初中算术中的一个错误

初中算术242頁第9行(1957—1958学年度用教科書):“在精确到指定的同一小数位的不足近似商和过剩近似商里,为了使所取的近似商的誤差小于这个指定的小数位上的單位的1/2,如果除到这个小数位,所得的余数小于除数的1/2,就取不足近似商;如果     

关于“初中祘术中的一个錯誤”

数学通报1958年4月号“初中算术中的一个錯誤”一文談到初中算术p.242近似商取法里余数的說法是錯誤的。这一意見很多人贊同。但个人觉得有值得商榷的地方。今提出一个改进叙述的办法,希望能起到一点集思广益的作用,并求大家指正。如果认为教材上說法在語句上还不够明显,我們为了方便而又使文字簡洁,我认为可把近似商取法这样来叙述:“在除到指定的小数位时,为了使所取的近似商的誤差小于这个指定小数位上的单该的1/2,如果这时的余数其相当于这个小数位上单位的倍数小于除数的1/2,就取不足近似商;……”。这     

试商秘诀大分享

正妈妈对我说,这一册数学课本中,最重要的就是“除数是两位数的除法”这个单元,而且妈妈告诉我,在整个小学阶段,最难的计算也是这个部分。因为以后我们将要学到的小数的乘法和除法,其实和多位整数的乘法和除法道理是一样的。然后等到六年级的时候,学的分数的乘法和除法,其实是非常非常非常容易的。     

撞归群商法

“撞归群商法”是在用“归除法”或“挨位商除法”(即改商除)运算过程中,利用被除数(或余数)与除数,它们的前几位数的数字相同。且被除小于除数(取相同位数比较)的有利条件,一次求出几位商,提高运算速度的一     

余数定理的应用之一

在师范学校誹投数学課,应該如何联系小学实际以及如何体現出“居高临下”是师范学校教师們探討的問題。我认为有許多知識都可以直接指导小学算术知識的,这里仅以代数中的余数定理为例,談談我的看法,如有不正确之处,欢迎批評指教。余数定理是确定多項式f(x)除以(x-1)时所得余数的定理,当f(a)=0时說明f(x)能被(x-a)整除。这样,用余数定理就能迅速地判断f(x)能否被(x-a)整除。在小学算术中所研究的整数都是非負整数,它們都可以写成a_n·10~n+a_(n-1)·10~(n-1)+…+a_1·10+a_0的形式,其中a_i(i=0,1,2,…,n)都是数碼n是非負整数,因此它們都具有多項式f(x)=a_nx~n++a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0的形式。而x±a相当     

同余关系和整除法则

1.同余关系的基本理论和性质 1801年,24岁的高斯(1777-1855)出版了专著"算术研究",在其中他提出了模演算法,以统一的观点处理了数论中的许多问题,从而开创了数论研究的新时代.笔者利用了模演算法来论述整数的整除性. 对于整数a,b以及正整数m,如果a-b能被m整除,也就是说a÷m所得的余数与b÷m所得的余数相等,则称a,b关于模m同余,记为a≡b(modm).[1]     

算术四則应用問題的教材分析

一、算术四則应用問題的教学目的通过四則应用題的教学,能够使学生正确运用已学过的基础知識去解决日常生活中和实际生产中所遇到的問題,和发展学生的邏輯思維和空間想象力。我們联系到初中学生所学的数学各科来看,用算术解答較繁难的四則应用題远不如用代数解答来得簡捷和易于掌握,因而后者的任务就更加显著了。用代数的方法立式需要涉及到很多算术中所讲的基本概念、观念,基本的数量关系,用算术方法来解答也同样以这些为推理的依据,因此为了使学生能正确的立式,应該把基本概念、观念,基本的数量关系的讲解,放在应用題教学的首要地位。这些内容在课本上是由浅入深地安排着,富有强烈的系統性,在整数一章,不惜用大量課时安排了很多分别用加、減、乘、除法法則来解的浅易的应     

从一道数学竞赛题的妙解谈起

把由1开始的自然数依次写下去,直写到198位为止、12345678901112…那么这 198位个数用9除的余数是: (A)1,(B)6,(C)7,(D)非上述答案。这是1987年全国初中数学联赛的一道试题。本文给出一种不同于常规解法的巧妙解答。首先我们证明两个定理。定理1 设数列{a_n}的每一项都是非负整数,且a_1≠0,把由a_1开始的非负整数依次写下去,直写到第n项为止即为a_1a_2…a_n,那么正整数a_1a_2…a_n除以9的余数与S_n=a_1 a_2     

谈“余数定理”的证明

一、存在的问题 在过去和现在通用的高中数学课本代数中,都列有余数定理:多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 对这条定理的证明,课本上都采用了等式: f(x)=Q(x)(x-a)+R,(Q(x)是商式,R是余数)并说它是“一个恒等式,不论x取何值总是成立的”。因而设x=a,得到R=f(a)而得证。     

再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

100年后的今天是星期几?

问题　今天是星期二 ,但是 10 0年后的今天是星期几呢 ?如何才能知道公元ｎ年ｍ月ｋ日是星期几呢 ?要是能找出一个计算公式该多好 !一些常识 :1)如果 4 |ｎ ,那么公元ｎ年称为闰年 .全年有 36 6天 ,其中 2月有 2 9天 ;如果 4 ｎ ,那么公元ｎ年称为平年 ,全年共有 36 6天 ,其中 2月有2 8天 .2 )在一年中大月的天数 31天 ,小月的天数为30天 (2月除外 ) .3)如果今天是星期二 ,再过 7天仍然是星期二 ,显然 ,星期几的计算与天数除以 7的余数相关 .于是我们定义 :整数ｎ除以 7的余数记为 (ｎ ,7) .那么余数与星期几可以建立如下对应表 :表 1　余…     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

关于珠算教学的几件事

珠算是一种很方便的計算工具,它在我国广大地区被广泛地使用着。在現代的計算机器一时还不能大量制造的时候,珠算在日常生活中的重要性是任何人都会肯定的。由于珠算四則的理論和方法非常簡單。一个初中一、二年級的学生完全可以学得会学得好。因此在初中一年级或二年級,把珠算列入数学課程之內。不但很有必要,而且極有可能。下面想談一谈关于珠算教材教法上的几个問题,其中以较多的篇幅談除法。希望谈者給以指正。一.要求到什么程度教珠算不仅要求学生会利用口訣來作加、減、乘、除的布算,更重要的是应当使学生算得纯熟,因为不然的話,     

介绍北京市初中一年级的算术教学进度

把过去在初中一年级讲授一学年的算术教材改为一学期讲完,是一个巨大的变化,也是一个创举.所以在教材的取舍与教法的选择上都要作细致的安排.总的精神是:1)着重联系实际,面向生产;特别要加强计算技能与技巧的培养,加强课堂练习与课外作业,尽量删减对于进一步学习数学无关紧要的理论,改变过去处处从理论体系出发而忽略实际应用的作法.2)与小学算术教材重复的部分,如整数四则运算、度量衡、小数加减法、分数的初步概念等,不再重复     

关于二次剩余的深入探讨

<正>1问题的引入考察小于30的奇质数p,当p为何值时,二次同余方程x²+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x2+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x²除以p得到的余数.当存在某个x,使得x2除以p得到的余数.当存在某个x,使得x²≡a(modp)成立时,     

计算星期的公式及其推导

你想知道某年某月某日是星期几吗?那么请用下面的公式 S=y-1+[(y-1)/4]-[(y-1)/100]+[(y-1)/400)+d (1)计算出S的值以后,再除以7。所得的余数r即为星期数(整除时为星期日)。公式(1)中的y为公元年数,d为该年从元旦计起到该日的天数(包括该日在内),记号[x]表示不超过x的最大整数,即[(y-1)/4]、[(y     

在算术教学中有关运算方面的几点体会

在党的领导下,我們全組老师,貫彻党的教育方針,为提高教学貭量,进行教学改革热情很高,干劲很足,在数学教学中除认真钻研大綱和教材,在保証数学的系統性和基础知識的前提下,广泛联系生产,联系实际,以求达到提高质量的目的。茲仅就算术教学中有关运算方面的問題来談談我們的点滴体会。进入初中一年級的学生,他們已經在小学學习了六年算术,从小学算术教学大綱的要求来看,他們对于整数和度量衡的知識是有一定的基础的,对分数小数也获得了一些初步知識和簡单的运算技能。在中学教学大綱中提出,算术教学的目的是教     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

关于罗馬尼亚中学的新数学教学大綱

罗馬尼亚在1956-1957年所頒布的中学五一九年級的数学教学大綱,在我的另一篇文章,里已經介紹过了。后来这个大綱又經过了修訂,五一九年級教学大綱基本上仍旧是从前的內容,这里就不再談它了,我們仅指出一点:在旧罗馬尼亚的中学里小数是在分数以前学习的,而在建立新罗馬尼亚中学时采用了經过了俄国中学和苏維埃中学长期实践检驗过的从分数到小数的学习順序在这个新大綱中仍然保留了这种系統。下面我們較詳細地談一談罗馬尼亚十与十一年級的数学教学大綱。罗馬尼亚中学在这两个年級里实行文理分科。本文所談的內容主要根据罗馬尼亚教育部在1960年所頒布的中学八一十一年級的数学教学大綱。     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均