On the wall effect correction of the Stokes drag formula for axially symmetric bodies moving inside a cylindrical tube

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Einfluss der Wand auf die Bewegung eines rotationssymmetrischen Körpers längs der Achse eines mit zäher Flüssigkeit gefüllten Rohres betrachtet. Der Widerstand des Körpers wird unter der Voraussetzung berechnet, dass die Dimensionen des Körpers gegenüber dem Radius des Rohres klein sind. Wir finden für den WiderstandD eines Körpers, der sich mit der GeschwindigkeitU längs der Achse einer zylindrischen Röhre mit dem inneren RadiusR bewegt, woD _o der Widerstand des Körpers in einer sonst den ganzen Raum füllenden Flüssigkeit, eine Konstante etwa gleich 2.203, und die Viskositätskonstante ist.

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Research done under U.S.Air Force Office of Scientific Research Contract Nr. AF 49 (638)-521.     

On a singular perturbation problem in magnetohydrodynamics

Zusammenfassung Die Strömung einer zähen, inkompressiblen und elektrisch leitenden Flüssigkeit über einen rotationssymmetrischen Körper wird studiert mit Hilfe einer singulären Methode der Störungsrechnung. Eine asymptotische, im ganzen Strömungsfeld gültige Lösung wird gegeben für grosse Hartmann-ZahlenM.Die Resultate ergeben folgendes Strömungsbild: Zwei Totwasser-Bereiche von der LängeO (M) und der BreiteO (1) werden vor und nach dem Körper geformt. Sie sind begrenzt durch eine zylindrische Schubschicht, die vom grössten Durchmesser des Körpers aus parabolisch stromaufwärts und stromabwärts anwächst. In einer Entfernung der GrössenordnungO (M) geht diese Schubschicht in eine Wirbelstrasse über, die sich parabolisch ins Unendliche erstreckt. Die Einzelheiten des Strömungsbildes werden analytisch aufgezeigt. Die Wirbelstrasse wird mit derjenigen der klassischen Navier-Stokes-Theorie verglichen.     

Rotating flow past an elliptic-cylindrical bump of large aspect ratio

Summary Very slow flow of a rapidly rotating fluid past a right cylindrical obstacle of heightd on one of two co-rotating parallel planes, separated by a distanceh, is studied. The elliptic boundaryvalue problem for the geostrophic flow is formulated quite generally, and solutions are given for an infinitely-long ridge and an elliptic cylinder. A modified Ekman number,E _*v/d ², where is the inverse aspect ratio of the cylinder, characterizes the latter solution. ForE _*<1, the fluid flows around a stagnant Taylor column over the elliptic cylinder; forE _*1, the fluid flows over the cylinder as though it were an infinitely-long ridge;E _*=O(1) shows part of the fluid flowing over, and part around, the cylinder. The drag increases from orderE ^–1/4 to orderE ^–1 asE _* increases from small to large values.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die sehr langsame Strömung in einem rasch rotierenden Fluid untersucht um einen zylindrischen Körper, dessen Höhed die viel kleiner ist als die Distanzh der zwei unendlich ausgedehnten mitrotierenden parallelen Platten, welche das Fluid begrenzen; der Körper sitzt auf der unteren Platte. Eine allgemeine Formulierung des elliptischen Randwertproblems wurde für die geostrophische Strömung angegeben. Lösungen wurden für ein unendlich langes Wehr und einen elliptischen Zylinder gefunden. Eine modifizierte Ekman-Zahl,E _*=v/d ² E, in welcher das reziproke Verhältnis von Länge zu Durchmesser darstellt, charakterisiert die Lösung für den elliptischen Zylinder. WennE _*1, umgeht die Flüssigkeit die stagnierende Taylorsäule, die auf dem elliptischen Zylinder ruht; wennE _*1, geht die Flüssigkeit über den Zylinder, als ob er ein unendlich langes Wehr wäre; wennE _*=0(1), geht ein Teil der Flüssigkeit über den Zylinder und ein anderer um ihn herum. Der Reibungswiderstand erhöht sich von 0(E ^–1/4) zu 0(E ^–1), wennE _* von kleinen zu grossen Werten ansteigt.

     

Normal stress effects in oscillatory motion of some idealized elastico-viscous fluids

Zusammenfassung Es wird eine viskoelastische Flüssigkeit mit dem Stoffgesetz (1), (2) betrachtet. Wenn eine solche Flüssigkeit unter dem Einfluss eines periodischen Druckgefälles in einem zylindrischen Rohr von beliebigem Querschnitt fliesst, so gibt es im allgemeinen keine Lösung der Bewegungsleichungen, die eine periodische geradlinige Strömung darstellt und gleichzeitig mit konservativen Massenkräften verträglich ist. Auch eine periodische Couette-Strömung zwischen periodisch schwingenden Zylinder ist im allgemeinen nicht möglich.     

Expansion procedures and similarity laws for transonic flow

Zusammenfassung Die schallnahe Näherungslösung für die Umströmung eines schlanken Drehkörpers wird mit Hilfe einer mathematischen Entwicklung beschrieben. Die Entwicklung wird durch eine abnehmende Folge von Funktionen des Dickenverhältnisses dargestellt, und ein Ähnlichkeitsparameter, der Machsche Zahl und Dickenverhältnis enthält, wird eingeführt. Die ersten Glieder der Entwicklung der Geschwindigkeiten nahe der Achse werden erhalten, und die Ähnlichkeitssätze für Druckkoeffizient und Widerstandsbeiwert eines nichtangestellten Körpers werden abgeleitet. Mit Hilfe einer anderen Entwicklung wird eine angenäherte area rule (Flächenregel) für einen Körper, dessen Querschnittsfläche nicht kreisförmig ist, erhalten.     

The flow of a non-Newtonian liquid near a stagnation point

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen für die Strömung einer nicht-Newtonschen Flüssigkeit nahe einem Staupunkt sind integriert worden nach der Kármán-Pohlhausen-Methode. Es ist gefunden worden, dass der Effekt der Querviskosität von einem dimensionslosen ParameterK=_c a/u abhängt. Die Grenzschichtdicke nimmt ab vonK=0 zuK=0,15 und wächst dann mitK, Die Wand-Scherbeanspruchung nimmt ab mit zunehmendemK, während die Normalkraft an der Wand unabhängig ist von Viskosität und Querviskosität.     

Axially-symmetric stagnation point flow of power law fluids

Zusammenfassung Mit Hilfe von Ähnlichkeitsbetrachtungen wird in der Gegend eines Staupunktes die rotationssymmetrische Strömung einer nicht Newtonschen Flüssigkeit mit Potenzgesetz diskutiert. Es zeigt sich, dass im Gegensatz zu der Newtonschen Flüssigkeit die Dicke der Grenzschicht mit dem Abstand vom Staupunkt variiert. Die Bewegungsdifferentialgleichungen werden mittels der Kármán-Pohlhausen-Methode integriert. Es stellt sich heraus, dass die Schubspannung an der Platte mitn, dem charakteristischen Index der Flüssigkeit, zunimmt.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Note on the boundary layer on a rotating sphere

Zusammenfassung Die gleichmässige Strömung in der Grenzschicht bei einer gleichmässig rotierenden Kugel wird behandelt. Die Grenzschicht entsteht an den Polen und entwickelt sich in beiden Hemisphären nach dem Äquator zu. An den Polen verhält sich die Kugel wie eine rotierende Scheibe, und Flüssigkeit strömt hier ein. Am Äquator verhält sich die Kugel wie ein rotierender Zylinder, und die Flüssigkeit strömt in dessen Bereich aus.     

The stability of dissipative Couette flow between rotating cylinders in the presence of an axial magnetic field

Zusammenfassung Die Stabilität der magnetohydrodynamischen Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die sich in einem axialen Magnetfeld befinden wird untersucht für beliebige Werte des Rotationsparametersm= ₂/ ₁, wobei ₂ die Winkelgeschwindigkeit des äusseren Zylinders und ₁ die Winkelgeschwindigkeit des inneren Zylinders bedeutet. Es wird angenommen, dass die Spaltbreite klein gegenüber den Krümmungsradien der Zylinder ist, dass es sich um eine schwach elektrisch-leitende Flüssigkeit handelt und dass die Zylinder nicht-leitend sind. Werte der kritischen Taylor- und Wirbelzahl für neutrale Störungen vom Taylor-Görtler-Typ werden als Funktion der Hartmann-Zahl für alle |m|1 numerische bestimmt.     

The boundary layer on a wall nearly parallel to a magnetic field

This paper calculates the structure of the boundary layer which occurs at the wall of a nonconducting duct in fully-developed laminar flow of a conducting fluid when the wall is inclined at a small angle to the uniform transverse magnetic field and when the Hartmann numberM is high. When is large compared withM ^–1/2 the layer splits into a Hartmann layer on the inclined wall and a weak shear layer emanating from the duct corner along field lines. These two layers cause equal reductions in the total flow rate.

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Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt die Struktur der Grenzschicht, die an der Wand eines nicht leitfähigen Kanals entsteht die eine vollentwickelte Laminarströmung einer leitfähigen Flüssigkeit führt, wobei die Wand einen kleinen Winkel mit dem gleichförmigen transversalen Magnetfeld bildet und die Hartmannsche ZahlM groß ist. Für große Werte von im Vergleich zuM ^–1/2 teilt sich die Grenzschicht in einen Hartmannsche Schicht an der geneigten Wand und eine schwache Scherschicht, die von der Ecke des Kanals entlang der Feldlinien ausgeht. Die beiden Schichten verursachen die gleichen Verminderungen in der Durchflußmenge.

     

Remarks on the Bénard and related stability problems

Zusammenfassung Für gewisse mathematische Probleme, die im Zusammenhang mit dem Verhalten einer von unten beheizten Schicht Newtonscher Flüssigkeit und mit der Couette-Strömung Stokesscher Flüssigkeiten auftreten, wird gezeigt, dass sie in einem geeigneten Hilbert-Raum selbstadjungierten Charakter annehmen.     

Theory of oscillation type viscometers: The oscillating cup

This is the first of a series of papers dealing with the theory of oscillation type viscometers with particular emphasis on those in which a finite right circular cylinder (cup or disk) oscillates in contact with a fluid. The purpose is to obtain formulae which relate the density and viscosity of the fluid to the frequency and logarithmic decrement of the oscillation and the various physical properties of the suspension system. The study is to include an accurate analysis of the fluid motion in the vicinity of the edges since this is the main source of error in most existing theories. The first paper gives a general formulation of the problem and an exact solution (including transients) for the oscillating cup viscometer with the fluid inside the cup.

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Zusammenfassung Diese Abhandlung ist der erste Bericht aus einer Veröffentlichungsreihe, die sich mit der Theorie schwingender Viskosimeter befasst. Dabei sind besonders die behandelt, bei denen ein endlicher Kreiszylinder (Becher oder Scheibe) von einem flüssigen Medium gefüllt oder umgeben schwingt. Die Aufgabe der Untersuchung ist es, die Abhängigkeit der Frequenz und des logarithmischen Dekrementes der Schwingung von der Dichte und der Viskosität der Flüssigkeit und von den verschiedenen physikalischen Grössen des Aufhängungssystems zu finden. Weiterhin ist eine genaue Analyse der Flüssigkeitsbewegung in den Randzonen eingeschlossen, da diese die Hauptursache der Fehler in den meisten der vorhandenen Theorien war. Die erste Abhandlung gibt die grundlegende Formulierung des Problemes und eine exakte Lösung (einschliesslich der Einschwingzeit) für das Viskosimeter, bei dem ein mit der zu messenden Flüssigkeit gefüllter schwingender Becher verwendet wird.

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List of Symbols The following is a partial list of symbols including only those that are used repeatedly: A surface of contact between fluid and cylinder - D(s) defined in equation (16) - f() transient, equation (42) - h half height of cylinder or height of liquid in an open cup - I moment of inertia of suspension system - I moment of inertia of fluid inside cup - I _k modified Bessel function of orderk - J _k Bessel function of orderk - M() frictional moment exerted by the fluid - n normal toA outward from the fluid - r radial coordinate in the fluid This work was supported by the United States Air Force through the Air Force Office of Scientific Research and Development Command under contract No. AF 18(600)1548. Part of the work was done while one of the authors (G. F. N.) was being supported by a grant from the Alfred P. Sloan Foundation.     

A new approach to the theory of an oscillating cylinder viscometer by dimensional analysis

Zusammenfassung Es wurde ein Verfahren entwickelt, um den Viskositätskoeffizienten einer Newtonschen Flüssigkeit mit Hilfe eines schwingenden Zylinderviskosimeters zu messen. Es wird gezeigt, dass die Ablesungen von (₀/₀) für verschiedene Flüssigkeiten zu einer einzigen Kurve führen, wenn sie als dimensionsloses Produkt der veschiedenen Variablen aufgetragen werden. Diese einfache Kurve hängt nicht von der Viskosität und Dichte der Flüssigkeit ab, hingegen von den Dimensionen der Apparatur.Experimente wurden an Paraffinöl, Glyzerin und Olivenöl ausgeführt. Die Ergebnisse scheinen sowohl die Theorie wie das Verfahren zu stützen.     

Statically possible radially symmetric deformations in isotropic,incompressible elastic solids

Zusammenfassung Das Problem der Bestimmung der Gesamtheit von Gleichgewichtsdeformationen, die in einem isotropen, homogenen, inkompressiblen elastischen Festkörper lediglich unter der Wirkung von Obertlächenspannung und konservativen Körperkraftfeldern aufrechterhalten werden können, ist als Ericksen's Problem bekannt. In seinen ursprünglichen Arbeiten [1, 10] kam Ericksen zu partieller Vollständigkeit mit Ausnahme zweier Fälle, von denen einer jedoch—was erst später bewiesen wurde [11–14]—Lösungen besitzt. Während in [14] die Frage der Vollständigkeit für den Fall ebener Deformationen mit einheitlicher Transversalspannung abgeschlossen wurde, erhalten wir in diesem Artikel Vollständigkeit für die Klasse von radialsymmetrischen Deformationen. wie sie in Gleichung (3.1) definiert sind. Man findet, dass ausser der Gruppe von homogenen Deformationen nur zwei zusätzliche Gattungen des radialsymmetrischen Typs möglich sind, die jedoch beide bekannt sind: 1. Aufblasen und Ausdehnen eines Kreiszylinders; 2. Aufblasen oder Umstülpen eines Sektors einer Kugelschale.     

On the problem of uniqueness under pressure loading

Zusammenfassung Die Bedingung für das Auftreten einer Verzweigung bei einem beliebigen festen Körper wird allgemein für den Fall diskutiert, dass Teile der Oberfläche unter einer druckartigen Belastung stehen. Besondere Beachtung wird der Frage der Eindeutigkeit bei konventionellen plastischen Körpern geschenkt und mit Beispielen illustriert. Die Formel mit dem Tangentenmodul für das Beulen einer langen dünnwandigen Zylinderschale unter sehr flüssigem Druck wird verbessert.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Finite elastic deformations of bodies with irregular shapes

Zusammenfassung In der Theorie endlicher Deformationen elastischer Festkörper sind jene Probleme, für die exakte Lösungen verfügbar sind, beschränkt auf Körper, deren gespannte und entspannte Zustände durch Koordinatenflächen eines der bekannten und allgemein verwendeten Koordinatensysteme begrenzt sind, und die daher symmetrische Eigenschaften in hohem Grade besitzen. Diese Abhandlung entwickelt eine Methode, mit deren Hilfe man Lösungen für endliiche Deformationen erhalten kann, und zwar für Körper, deren nichtdeformierte Form eine Perturbation der nichtdeformierten Form eines anderen Körpers ist, für den eine endliche Deformationslösung schon verfügbar ist. Diese Methode wird verwendet zur Bestimmung einer Lösung zu dem Problem der endlichen Streckung und Torsion eines elliptischen Zylinders, dessen Verhältnis von Hauptachse zu Nebenachse nahezu eins ist. Im Weiteren erleichtert diese Methode eine Analyse des Problems einer endlichen Ausdehnung für zwei Fälle achsensymmetrischer Körper: 1. Der Körper ist ein Kreiszylinder in allen Punkten ausserhalb eines Streifens endlicher Länge, wo seine nichtdeformierte Form eine Perturbation des Kreiszylinders ist. 2. Der Körper wird erhalten durch Rotation einer Sinuskurve um die Symmetrieachse.     

Vapor bubble growth on a semi-infinite solid

Zusammenfassung Das diffusionskontrollierte Wachstum einer halbkugelförmigen Dampfblase in einer anfangs gleichmässig überhitzten Flüssigkeit an einem einseitig unbegrenzten Festkörper, dessen Anfangstemperatur ebenfalls gleichmässig ist, wird untersucht. Es wird gezeigt, dass die Menge des erzeugten Dampfes während der Wachstumsperiode der Dampfblase im allgemeinen wesentlich durch den Wärmeübergang vom Festkörper zur Flüssigkeit durch einen schmalen, ringförmigen Bereich in der Nähe des Umfanges der Dampfblasenbasis beeinflusst wird. Dies ist der Fall, weil der Umfang der Dampfblasenbasis gleichzeitig der Rand der Phasengrenze ist; und deshalb muss die Temperatur dort die Verdampfungstemperatur der Flüssigkeit sein, deren Wert als geringer als die Anfangstemperatur des Festkörpers angenommen wird.

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This work was supported by grants from the Purdue Research Foundation and the National Science Foundation.     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.