Algebre de Lie attachee a la structure presque-tangente

Résumé On se propose d'étudier l'algèbre de Lie des champs de vecteurs qui laissent invariante la structure presque tangente sur le fibré tangent. On montre que cette algèbre de Lie est égale à son algèbre dérivée et on détermine toutes ses dérivations. On en déduit que cette algèbre de Lie caractérise la structure différentiable de la variété de base du fibré tangent.     

Action localement libres du groupe affine

Résumé SoitGA le groupe des transformations affines de préservant l'orientation. Nous étudions les actions localement libres deGA sur les 3-variétés fermées. Il s'avère que ces actions sont remarquablement rigides, ce qui permet de les étudier à conjugaison différentiable près. Nous classifions complètement ces actions sous l'hypothèse qu'elles préservent une forme de volume puis nous montrons que cette hypothèse est inutile si la variété ambiante est une sphère d'homologie réelle. Comme application, nous obtenons un résultat de rigidité pour certains groupes fuchsiens: un nombre fini de paramètres suffit pour décrire, à conjugaison différentiable près, les déformations de ces groupes dans Diff( ).     

Familles de caractères des algèbres de Hecke cyclotomiques

Nous généralisons au cas des groupes de réflexions complexes la définition de Rouquier des “familles de caractères” des groupes de Weyl (définies antérieurement par Lusztig). Nous mettons en évidence le fait que cette notion dépend d'une manière essentielle du choix de la déformation de l'algèbre de groupe appelée “algèbre cyclotomique”, et nous calculons ces familles pour toutes les algèbres cyclotomiques des familles infinies de groupes de réflexions complexes qui généralisent les familles infinies de groupes de Weyl.     

Géométrie systolique des sommes connexes et des revêtements cycliques

Nous étudions la constante systolique de la somme connexe de n exemplaires d’une variété M en fonction de ce nombre. Le comportement asymptotique de cette constante, connu dans le cas deux dimensionnel, demeure un problème ouvert dans les dimensions plus grandes que deux. Nous exhibons une borne supérieure, montrant ainsi que la croissance de la constante systolique en fonction de n est toujours plus lente que la croissance linéaire. La méthode utilisée est appliquée à l’étude du comportement systolique des revêtements cycliques en fonction du nombre de feuilles.     

Sur la régularité de la fonction croissance d'une variété riemannienne

Résumé On étudie la différentiabilité de la fonction croissance d'une variété riemannienne complète. En général, elle a la même régularité qu'une fonction concave: la dérivée peut avoir des sauts pour lesquels on donne une formule. Dans le cas analytique réel, la fonction croissance est de classeC ¹. Un exemple montre qu'elle n'est pas nécessairementC ². A titre d'application, nous construisons, pour toute variété ouverte paracompacteM et toute fonction croissantev de classeC ¹, une métrique continue de croissance égale àv et une métrique de classeC surM de croissance proche dev en topologieC ¹-fine.

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Travail réalisé avec l'aide financière du MURST d'Italie.     

Derivations of differential forms on jet bundles

Summary The theory of derivations of differential forms, originally formulated by Frölicher and Nijenhuis [2], is generalized to include derivations which connect differential forms on two different manifolds. This generalized theory is then used to analyze derivations of direct limits of exterior algebras of forms on jet bundles. Such derivations have found applications in the analysis of Lie equations [3], [4] and in the inverse problem of the calculus of variations [6], [7], [8], [9].

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Résumé On présente une généralization de la théorie des dérivations des formes extérieures, formulée par Frölicher et Nijenhuis [2], au cas des dérivations qui relient les formes extérieurs sur deux variétés différentes. On utilize ensuite cette théorie généralizée pour étudier les dérivations des limites directes des algèbres des formes extérieures sur les fibrés des jets. Ces dérivations ont été appliquées dans l'analyse des équations de Lie [3], [4] et dans le problème inverse du calcul des variations [6], [7], [8], [9].

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This work is a part of a program conducted jointly with ProfessorBenenti at Istituto di Fisica Matematica «J. L. Lagrange» of Torino. The authors are greatly indebted to the Director of the Institute Professor D.Galletto for his interest and encouragement.This work has been supported by Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Sur les algèbres formelles associées par déformation a une variété symplectique

Résumé Sur une varieté symplectique (W, F), on considère une algébre associative formelle (E(N;v),x_v) obtenue par déformation du produit usuel des fonctions et satisfaisant à des hypothèses générales concernant le crochet de Poisson. Cette algèbre est déterminée de manièr unique par l'algèbre de Lie qu'elle engendre. On détermine les dérivations et les automorphismes de l'algèbre associative.     

Equations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs II

Dans un article précédent, nous avons démontré que si D est un opérateur différentiel bi-invariant sur un groupe réductif G vérifiant la condition de Benabdallah-Rouvière, alors on peut résoudre l’équation différentielle Du=v dans l'espace des distributions G-invariantes (par automorphismes intérieurs) d'ordre fini; nous allons montrer ici que, sous la même hypothèse, on peut résoudre cette équation dans l'espace de toutes les distributions G-invariantes. D'autre part, nous donnons un exemple dans qui montre que les équations différentielles invariantes dans les algèbres de Lie réductives ne sont pas toujours résolubles dans l'espace des fonctions indéfiniment différentiables invariantes.     

Recherches sur les systèmes de tourbillons ponctuels soumis à des liaisons et sur la notion de configuration hydrodynamique stable

Conclusion Les résultats obtenus au cours de la première partie mettent en lumière certains cas dans lesquels la conditionN peut être satisfaite. Parmi tous les systèmes de tourbillons du type (5), il faut exclure, pourn pair, ceux qui ne vérifient pas (16). En particulier,une configuration alternée doit donner lieu à (1).Lorsqu'il en est ainsi, la condition N est effectivement réalisée pour le système différentiel qui définit le mouvement relatif des tourbillons. On est alors dans un cas de semi-stabilité. Naturellement, ce résultat ne suffit pas à prouver que la rue illimitée correspondante possède une propriété du même genre, mais il milite en faveur de cette hypothèse. Tout d'abord, aucun argument ne s'oppose plus à cette possibilité, puisque celui de M. G. Durand a pu être écarté. On prévoit, en outre, que la notion de semi-stabilité, précisée ici dans le cas d'un système à nombre fini de variables, pourra être définie dans des circons-tances moins restrictives. Ce point sera traité ultérieurement, je l'espère bien, comme application d'un problème plus général dont je poursuis actuellement l'étude.     

Courbure de Ricci et géométrie conforme

Résumé On connaÎt l'intérÊt porté sur les liaisons entre courbure de Ricci et géométrie conforme d'une variété riemannienne. Ici on étudie une fonctionnelle attachée aux déformations conformes du tenseur d'Einstein d'une variété riemannienne compacte (M, g) de dimension n > 2, en obtenant certains résultats globaux concernant la géométrie et la topologie de (M, g), en particulier une condition pour que (M, g) soit isométrique à une sphère euclidienne. On étudie, ensuite, la courbure de Ricci du fibré tangent en cercles T_cV d'une variété riemannienne (V, g) de dimension 2, fibré muni de la métrique g^s de Sasaki, en obtenant, d'une part, des resultats, soit locaux soit globaux, sur la géométrie conforme de (T_cV, g^s) et, d'autre part, des conditions d'isométrie, soit de (V, g) soit de (T_cV, g^s), à certaines variétés standard. Certains des résultats de ce travail ont été annoncés dans une note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris.Travail exécuté d'après le programme du «Gruppo Nazionale per le strutture algebriche e geometriche e loro Applicazioni, C.N.R. Italia».Alla memoria della mia adorata madre     

Topologies sur certains treillis complets

Sans résuméEn hommage à Monsieur le Professeur H.Kneser M. S.Papert m'a obligeamment signalé que le résultat que je conjecturais: possibilité de plonger tout treillis complet complètement distributif dans un produit de chainesa été établi par G. N.Raney (A subdirect representation for completely distributive complete lattices. Proc. Amer. Math. Soc.4, 518–522 (1953)) et m'a fait remarquer que la topologie obtenue surT n'est autre que la topologie de l'ordre au sens de G.Birkhoff (Cf. [1]), et est par suite indépendante du produit de chaines dans lequel on plongeT.Enfin, M, P.Dwinger m'a fourni un contre-exemple prouvant que tout treillis complètement distributif ne peut pas etre plongé dans une algèbre de Boole complètement distributive avec conservation des sup et inf des parties infinies.     

Automatic integration of a stiff system using ellipsoidal norm of the error-vector for error-control

The truncation error in the One-Step-Predictor-Corrector (OSPC) method of integrating a stiff system of Ordinary Differential Equations (ODE's) has been obtained. A new method of error-control for the purpose of automatic choice of stepsize has been developed. It is shown that if the error criterion is imposed on a suitable ellipsoidal norm of the vector of errors, the growth of global error is linear. Numerical tests show that this method of error-control leads to more accurate solutions than the conventional method which uses only a scalar error for controlling the time-step.

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Résumé On a déterminé l'erreur de troncature de la méthode basée sur la prédiction et la correction à un pas (OSPC) qui intègre un système rigide d'équations différentielles ordinaires (ODE's). Une nouvelle méthode de contrôle des erreurs a été établie afin que le choix de grandeur du pas se fasse automatiquement. On a démontré que la croissance de l'erreur globale est linéaire si le critère d'erreur est appliqué à une norme ellipsoidale appropriée du vecteur des erreurs. Des essais numériques démontrent que cette méthode de contrôle de l'erreur rend les solutions plus précises que la méthode conventionelle qui ne fait appel qu'à l'erreur scalaire afin de contrôler le pas d'intégration.

     

Fonctorialité en K-Théorie bivariante pour les variétés lipschitziennes

Résumé Soit f: M V/F un morphisme continu orienté d'une variété lipschitzienne M dans l'espace des feuilles d'une variété lipschitzienne feuilletée (V,F), et soit C ^* (V,F) la C ^*-algèbre du feuilletage d'A. Connes. On construit un élèment (f) dans le groupe de K-théorie bivariante KK(C ₀ (M); C ^* (V,F)) de G. G. Kasparov et on montre la fonctorialité de cette construction. On utilise l'opérateur de signature de N. Teleman ([42]). Ceci répond pour les variétés lipschitziennes à une conjecture d'A. Connes ([11]) qui a été résolue pour les variétés différentiables dans [13, 8, 19].

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Let M be a Lipschitz manifold, (V, F) a foliated Lipschitz manifold and let f M V/F be an oriented morphism. Let C ^* (V,F) be the foliation's C ^*-algebra of A. Connes. We then construct an element (f) of the K-theory bivariant group KK(C ₀(M); C ^* (V, F)) of G. G. Kasparov which depends functoriality on f. This uses the signature operator of N. Teleman [42]. It gives a positive answer for Lipschitz manifolds to a conjecture of A. Connes [11] which has been proved for differentiable manifolds in [13, 8, 19].

     

Interference patterns of zonal gratings: Application to rheology of polymers

Résumé Cet article présente la théorie des franges de moiré créées par des réseaux circulaires de pas égal ou légérement différent. Nous avons établi les équations différentielles reliant les lignes de reférence et les lignes du modèle avec les franges de moiré produites par la superposition de ces deux familles de lignes. Les franges de moiré fournissent les ellipses de déplacement dans un champ de déformation uniforme. Ces franges ont été utilisées pour mésurer simultanément la complaisance de fluage et le coefficient de contraction latérale d'une matière viscoelastique linéaire le long de son spectre viscoélastique entier.On est arrivé à demontrer que le coefficient de la contraction latérale est une fonction monotone croissante qui tend asymptotiquement vers la valuer limite de 0.5 valable pour toute matière incompressible. Les fonctions caractéristiques de la complaisance de fluage à la traction et le coefficient de contraction latérale sont suffisantes pour la définition viscoélastique complète de la matière.Les résultats obtenus ont été comparés avec succès à ceux qui ont été déduits d'une méthode indirecte qui utilise une seule fonction caractéristique le long du spectre viscoélastique entier de la matière et la valeur initiale d'une autre fonction.     

Densité des Points à Coordonnées Multiplicativement Indépendantes

Nous montrons que pour toute sous-variété algébrique d'un tore multiplicatif (non contenue dans un sous-groupe algébrique propre), on peut choisir un ensemble Zariski dense de points algébriques de hauteur contrôlée, dont toutes les coordonnées sont multiplicativement indépendantes. Cet énoncé précise et généralise un théorème de S. Zhang qui lie la hauteur projective d'une varété au minimum essentiel de la hauteur des points algébriques de celle-ci. En tenant compte d'un résultat précédent des auteurs sur le problème de Lehmer généralisé à un tore, nous en déduisons une minoration pour la hauteur normalisée d'une sous-variété d'un tore. Cette dernière est optimale à un «-prés» en le degré géométrique de la variété étudiée (confer une conjecture du second auteur avec P. Philippon).In this article, we prove that on any subvariety of a multiplicative torus which is not contained in a proper algebraic subgroup, one can find a Zariski dense set of algebraic points of small height whose coordinates are multiplicatively independent. This statement generalizes an earlier result of S. Zhang which links the projective height of a variety with the essential minimum of its algebraic points. Taking into account an earlier result of the authors on the Lehmer problem generalized to a multiplicative torus, one deduces a lower bound for the normalized height of subvarieties of multiplicative groups. This lower bound is optimal up to an in the geometric degree of the variety studied (confer a conjecture by the second author and P. Philippon).     

Sur les idéaux induits dans les algèbres enveloppantes

Résumé Soient une algèbre de Lie de dimension finie et une sousalgèbre de Lie de . Je montre que l'induction, qui envoie les idéaux de l'algèbre enveloppante de dans les idéaux de l'algèbre enveloppante de , commute, à une torsion près, à l'anti-automorphisme principal. La résolution libre standard de la représentation triviale d'une algèbre de Lie joue un rôle important dans la démonstration.

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Summary Let be a finite dimensional Lie algebra, and a Lie subalgebra. I show that the induction map, between the sets of ideals in the enveloping algebras of and , commutes, up to a twisting, with the principal anti-automorphism. The standard free resolution of the trivial representation of a Lie algebra plays an important role in the proof.

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Convention. On fixe un corps commutatifk. Tous les espaces vectoriels, produits tensoriels et algèbres considérés dans cet article sont surk.

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Notations. Si g est une algèbre de Lie, on noteU(g) son algèbre enveloppante. On noteu l'anti-automorphisme principal deU(g): c'est l'antiautomorphisme tel que pourXg. Si est une forme linéaire sur g, nulle sur [g,g], on noteuu l'automorphisme deU(g) tel queX =X+(X) pourXg. Si g est de dimension finie, la fonction module de g est la forme linéaireXtradX.     

L'injectivité de l'application de Dixmier pour les algèbres de Lie résolubles

Résumé Soient g une algèbre de Lie résoluble sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0, g^* l'espace dual de g et de groupe algébrique adjoint. Nous montrons que l'application de Dixmier de g^*/ dans l'espace des idéaux primitifs de l'algèbre enveloppante de g est injective.     

Streamlines in Bénard convection cells induced by surface tension and buoyancy

Résumé L'équation différentielle obtenue en appliquant la théorie des perturbations au problème de la convection cellulaire a déjà été résolue par rapport aux valeurs propres définissant le début de l'instabilité. Dans ce travail on cherche les fonctions propres correspondant à diverses combinaisons des forces de poussée et de tension superficielle et différentes conditions thermiques à la surface libre. On discute la relation entre la disposition des lignes de courant et le degré d'interdépendance des deux agents d'instabilité. On a tracé les lignes de courant dans le cas où la convection résulte de la tension superficielle seule sur une surface libre isolée thermiquement. Ces lignes sont peu différentes de celles qu'on trouve dans les mêmes conditions lorsque la convection est due à la poussée seule. Ceci explique le haut degré d'interdépendance entre les deux phénomènes, lorsque la surface supérieure est isolée thermiquement.     

Calcul stochastique dépendant d'un paramètre

Résumé Le développement du calcul stochastique au cours des dix dernières années a rendu indispensable la mise à jour de l'article [3] de C. Doléans-Dade sur les intégrales stochastiques dépendant d'un paramètre, qui se limitait aux martingales de carré intégrable. Les deux auteurs se sont mis au travail indépendamment l'un de l'autre sur cette question, pour découvrir qu'ils avaient démontré beaucoup de résultats communs. Ayant confronté leurs rédactions, et constaté que leurs points de vue étaient légèrement différents, ils n'ont pu se résoudre à refondre le tout en un article incolore. On trouvera donc ci-dessous deux parties I et II, dont la première suit à peu près le canevas de l'article initial de M. Yor, à l'exception de la section 5, qui est une véritable synthèse des résultats obtenus par les deux auteurs sur les intégrales stochastiques dépendant d'un paramètre. La seconde partie correspond à peu près à l'article initial de C. Stricker, allégé des résultats communs, et présenté dans un ordre différent de l'ordre primitif.Les résultats que nous présentons peuvent rendre service à des utilisateurs du calcul stochastique pourvus d'un bagage technique relativement limité. C'est pourquoi nous avons donné des énoncés simples, rejetant dans les «remarques» divers raffinements. En particulier, la série des remarques entre astérisques^*..._* développe une extension des résultats énoncés, qui a son intérêt, mais qui aurait trop alourdi le texte principal.Enfin, nous remercions vivement P.A. Meyer dont les nombreuses remarques nous ont conduit à la version définitive de ce travail.