三维Laplace方程边界元中线性单元的精确积分法

边界元中的边界积分计算影响计算精度和计算速度。非奇异积分一般采用数值积分，当配置点接近积分单元时，计算精度降低。未知函数线性插值得到的解是连续解，但计算难度增大。本文采用积分区域变换，将三维Laplace问题的二维积分化为一维积分，这样奇异积分和非奇异积分能采用精确积分的方法计算，使求解精度，计算速度都得到提高。     

弹性理论几类导数边界积分方程之间的变换关系

导数场边界积分方程通常难以应用，因为存在着超奇异主值积分的计算障碍。弹性理论中有几类不同的位移导数边界积分方程，本文采用算子δij和∈ij(排列张量)作用于这些导数边界积分方程，做一系列变换，原有的超奇异积分被正则化为强奇异积分获解。从而建立了这些位移导数边界积分方程之间的转换关系，它们均可以归结为自然边界积分方程。自然边界积分方程仅存在容易计算的Cauchy主值积分。自然边界积分方程分析可直接获得边界应力和位移导数。     

边界元法中计算几乎奇异积分的一种无奇异算法

边界元法中存在几乎奇异积分的计算困难。引起边界单元上几乎奇异积分的因素是源点到其邻近单元的最小距离δ。本文拓展文[1]的思想,进一步采用分部积分将δ移出奇异积分式中积分核之外,转换后积分核是δ的正则函数。所以几乎强奇异和超奇异积分被化为无奇异的规则积分与解析积分的和,可由通常的Gauss数值积分解。文中应用此正则化技术求解了弹性力学平面问题的近边界点位移和应力。     

关于完整非保守系统的基本积分变量关系

本文证明,完整非保守系统不存在 Poincare-Cartan 积分不变量和 Poincare 通用积分不变量。取而代之,给出非保守系统的 Poincare-Cartan 型和 Poincare 型积分变量关系,并将这种积分变量关系用于求解非线性振动问题。我们还证明了文[1]、[2]所谓的积分不变量只是我们所引入的基本积分变量关系。     

高阶边界元奇异积分的一种通用高效计算方法

针对三维边界元法中曲面单元上的(弱、强、超)奇异积分提出了一种通用高效的计算方法。经极坐标变换,将奇异积分转化为常规积分;采用数值方法计算Cauchy主值积分和Hadamard有限项积分系数;引入保角变换和反曲变换消除因单元畸形或因积分点靠近单元边界而引起的周向积分奇异性。该方法可以统一处理(弱、强、超)奇异积分,并且只需要知道核函数的奇异阶数和少数几个点上的被积函数值,不依赖于积分和函数的具体选取;所需的积分点少,精度高,并且受单元畸形程度影响较小,稳定性好。采用该方法计算了声学和弹性力学中的典型奇异积分,并结合二阶Nystrm方法求解了弹性力学的边界积分方程,验证了方法的高精度和高效性。本文数值积分程序可向作者索取。     

结构动力方程的更新精细积分方法

将高斯积分方法与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨。在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,整个积分方法的精度取决于所选高斯积分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度,计算效率较高,其稳定性条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。     

层状非均匀材料边裂纹引起的J积分变化量分析

均匀材料无裂纹时沿封闭路径的J积分为零,层状非均匀材料无裂纹时沿封闭路径的J积分通常不为零且与路径相关。在位移载荷保持不变条件下引入裂纹会使J积分改变,本文分析引入裂纹所导致的远场J积分变化量,即有裂纹时与无裂纹时沿同一远场路径的J积分之差,其值等于裂尖J积分与界面J积分变化量之和。对于层状非均匀材料,虽然无裂纹时和有裂纹时的远场J积分、界面J积分都与路径相关,但当积分路径远离裂尖后,有裂纹与无裂纹时的远场J积分之差、界面J积分之差与路径无关,引入裂纹所引起的远场J积分变化量等于边界应变能密度释放量沿边界的积分。对于均匀材料半无限大平面的边裂纹,裂纹能量释放率等于无裂纹时应变能密度与8倍裂纹长度的乘积;对于层状材料的边裂纹,裂纹能量释放率等于应变能密度释放量沿边界的积分减去界面J积分变化量。     

粘弹性半空间上刚体的垂直振动

根据弹性力学混合边值条件，建立了粘弹性半空间上刚体垂直振动的对偶积分方程，并用正交多项式化积分方程为线性代数方程组，并提出可以用围线积分和解析开拓原理把方程组系数的无穷积分化为有穷积分。计算结果与实测资料进行了比较，说明本方法是正确的。     

三维非稳定渗流自由面边界积分项的精确数值计算

利用固定网格法分析三维非稳定渗流问题时,将要面对两项积分难题:以自由面及单元表面为边界的空间积分及以自由面为边界的曲面积分。针对常用的任意8结点6平面三维普通单元,提出采用坐标变换及等参变换技术求取空间积分项的精确数值解;至于曲面积分项,建议改用单元非饱和区部分表面作为积分边界,经过坐标变换及等参变换处理积分边界后,利用高斯数值积分可求出曲面积分项的精确数值解。通过一个普通单元及一项均质半无限边界堤坝的实例分析,表明此方法的精确性和稳定性良好。     

非连续边界元积分的精确表达式及相关问题

以二维位势问题边界元分析为例,给出了利用线性非连续边界元离散边界积分方程时系数矩阵积分计算的精确表达式,通过和利用Gauss积分方法计算系数矩阵所得数值结果的比较表明：配位点选择不同对数值计算结果精度影响的主要原因是积分计算的精度,尤其当配位因子选择较大时,存在的准奇异积分（Nearly Singular Integrals)很难利用常规Gauss积分方法准确求得。     

三维界面裂纹的奇性应力场和应力强度因子分析

使用有限部积分概念和极限方法得到了三维平片界面裂纹的超奇异积分－微分方程组后,进一步利用二维超奇异积分主部分析方法,对裂纹前沿的应力场作了理论分析,并获得了其奇性应力场和裂纹面位移间断表示复位应力强度因子的精确表达式,为三维平片界面裂纹的超奇异积分－微分方程组的求解建立了数值方法,并分析了界面椭圆平片裂纹问题,和现有解比较,所得数值结果令人满意。     

平行于异材界面的三维椭圆平片裂纹分析

讨论了拉伸载荷作用下平行于两相材料界面的椭圆平片裂纹问题．首先,使用有限部积分概念和两相材料界面完全接合时的点力基本解导出了一组以裂纹表面位移差为未知函数的超奇异积分方程组．该组方程表明,此时三种裂纹模型同时存在;其次,在数值求解该组方程的过程中,未知函数裂纹表面位移差被近似为位移差的基本密度函数与多项式之积．基本密度函数反映了裂纹前沿应力奇性性态;最后,以拉伸载荷为例,讨论了椭圆平片裂纹与界面的距离、裂纹形状比和不同材料组合对应力强度因子的影响,并以图表形式给出。     

横观各向同性材料的三维断裂力学问题

从三维横观各向同性材料弹性力学理论出发, 使用Hadamard有限部积分概念, 导出了三维状态下单位位移间断(位错)集度的基 本解. 在此基础上, 进一步运用极限理论, 将任意载荷作用下, 三维无限大横观各向 同性材料弹性体中, 含有一个位于弹性对称面内的任意形状的片状裂纹问题, 归结为求 解一组超奇异积分方程的问题. 通过二维超奇异积分的主部分析方法, 精确地求得了裂纹前沿光滑点附近的应力奇异指数和奇异应力场, 从而找到了以裂纹表面位移间断表示的应力强度因子表达式及裂纹局部扩展所提供 的能量释放率. 作为以上理论的实际应用,最后给出了一个圆形片状裂纹问题 的精确解例和一个正方形片状裂纹问题的数值解例. 对受轴对称法向均布载荷作用下圆形片状裂纹问题, 讨论了超奇异积分方程的精确求解方法, 并获得了位移间断和应力强度因子的封闭解, 此结果与现有理论解完全一致.     

三维无限体中两平行平片裂纹相互干扰的超奇异积分方程解法

本文利用三维断裂力学的超奇异积分方程求解理论，对三维无限体中两平行平片裂纹在任意载荷作用下的相互干扰问题作了研究。首先导出了以裂纹面移间断（位借）为未知函数的超奇异积分方程组，然后为其建立了有限积分边界元法；在此基础上，讨论用了裂纹面位移间断计算应力强度因子的方法，最后用此计算了两平行平片裂纹的相对位置对裂前沿应力强度因子的影响，其数值结果令人满意。     

折线裂纹和两相材料界面的相互作用

利用螺位错基本解建立了和界面相交的折线裂纹的Cauchy型积分方程，根据奇异积分方程理论，得出了确定折线裂纹和界面交点处的奇性应力指数的特征方程，以及交点处各角形域内的奇性应力，利用所得的交点处的奇性应力定义了折线裂纹和界面交点处的应力强度因子，对所得积分方程进行数值求解，可得裂纹端点以及裂纹和界面交点处的应力强度因子。     

APPLICATION OF THE HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS METHOD TO THE INTERACTION BETWEEN TWO PARALLEL PLANAR CRACKS IN 3-D ELASTICITY

By using the analytic theory of hypersingular integral equations in three-dimensional fracture mechanics, the interactions between two parallel planar cracksunder arbitrary loads are investigated. According to the concepts and method of finite-part integrals, a set of hypersingular integral equations is derived, in which theunknown functions are the displacement discontinuities of the crack surfaces. Then itsnumerical method is proposed by combining the finite-part integral method with theboundary element method. Based on the above results, the method for calculating thestress intensity factors with the displacement discontinuities of the crack surfaces ispresented. Finally, several typical examples are calculated and the numerical resultsare satisfactory.     

Stress intensity factors of a rectangular crack meeting a bimaterial interface

Using the hypersingular integral equation method based on body force method, a planar crack meeting the interface in a three-dimensional dissimilar materials is analyzed. The singularity of the singular stress field around the crack front terminating at the interface is analyzed by the main-part analytical method of hypersingular integral equations. Then, the numerical method of the hypersingular integral equation for a rectangular crack subjected to normal load is proposed by the body force method, which the crack opening dislocation is approximated by the product of basic density functions and polynomials. Numerical solutions of the stress intensity factors of some examples are given.     

垂直磁压电材料界面三维裂纹的超奇异积分法

应用有限部积分概念和广义位移基本解,垂直于磁压电双材料界面三维复合型裂纹问题被转 化为求解一组以裂纹表面广义位移间断为未知函数的超奇异积分方程问题. 进而,通过主部 分析法精确地求得裂纹尖端光滑点附近的奇性应力场解析表达式. 然后,通过将裂纹表面 位移间断未知函数表达为位移间断基本密度函数与多项式之积,使用有限部积分法对超奇异 积分方程组建立了数值方法. 最后,通过典型算例计算,讨论了广义应力强度因子的变化规 律.     

A study on stress intensity factors and singular stress fields of three-dimensional interface crack

By using the finite-part integral concepts and limit technique, the hypersingular integrodifferential equations of three-dimensional (3D) planar interface crack were obtained; then the dominant-part analysis of 2D hypersingular integral was further used to investigate the stress fields near the crack front theoretically, and the accurate formulae were obtained for the singular stress fields and the complex stress intensity factors. After that, a numerical method is proposed to solve the hypersingular integrodifferential equations of 3D planar interface crack, and the problem of elliptical planar crack is then considered to show the application of the method. The numerical results obtained are satisfactory. Project supported by the Foundation of Solid Mechanics Open Research Laboratory of State Education Commission at Tongji University and the National Natural Science Foundation.     

三维有限体平片裂纹的超奇异积分方程与边界元法

利用Ｓｏｍｉｇｌｉａｎａ公式及有限部积分的概念，导出了含任意平片裂纹三维有限体问题的超奇异积分方程组，并联合使用有限部积分与边界元法，建立了数值求解方法．在裂纹前沿附近单元，采用与理论分析一致的平方根位移模型，以提高数值结果的精度．最后计算了若干典型例子的应力强度因子．