用向量方程的思维去确定空间分点的坐标

引子:(月考题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,E为AD的中点,PA=PD=AD=2,平面PAD⊥平面ABCD.(1)在线段PC上确定一点M,使得PA∥平面MEB;(2)在(1)的条件下,求二面角E-BM-C的余弦值(注:图1     

一个常见图形的反例功能

如图1，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB。     

一道高考题的多种解法

题目(2010年全国卷Ⅰ)如图1,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1.DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.     

向量求角

新教材引入向量,为用“数”的方法,研究 立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台．运 用向量运算,降低了思维量,减少构造辅助图 形,使画面清晰易于想象． 例1 (2005年高考题)如图1,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥ 底面ABCD,AB=3~(1/2),BC=1,PA=2,求直线 AC与PB所成角的余弦值．     

问题引领拾级而上——数学全国Ⅰ卷理(文)20题的教学设计

例题(全国Ⅰ卷20题)如图1,四棱锥S-AB-CD中.SD⊥底面ABCD,AB//DC.AD⊥LDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小. 教师:请将条件中的数量、位置关系在图中标出.     

例谈三棱锥体积的转化

引例(2010年江苏卷16)如图1,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°(1)求证:PC⊥BC;(2)     

空间向量,夹角与距离

1.本单元重、难点分析本单元的重点是:空间向量的概念和运算,空间向量的坐标运算,直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念,两种角(斜线与平面所成的角,二面角)的概念和计算,两个平面垂直的判定和性质,空间四种距离的定义和计算.本单元的难点是:对概念的准确理解和掌握,运用向量工具研究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,计算有关角和距离.2.典型例题选讲图1例题图例题已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=21AB=1,M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面…     

例谈二面角的求法

有一道题目:如图1,在矩形ABCD中,AB=3~(1/2),BC=a,又PA⊥平面ABCD,PA=4,①在边BBC上是否存在点Q,使PQ⊥QD?说明你的理由;②当a=4时,边BC上存在点Q,使PQ上QD,且BQ相似文献   

一个常见图形的反例功能

如图1,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB.以此常见图形为基础构造反例,可以形象直观地解决立体几何中学生常感到困惑的几个假命题.图1命题1空间中,有三个角为直角的四边形为矩形.分析此命题为假命题.结合图1,取四边形PBCD,易知∠PBC,∠BCD,∠CDP均为直角,     

例谈三棱锥体积的转化

引例（2010年江苏卷16）如图1,在四棱锥P—ABCD中,PD—L平面ABCD,PD—DC—BC-1。AB-2,AB//DC,∠BCD=90°（1）求证：PC⊥BC;（2）求点A到平面PBC的距离。     

立体几何创新题特点浅析

笔者以近几年高考及各地模拟试题为例,结合《考试大纲》和新课程的教学理念,分析高考命题的变化特点,供大家复习时参考.1.1解决方法多样化例1:(2005,湖北)如图,在四棱锥P—AB-CD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面AB-CD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面PAB内是否有一点N,使NE⊥平面PAC,若存在求出N点到AB和AP的距离;若不存在说明理由.解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则A,B,C,D,P,E的坐标分别A(0,0,0),B(3,0,0)C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1,从而,则AC=(3,1,0),P…     

对一道2020年高考立体几何题的变式探究

2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO±一点,PO=√6/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角BrPC-E的余弦值.     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

一道高考几何题的两种解法

2004年高考全国卷数学(理)第(20)题是:如图已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD是边长为2的正三角形,底面为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;(Ⅱ)求面APB与面BPC所成二面角的大小.     

一道征解题的另解及推广

本刊《问题征解》栏目第18题为：如图1,四边形ABCD为菱形,AP⊥CP,∠APD：∠BPC,求瓦PA＋PB/PC＋PD的值．     

空间中的平面轨迹--一类热门高考题

2004年重庆市高考题有这样一道题: 四面体ABCD,在面ABC内有一点P,P到 平面BCD的距离等于P到AB的距离,则在平 面ABC内的P点轨迹为(　　)? 图10图2 解　如图2所示,作PE⊥AB于H,PE⊥ 平面E,PF⊥BC于F,设PH=PE=a,平面 ABC与平面BCD所成的角为α,则PH=PE= PF·sinα,所以P在平面ABC的轨迹是直线, 答案(D) 同样的,在2004年北京市高考题有这样一 道题 P是正方体ABCD—A1B1C1D1面BCC1B1 上的任意一点P到棱B1C1的距离等于P到棱 CD的距离,则P的轨迹是(　　) (A)直线　　　　(B)椭圆 (C)双曲…     

“动态”立体几何问题的解题策略

“动态”立几问题是高考中的创新题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面元素,给静态的立体几何赋予了活力.由于“动态”的存在,也使立几问题更趋灵活,更具挑战性.如何探究此类问题,本文将举例说明.一、当动态问题难于解决时,可采用暂时固定的方法,逆向思索,促使几何关系明朗化.例1已知矩形ABCD,PA⊥面AC于点A,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线?分析(1)取CD中点H,可证AB⊥平面MNH,于是AB⊥MN.(2)由题设可知二面角θ的平面角…     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

在图形变换中学习三垂线定理

三垂线定理包含了三个垂直关系:(如图1) 直线PA⊥平面α,(1) 平面α内的直线AO⊥a,(2) 平面α的斜线PO⊥a。(3)