔ－τ）］′＋Ｑ（ｔ）ｈ（ｙ（ｔ－σ））＝０（１）的非振动解的渐近性．若无特别申明，本文总假设Ａ函数Ｐ（ｔ），Ｑ（ｔ），ｇ（ｕ），ｈ（ｕ）皆为连续函数；ＢＱ（ｔ）＞０；ｕｇ（ｕ）＞０，ｕｈ（ｕ）＞０（ｕ≠０）；Ｃｇ（ｕ）＝ｈ（ｕ）＝０当且仅当ｕ＝０．     

Riccati微分方程的可积条件

Ｉｎ１９９８,ＺｈａｏＬｉｎｌｏｎｇ［１］ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ：Ｒ＝１αγＰｅ２∫（Ｑ－βＤ）ｄｘ　　　（α,β,γｉｓｃｏｎｓｔ）．（１）ＦｏｒＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ：ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋Ｑ（ｘ）ｙ＋Ｒ（ｘ）　　（ＰＲ≠０）．（２）　　Ｈｅｒｅｔｈｅｎｅｗｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｓｇｉｖｅｎ：Ｌ［ｙ０］＝１αγＰｅ２∫（Ｑ＋２ｙ０ｐ－βＤ）ｄｘ．（３）Ｌ［ＡＢ＋ｙ０］＝１αγ（ＡＢ）２Ｌ［ｙ０］ｅ２∫（２ＢＡＬ［ｙ０］＋Ｑ＋２ｙ…     

无限维李代数L(α,β)的导子李代数

本文讨论了无限维李代数Ｌ（α，β）的导子李代数的结构．分三种情况：（１）当α，β在Ｑ上线性无关时，ＤｅｒＬ（α，β）＝ＣＤｆ０ＣＤｇ０ａｄＬ（α，β），其中Ｄｆ０，Ｄｇ０是由ｆ０，ｇ０决定的导子，ｆ０，ｇ０是定义在Ｚ×Ｚ上的线性函数；（２）当α，β在Ｑ上线性相关且不同时为０时，ＤｅｒＬ（α，β）ｄｅｒＬ（α′，０）（α′≠０），ｄｅｒＬ（α，０）＝ＣＤ－α０ＣＤ－αｇ０ＣＤｆ０ａｄＬ（α，０），（α≠０），其中Ｄ－α０是某一个固定的导子，Ｄ－αｇ０，Ｄｆ０是由ｇ０，ｆ０决定的导子；（３）当α＝β＝０时，ＤｅｒＬ（０，０）＝ＣＤｆ０ＣＤｇ０ａｄＬ（０，０）．     

Cobb-Douglass生产函数在小麦产量因素分析中的应用

本文用Ｃｏｂｂ－Ｄｏｕｇｌａｓ（库伯—道格拉斯）生产函数对烟农１５号小麦的产量因素进行了弹性分析。分析结果表明，函数模型ｙ＝１．００６１ｘ０．０４０２１·ｘ－０．１１９６２·ｘ０．６９８４３·ｘ０．５６１９４·ｘ０．５４１６５可以提供较多的内涵专业信息。分析结果对烟农１５号小麦的丰产栽培有一定的指导意义。     

脉冲中立型时滞微分方程解的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型时滞微分方程［ｙ（ｔ）＋Ｐｙ（ｔ－σ）］′＋Ｑ（ｔ）ｙ（ｔ－σ）＝０，ｔ０，ｔ≠ｔｋ，ｋ＝１，２，…，ｙ（ｔ＋ｋ）－ｙ（ｔ－ｋ）＝ｂｋｙ（ｔｋ），ｋ＝１，２，…，｛（Ｅ）这里τ，σ，Ｐ均为常数，τ＞０，σ＞０，Ｑ（ｔ）∈Ｃ（［０，∞），Ｒ＋），ｂｋ＞－１，ｋ＝１，２，…．分三种情况，Ｐ－１；－１＜Ｐ＜０；Ｐ＞０给出了方程（Ｅ）所有解振动的充分条件．     

GL(n,Z)中的局部有限子群的一点注记

证明了：若Ｇ是一般线性群ＧＬ（ｎ,Ｚ）中的局部有限子群,则Ｇ含有一个２~ｍ阶的初等阿贝尔２－子群,且 Ｇ同构于 ＧＬ（ｎ,Ｚ_ｐ）的一个子群,其中户为任意奇素数．当 ｎ＝１,２,３,４时,Ｇ的阶分别是 ２,３· ２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ（４,ｍ＋１）,０≤ｍ≤４）,３·２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ｛５,ｍ＋１｝,０≤ｍ≤５）,３~２·５·２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ｛９,ｍ＋６｝,０≤ｍ≤９）的一个因子,而当ｎ≥５时,Ｇ的阶是（ｐ~ｉ－１）的一个因子,其中ｐ为任意素数．     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

双曲线的新性质

双曲线的新性质孔繁秋（福建厦门市禾山中学）１９８５年高考有这样一道试题：已知两点Ｐ（－２，２）、Ｑ（０，２）及直线ｌ：ｙ＝Ｘ．设长为的线段ＡＢ在ｌ上移动（如图），求直线ＰＡ、ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．所隶轨迹是双曲线１．Ｐ、Ｑ...     

一个有趣命题的推广

资料［１］第１６８页例５证明了下列命题：设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（２ｐ,０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,则∠ＰＯＱ恒为直角;这个命题很有趣,本文将它做如下推广：定理　设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（ａ,０）（ａ＞０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,∠ＰＯＱ＝θ（０＜θ＜π）．（１）若ａ＜２ｐ,则π２＜θ≤ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ;（２）若ａ＝２ｐ,则θ＝π２;（３）若ａ＞２ｐ,则ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ…     

一类中立型微分方程的比较定理及应用

考虑中立型微分方程［ｘ（ｔ）－ｘ（ｔ－τ）］（ｎ）＋Ｑ（ｔ）ｘ（ｔ－σ）＝０，ｔｔ０，其中ｎ１为奇数，τ∈（０，∞），σ∈Ｒ＋＝［０，∞），Ｑ∈Ｃ（［ｔ０，∞），Ｒ＋）．本文获得了此方程存在最终正解以及所有解振动的新的比较定理．并据此获得了所有解振动的“ｓｈａｒｐ″条件以及存在最终正解的一般性结果，改进了文［４］的主要结果．     

一类似线性抛物型方程广义解的Hoelder连续性

考虑如下拟线性抛物型方程ｕ２－ｄｉｖＡ（ｘ，ｔ，ｕ，↓△ｕ）＋Ｂ（ｘ，ｔ，ｕ，↓△ｕ）＝０在Ａ，Ｂ满足很一般的结构条件下证明了它的广义解在Ｑ＝Ｇ×（０，Ｔ）上的局部Ｈｏｅｌｄｅｒ连续性。     

也谈实二次域类数的可除性

设ｄ无平方因子，ｈ（ｄ）是二次域Ｑ（ｄ）的类数，本文证明了：若１＋４ｋ２ｎ＝ｄａ２，ａ，ｋ＞１，ｎ＞２为正整数，且ａ＜０．９ｋ３５ｎ或ｎ的奇素因子ｐ和ｋ的素因子ｑ均适合（ｐ，ｑ－１）＝１，则除（ａ，ｄ，ｋ，ｎ）＝（５，４１，２，４）以外，ｈ（ｄ）≡０（ｍｏｄｎ）．同时，我们猜测：上述结果中的条件（ｐ，ｑ－１）＝１是不必要的．     

一道轨迹题的勘误及简便解答

一道轨迹题的勘误及简便解答山东文登二中苏泉桂本刊１９９３年第６期《高中数学综合训练题（３套）》第一套２８题：已知圆ｃ：ｘ２＋ｙ２＝４和定点Ｑ（ａ，０），动点Ｐ到Ｃ的圆心Ｏ的距离等于，求Ｐ点的轨迹方程，并指出它的图形．答案是：当ａ＝±２时，ｙ＝０，由原...     

具有分段常数变元的时滞微分方程解的振动性(英文)

我们获得了带有分段常数变元的时滞微分方程ｘ′（ｔ）＋ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋∑ｍｉ＝１ｂｉ（ｔ）ｘ（［ｔ－ｉ］）＝０，ｔ≥０所有解振动的新的充分条件，这里［·］定义为最大整数函数．我们的结果改进了文献中的某些已知结果．     

具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程Neumann问题

本文给出ＲＮ（Ｎ３）中有界光滑区域Ω上的拟线性椭圆型方程：－∑Ｎｉ＝１ｘｉ·｜Ｄｕ｜ｐ－２ｕｘｉ＝λ｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ａ（ｘ）｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ｆ（ｘ，ｕ），ｘ∈Ω（λ＞０，ｐ＝Ｎｐ／（Ｎ－ｐ），２ｐ＜Ｎ）在边界条件：－｜Ｄｕ｜ｐ－２Ｄνｕ｜Ω＝ψ（ｘ）｜ｕ｜ｑ－２ｕ（ｑ＝（Ｎ－１）ｐ／（Ｎ－ｐ））下的多解性结果．     

孕周与胎儿股骨长、双顶径的曲线拟合

本研究对孕２１－４０周的正常妊娠孕妇使用实时线阵超声扫描仪测量胎儿股骨长 （ＦＬ）及胎头双顶径（ＢＰＤ） ５９９例次°测量数据经电子计算机进行统计学处理，得到孕周（ＧＡ）与胎头双顶径（ＢＰＤ）、胎儿股骨长（ＰＬ）曲线拟合的方程分别为： ｙ＝－０．００５ｘ２＋０．５０６７ｘ－３．２０１３ （Ｒ２＝０．８６９１， Ｓ＝０．３３３２） ｙ＝－１４．４３３３＋１３．５９５７ｌｇｘ （Ｒ２＝０．９０８４， Ｓ＝０．２７０８） 本研究结果表明： ＧＡ与 ＢＰＤ、ＧＡ与ＦＬ之间均呈曲线关系。且ＧＡ与ＦＬ之间的联系更为密切。揭示了它们之间的内在联系，为研究宫内胎儿生长发育提供了一定的理论依据。     

关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。