一道函数竞赛题的另解及探讨

第五届“创新杯”全国数学邀请赛（复试）高二年级试题的第19题为： 已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c，若对一切x∈[-1，1]，有｜f（x）｜≤1，求证： 1）x∈[-1，1]时，｜2ax＋b｜≤4； 2）x∈[-1，1]时，｜cx^2-bx＋a｜≤2．     

为一复数题“取模解法”辩解

文[1]给出以下试题"已知复数z满足｜z｜＝1，且zn＋z＝1，求z．"（1988年苏州市数学竞赛试题）的解法。解先将原方程变为zn＝1－z，取模得：｜zn｜＝｜1－z｜，再由｜z｜＝1得｜z｜2＝｜1－z｜2，z·z＝（1－z）·（1－z），化简得z＋z＝1；再以z＝a＋bi代入得故原方程有二解：文[2]说，容易验证：这确是原方程的根，但方法不对．文[2]开篇便称此种解法是"取模的误解"．究竟文[1]的这种"取模解法"是否能够成立？我们试作如下分析．原解法可写成：显然⑤是①的必要条件但不一定是充分条件．因此有可能会产生增根，但不至于有漏根．因为凡适合…     

一道俄罗斯高考题的另解及变式

下面是2006年莫斯科大学力学系入学考试数学试卷的压轴题： 设x和y是任意实数，求表达式｜2x—y-1｜＋｜x＋y｜＋｜y｜的最小值． 文[1]利用数形结合的思想，给出了该题的一个巧解，并在文末提出是否有更好的解法．本文将给出该题的一个简解及变式．     

试题讲解要注意不同层次学生的需求

笔者最近在讲评作业时遇到了如下的一道题目： 题目 已知函数f（x）=x^2＋bx＋c,x∈[-1,1]．求证：当b〈-2时,在闭区间[-1,1]上总存在一个x,使得｜f（x）｜≥｜b｜成立．     

探究一道高考题的幕后知识

湖北卷（理）22题：已知不等式1/2＋1/3＋…＋1/n〉1/2[log2 n],其中n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2 n的最大整数，设数列｜an｜的各项为正，且满足：a1=b（b〉0）,an≤nan-1/n＋an-1,n=2,3,4…，     

如何计算星期几

历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这些问题，有很多计算公式，其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式：训。y＋[y/4]＋[c/4]-2c＋[2.6（m＋1）]＋d-1．     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题： 问题1 求函数y-^n∑i=1Fi｜x-Fi｜的最小值，其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列，它由F0=0,F1=1,Fn＋2=Fn＋1＋Fn（n∈N）确定。     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式：设a，b，c为正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3, （1/b＋c-a）（1/c＋a＋b）（1/a＋b＋c）≥（11/6）^3。 为了推广这两个不等式，文[1]提出下面四个命题，要求证明或否定之．     

一道练习题的推广

原题 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a≠0）。满足当｜x｜≤1时，总有｜f（x）｜≤1。则｜f（2）｜≤8．     

瓦西列夫不等式的再推广

贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式，其中之一是下面的瓦西列夫不等式： 设a，b，c〉0，且a＋b＋c=1，则 a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2 （1）     

一个最小值极大化问题的简解

文[1]为解决二次规划问题：已知实数x1，x2，…，xn，满足x1^2＋x2^2＋…＋xn^2=1，当n≥3时，求maxmini≠j i≠j｜xi-xj｜.     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有： （1/b＋c -a）（1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

On quasi-reduced quadratic forms

With the help of continued fractions, we plan to list all the elements of the set Q△ = {aX2 ＋ bXY ＋ cY2 ： a,b, c ∈Z, b2 - 4ac = △ with 0 ≤ b 〈 √△}of quasi-reduced quadratic forms of fundamental discriminant △. As a matter of fact, we show that for each reduced quadratic form f = aX2 ＋ bXY ＋ cY2 = （a, b, c） of discriminant △〉0（and of sign σ（f） equal to the sign of a）, the quadratic forms associated with f and defined by {〈a＋bu＋cu2,b＋2cu.c〉},with 1≤σ（f）u≤b/2｜c｜ （whenever they exist）, 〈c,-b-2cu,a＋bu＋cu2〉 with b/2｜c｜≤σ（f）u≤[w（f）]=[b＋√△/2｜c｜], are all different from one another and build a set I（f） whose cardinality is #I（f）={1＋[ω（f）],when（2c）｜b,[ω（f）],when （2c）｜b. If f and g are two different reduced quadratic forms, we show that I（f） ∩ I（g） = Ф. Our main result is that the set Q△ is given by the disjoint union of all I（f） with f running through the set of reduced quadratic forms of discriminant △〉0. This allows us to deduce a formula for #（Q△） involving sums of partial quotients of certain continued fractions.     

双纽线｜w~2十c｜=1的弧长

设s（c）为双纽线｜W2＋c｜＝1的弧长，c∈「0，＋∞）．该文讨论了s（c）的性质，并在n＝2的情况下解决了Erdos，Herzog和Piranian提出的一个猜测。     

优美不等式中的三姐妹

文[1]、文[2]分别给出了如下两个优美的不等式： 命题1 设a,b,c∈R＋且a＋b＋c=1,则     

Weakly stable constant mean curvature hypersurfaces

Let M^n be an n-dimensional complete noncompact oriented weakly stable constant mean curvature hypersurface in an （n ＋ 1）-dimensional Riemannian manifold N^n＋1 whose （n - 1）th Ricci curvature satisfying Ric^N（n-1） （n - 1）c. Denote by H and φ the mean curvature and the trace-free second fundamental form of M respectively. If ｜φ｜^2 - （n- 2）√n（n- 1）｜H｜｜φ｜＋ n（2n - 1）（H^2＋ c） 〉 0, then M does not admit nonconstant bounded harmonic functions with finite Dirichlet integral. In particular, if N has bounded geometry and c ＋ H^2 〉 0, then M must have only one end.     

一类非线性Schroedinger方程的高精度守恒数值格式

1引言 本文讨论下面非线性Schroedinger方程（NLS）方程的初边值问题： i（偏du）/（偏dt）＋（偏d^2u）/（偏dx^2）＋2｜u^2｜u=0,（1）[第一段]     

关于完全t部图K(n1,n2,…,nt)的色唯一性

设P（G，λ）是图G的色多项式，如果对任意使P（G，λ）=P（H，λ）的图H都与G同构，则称G是色唯一图。这里通过比较图的特征子图的个数，讨论了由Koh和Teo在文献[1]中提出的问题（若｜ni-nj｜≤2，1≤i，j≤t且min{n1，n2，…，nt}充分大，K（n1，n2，…，nt）是否为色唯一图？）。证明了，若｜ni—nj｜≤2且t↑∑↑i=1 ni〉t^2/2＋t√t-1，则K（n1，n2，…，nt）是色唯一图；若αi=0或k，t↑∑↑i=1 n＋αi〉t^2k^2/8＋｜tk｜/2√t-1，则K（n＋α1，n＋α2，…，n＋αt）是色唯一图。其条件比文献[4]中的条件较好一些。     

SOME POLYNOMIAL INEQUALITIES IN THE COMPLEX DOMAIN

P（z）=∑v=0^n cvz^v
be a polynomial of degree n and let M（f, r） = max｜z｜=r ｜f（z） ｜ for an arbitrary entire function f（z）. If P（z） has no zeros in ｜z｜ 〈 1 with M（P,1） = 1, then for ｜α｜ 〈 1, it is proved by Jain[Glasnik Matematicki, 32（52） （1997）, 45-51] that
｜P（Rz）＋α（R＋1/2）^nP（z）｜≤1/2{｜1＋α（R＋1/2）^n｜＋｜R^n＋α（（R＋1/2）^n｜},R≥1,｜z｜=1.
In this paper, we shall first obtain a result concerning minimum modulus of polynomials and next improve the above inequality for polynomials with restricted zeros. Our result improves the well known inequality due to Ankeny and Rivlin and besides generalizes some well known polynomial inequalities proved by Aziz and Dawood.