巧设函数证题

很多数学问题,一旦与函数联系起来,研究解决问题的途径便大为广阔。辅设函数证题是证明某些数学命题的有效方法,也是重要技巧。但是,目前有不少学生对它还比较陌生,至少说对这一方法掌握不够。现举数例如下,以兹参考。例1 设a_1cosα_1+a_2cosα_2+…+a_ncosα_n=0, a_1cos(α_1+1)+a_2cos(α_2+1)+…+a_ncos(α_n+1)=0.试证对任何实数β,有 a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β)=0. 证明设函数 f(β)=a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β).     

等比数列一个性质及应用

对于等比数列,我们有如下的性质: 性质:如果数列{α_(n 1)-αα_n}(α≠0)是公比为β的等比数列,则数列{α_(n 1)-βα_n}是公比为α的等比数列。证明∵α_(n 1)-αα_n=β(α_n-αα_(n-1)) 即α_(n 1)-βα_n=α(α_n-βα_(n-1)) 故数列{α_(n 1)-βα_n}是公比为α的等比数     

平均值不等式的推广及其应用

设α_i∈R~ (i=1,2,…,n),则成立着A_n=(α_1 α_2 … α_n)/n≥G_n=(α_1α_2…α_n)/(1/n)当且仅当;α_1=α_2=…=α_n,时取等号(证明略)。本文先借助一个矩形数表对这个不等式加以推广,然后举例说明运用它来证明某些不等式将甚为方便简捷。     

一种正交化方法

本文给出R~n空间里n个线性无关向量在普通内积意义下的一种正交化方法。 定理:设α_i=(α_(i1)…,α_(in))(i=1,…,n)是R~n空间里一组线性无关向量,则可以用初等变换的方法求得n阶可逆阵T作为从(α_1,…,α_n)到(β_1,…,β_n)的过渡阵,使β_1,…,β_n是正交向量组。 证明:     

《标准正交基的一种求法》的注记

贵刊1991年第3期《标准正交基的一种求法》一文,给出用矩阵的合同变换把R~n的一个基{α_1.α_2,…,α_n}化为标准正交基{β_1,β_2,…,β_n}的一种方法。这种方法是以向量α_1的分量作为第i列(i=1,2,…,n)作出矩阵A,A′A是一个n阶正定矩阵,所以存在n阶可逆矩阵T     

Hermite-Fejer Interpolation With Moved End Points

Let Z_n={z_(kn)=cosθ_(kn):θ_(kn)=(2k-1)/(2n)π,k=1,2…,n}be the zeros of T_n(x)=cosnθ(x=cosθ,θ∈[0,π]).For 0≤ε≤1,let α_n=:α_n(ε)=:cos(1-ε)/(2n)π,β_n=:β_n(ε)=:cos(2n-1+ε)/(2n)π=-α_n,X_n~(1)=(Z_n-{z_(1z)})∪{α_n},X_n~(2)=(Zn-{z_(nn)})∪{β_n},X_n~(3)=(Z_n-{z_(1n),z_(nn)})∪{α_n,β_n},Y_n~(1)=Z_n∪{α_n},Y_n~(2)=Z_n∪{β_n},Y_n~(3)=Z_n∪{α_nβ_n}.     

关于对称平均数定理及其应用

我们把n个正数α_1,α_2,…,α_n的k次对称平均数定义为其中k≤n为正整数;根号内分子部分是n个正数每次不重复地取k个的乘积之和,共有C_n~k项。为简单计,我们把(1)记为∑_n~k(α_1,α_2,…α_n),或者有时就记为∑_n~k。显然, ∑_n~1(α_1,α_2,…α_n)=(α_1 α_2 ……α_n)/n即为n个正数的算术平均数,而∑_n~n(α_1,α_2,…α_n)=则是n个正数的几何平均数。本文先介绍有关n个正数的k次对称平均数的重要性质的两个定理,然后给出它的一些应用。首先,我们证明定理1.(∑_n~k)~(?)k≥(∑_n~(k 1))~(k 1)·(∑_n~(k-1))~(k-1)(k=1,2,…,n-1) (这里规定∑_n~0=1)。证明.为书写方便,记(∑_n~k)~k=P_n~k。因而我们要证明的就是 (P_n~k)~2≥P_n~(k 1)·P_n~(k-1)(P_n~0=1,k=1,2,…n-1)     

一类不等式

<正> 本文首先将(2)换为下面的(4),然后将(3)推广,导出一类不等式. §.2 本文采用记号如下: S_n为n元集{1,2,…,n}上的全体置换所组成的置换群,G为S_n的一个子群. x=(x_1,x_2,…,x_n),α=(α_1,α_2,…,α_n),β=(β_1,β_2,…,β_n)等均为n维欧氏空间中的点,并且不作特别申明时约定各个分量为正.     

代数方法在誤差糾正碼理論中的应用

设R是m个记号0,1,2,…,m-1的集合。我们常用长度为n的序列a=α_1α_2…α_n,α_i∈R来代表一个字,称为碼字。当要传送一个字时,需将α_i变作信号发送出去。由于杂声干扰等原因,对方所收到的可能不是a而是另一个序列b=β_1β_2…β_n,βi∈R,也就是说,可能有了誤差。因此,可靠性是信息传输中的中心问题。所谓誤差纠正码,就是由适当选取的某些序列所组成的集合C,使得当a传送成b时,即使有了誤差,也可根据一定的法则加以纠正。通常取R为整数模m的剩余类环或有限域,而码字a为R上的n维向量a=(α_1,α_2,…,α_n),α_i∈R。为了刻划码的纠正错誤能力,需要在码字之间引进“距离”的概念。我们对任意加法羣给出下列定义:     

多项式恒等定理的初等证法

待定系数法是一个非常重要的数学方法,其理论根据是下面要提到的“多项式恒等定理”。这个定理如果应用高等代数中的代数基本定理来证明是十分容易的。但由于代数基本定理要到大学才能学到,所以在中学教科书中对“多项式恒等定理”没有加以证明。本文对此提供一个中学生能接受的证法,供大家参考。引理若α_nx~n+α_(n-1)x~(n-1)+…+α_2x~2+α_1x+α_n≡0,则α_n=a_(n-1)=…=α_1=α_o=0。证明先证α_0=0。假若不然,设a_0≠0。由于|α_0|≠0,n是一个给定的自然数,因此一定可以取到充分小的正数ε,使得下面几个不等     

Banach空间非扩张映像不动点强收敛定理

设E是具弱序列连续对偶映像自反Banach空间, C是E中闭凸集, T:C→ C是具非空不动点集F(T)的非扩张映像.给定u∈ C,对任意初值x0∈ C,实数列{αn}n∞=0,{βn}∞n=0∈ (0,1),满足如下条件:(i)sum from n=α to ∞α_n=∞, α_n→0;(ii)β_n∈[0,α) for some α∈(0,1);(iii)sun for n=α to ∞|α_(n-1) α_n|<∞,sum from n=α|β_(n-1)-β_n|<∞设{x_n}_(n_1)~∞是由下式定义的迭代序列:{y_n=β_nx_n (1-β_n)Tx_n x_(n 1)=α_nu (1-α_n)y_n Then {x_n}_(n=1)~∞则{x_n}_(n=1)~∞强收敛于T的某不动点.     

A Remark on the Generalized Roper-Suffridge Extension Operator for Almost Stalike Mappings of Order α

Suppose f is an almost starlike function of orderαon the unit disk D.In this paper,we will prove thatΦ_(n,β_2,γ_2,…,β_n,γ_n)(f)(z)=(f(z_1),((f(z_1)/z_1))~β_2(f′(z_1))~(γ_2)z_2,…, ((f(z_1)/z_1))~(β_n)(f′(z_1))~(γ_n)z_n)′preserves almost starlikeness of orderαonΩ_(n,p_1,p_2,…,p_n)={z= (z_1,z_2,…,z_n)′∈C~n:(sum from j=1 to n)|z_j|~(p_j)<1},where 0相似文献   

(三)和差角公式一例

解评 “裂项求和法”求等差角同名函数的和:设有等差角a_1,a_2,a_3,…,a_n,为求其同名三角函数的和,如求 cosα_1 cosα_2 … cosα_n 可先配以“积因子”,如sinβ而得 cscβ(cosα_1sinβ cosα_2sinβ … cosα_nsinβ) 并使括号中各积化成和差形式后能够消项。     

n=3时的費尔馬問题

华罗庚教授在其所著“数论导引”一书中,借域R(ω)(R是有理数域,ω为1之三次原根)証明了方程 x~3+y~3+z~3=0,xyz≠0无整数解。本文给出一个比较初等的証法,而无需涉及复数域。先証以下引理: 引理1.不定方程 x_1x_2…x_n=w~3(x_1,x_2,…,x_n两两互质) (1)之一切整数解均可由公式 x_1=α~3,x_2=β~3,…,x_n=τ~3,w=αβ…τ (2)表出,其中α,β,…,τ两两互质。 証.由(2)确定的x_1,x_2,…,x_n,w显然适合(1).今设x_1,x_2,…,x_n,w为(1)之一组解,令 x_1=α~3x′_1,x_z=β~3x′_2,…,x_n=τ~3x′_n,使x′_1,x′_2,…,x′_n为不再含有立方因数之正数。因x_1,x_3,…,x_n两两互质,故α,β,…,τ与x′_1,x′_2,…,x′_n皆两两互质。由(1)知α~3β~3…τ~3|w~3,即αβ…τ|w;设w=αβ…τw_1,代入(1),便得x′_1x′_2…x′_n=w_1~3。若w_1有质因数p,则应有p~3|x′_1x′_2…x′_n。因x′_1,x′_2,…,x′_n两两互质,所以p~3整除某x′_s,这与x′_s沒有     

1958年9月号問題

375.已知α_1,α_2,…,α_n各数的倒数組成一等差数列。求証: α_1α_2+α_2α_3+…+α_(n-1)α_n=(n-1)α_1α_n。 376.已知x≠y,問|x|+|y|<100有多少組整数解?(x,y与y,x我们认为是不同的)。 377.求証:以定线段为底可作六个等角三角形,使它們的六个頂在同一圆周上。 378.已知一直三棱柱的底是一直角三角形它有一个锐角等于α,所对的直角边长等于     

跳跃Markov过程序列到扩散过程的弱收敛

本文给出了正的跳跃时齐 Markov 过程的函数弱收敛于扩散过程的一般性定理.应用这一定理,在一定条件下证明了随机过程序列{Y~n}_(n≥1)弱收敛于线性扩散过程、带漂移的 Bessel扩散过程(这里的条件比 K.Yamada 在[3]中所给出的条件要弱)以及几何 Brown 运动.其中Y_t~n=1/α_n X_(β_nt)~n,X~n 为正的时齐跳跃 Markov 过程,α_n,β_n 为正数,并且满足条件:α_n=∞,β_n/α_n~2=k~2>0.     

两张回归平面在有限矩形区域上的比较

一、引言考虑两条回归线E(z|X=x)=α_i+β′_ix,i=1,2,其中 α_i,β_i=(β_(i1),……,β_(ik))′是回归系数,x=(x_1,…,x_k)′是自变量.通常要检验这两条回归线的重合性,即是检验假设 H_0∶α_1+β′_1x=α_2+β′_2x,对于一切 x;H_1∶α_1+β′_1x(?)α_2+β′_2x,对至少一个 x 成立.这是统计中的一个典型问题.在许多试验中往往要考虑更为特殊的对立假设.经典的例子如在假定 β_1=β_2下,检验 α_1 与 α_2的差异是否显著;或在假定α_1=α_2下,检验 β_1与 β_2的差异是否显著.后者称为平行性检验.Zellner,Smith 和 Choi 对这类问题作了一些工作.     

跳跃Markov过程序列到扩散过程的弱收敛

本文给出了正的跳跃时齐Markov过程的函数弱收敛于扩散过程的一般性定理。应用这一定理,在一定条件下证明了随机过程序列{Y~n}_(n≥1)弱收敛于线性扩散过程、带漂移的Bessel扩散过程(这里的条件比K.Yamada在[3]中所给出的条件要弱)以及几何Brown运动。其中Y_i~n=1/(α_n)X_(β_ni)~n,X~n为正的时齐跳跃Markov过程,α_n、β_n为正数,并且满足条件:(?)=∞,(?)β_n/α_n~2=k~2>0。     

关于矩阵A~(-1)B的简捷计算

在高等代数或线性代数中,经常遇到矩阵A~(-1)B的计算。例如: (1)解矩阵方程AX=B(A可逆)则X=A~(-1)B; (2)在基变换中,从基ε_1,ε_2,……,ε_k到ε′_1,ε′_2,……,ε′_k的过渡矩阵P=A~(-1)B;(A,B分别是以ε_1,ε_2……,ε_n和ε′_1,ε′_2,……,ε′_n的坐标为列的方阵); (3)向量α在上述两组基下坐标的换算也用A~(-1)B(或~(-1)A);     

多项式理论(续)

§6 有理系数和整系数多项式的根 引理21 设■为整系数多项式,且为本原多项式,即(α_0,α_1,…,α_n)=1。则f的整数根α|α_0;有理数根α=u/2,(u,v)=1有u|α_0,v|α_n。