Geraden-Abbildungen,die den Flächeninhalt 1 von Dreiecken erhalten

Zusammenfassung und Vorwort Zu jeder Geometrie, in der Geraden definiert sind, gehört eine Geradengeometrie, in der interessante Fragestellungen auftauchen. Die klassische Frage in der Liniengeometrie Plückers lautet: Gegeben sei ein dreidimensionaler projektiver Raum. Wie lauten diejenigen bijektiven Geradenabbildungen, für die sich zwei Geraden genau dann schneiden, wenn sich deren Bilder schneiden? Eine solche Abbildung ist entweder induziert durch eine Kollineation des projektiven Raumes oder eine Dualität. W. L. Chow und H. Brauner haben in [5] und [4] diese Fragestellung verallgemeinert. W. Benz hat in [1] die klassische Frage Plückers im ⁿ fürn 3 beantwortet. J. Lester sucht in [6] diejenigen Geradenabbildungen des dreidimensionalen euklidischen Raumes, die den Abstand 1 von Geraden in beiden Richtungen erhalten.In meiner Arbeit bestimme ich diejenigen Geradenabbildungen desn-dimensionalen reellen euklidischen Raumes, die den Inhalt 1 von Dreiecken unverändert lassen (n 2). Dieser Frage hat sich auch schon Frau Lester gewidmet ([8]), aber unter der zusätzlichen, starken Voraussetzung, daß bijektiv sein soll. Ich werde zeigen, daß diese Forderung unnötig ist; der Nachweis der Surjektivität beinhaltet die eigentliche Schwierigkeit.

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Rigid Sets of Dimension n – 1 in ℝ n

We give conditions allowing an intrinsic isometry on a dense subset to be extended to an isometry of the whole set. This enables us to find examples of (n-1)-dimensional sets rigid in ⁿ .     

Isoparametric Riemannian Submanifolds of ℝ n,k

We prove that, essentially, the only complete, irreducible, and isoparametric Riemannian submanifolds of ^n,k are hyperbolic spaces or isoparametric submanifolds of Euclidean spaces. In particular, a simple and geometric proof of the theorem of Wu is derived.     

Über das Auftreten von Holomorphie- und Meromorphiegebieten,die nicht holomorph-konvex sind

Ohne Zusammenfassung     

Über die Grundlagen der Mengelehre und das Kontinuum-problem

Ohne ZusammenfassungZweite Mitteilung.     

On Non-Negative Elliptic-Type Differential Inequalities in ℝ n , Vanishing Almost Everywhere on Some Open Subset in ℝ n

It is proved in this article that any generalized solution of a sufficiently general class of elliptic-type differential inequalities in  ⁿ that is non-negative almost everywhere in  ⁿ and vanishes almost everywhere on an open set ⁿ is trivial in  ⁿ .     

Function spacesW 1,p,BV,N α, p characterized by the motions of ℝ n

We characterize the Sobolev spaces W^1,p(ⁿ) (p]1,+]), the space BV(ⁿ) of functions of bounded variation, the Nikol'skij spacesN ^p (R ⁿ =B _p (R ⁿ ) (p [1, + [, ]0,1[).This research was partially supported by M.U.R.S.T.     

Stable constant mean curvature hypersurfaces in ℝ n+1 and ℍ n+1(−1)

In this paper, we show that all complete stable hypersurfaces in ⁿ⁺¹(or ⁿ⁺¹ (-1)) (n = 3, 4, 5) with constant mean curvature H > 0 (or H > 1, respectively) and finite L ² norm of traceless second fundamental form are compact geodesic spheres. Keywords: stable hypersurface, constant mean curvature, isometric immersion, Bernstein theorem.*Supported by PolyU grant G-T575.**Partially supported by CNPq of Brazil.     

Eindeutigkeitsaussagen für das Tricomi-Problem im ℝ2 für eine Klasse nichtlinearer Gleichungen gemischten Typs

For the nonlinear equation $$L[u]: = k(y)u_{xx} + u_{yy} = g(x, y, u, u_x , u_y )$$ inG, bounded by a piecewise smooth curveΓ ₀ fory>0 which intersects the liney=0 at the pointsA(?1,0) andB (0, 0) and fory<0 by the characteristicsΓ ₁ andΓ ₂ through the pointsA andB which intersect at the pointC, the uniqueness of boundary value problems i) \(u|_{\Gamma _0 \cup \Gamma _1 } = \varphi \) and ii) \(d_n u|_{\Gamma _0 } = k(y)u_x dy - u_y dx|_{\Gamma _0 } = \varphi ds,u|_{\Gamma _1 } = \psi \) is proved by the energy-integral method.     

Existenz und Eindeutigkeit für Lösungen des Neumann—Tricomi-Problems im ℝ2

In a bounded simply-connected domainG \( \subseteq \) ?² a boundary value problem for a linear partial differential equation of second orderLu=f is studied. The operatorL is elliptic inG?{y>0}, parabolic forG?{y=0} and hyperbolic inG?{y<0}. The boundary value problem consists in findingu satisfyingLu=f inG, d _n u=φ on the elliptic part of the boundary ofG, u=ψ on the noncharacteristic part (which is not empty) of the hyperbolic part of the boundary ofG.d _n u denotes the conormal (with respect toL) derivative ofu. It is proved that the problem has a generalized solution in anL ²-weight space. Uniqueness is otained in the class of quasiregular solutions. In order to get the results apriori estimates are proved; theorems from functional analysis are used.     

Geometrische Bedingungen für die Integrabilität von Vektorfeldern auf Teilmengen des ℝn

We give a geometric characterisation for those vectorfields on a subset X ⁿ, wich are locally integrable, that is, which locally have sufficiently many integral curves on X. From this we deduce, that integrable spaces X (where each field of a fixed class of differentiability is locally integrable) are rigid under differentiable deformations in the sense of Kodaira-Kuranishi. We give a general construction for integrable spaces and obtain, that analytic varieties induce integrable spaces for each class of differentiability. Compact analytic varieties are therefore C-rigid, which extends [4], 3,1.     

Über Kontinua im P n vom Schwachen Punktordnungswert n+1

Zusammenfassung Im Nachlaß von Hermann Künneth fand sich ein maschinengeschriebenes Manuskript, enthaltend eine Untersuchung der Kontinua vom schwachen Punktordnungswert n+1 im projektiven P _n, n3, insbesondere auch der Menge ihrer Verzweigungspunkte. Da dem Unterzeichneten zwar frühere Entwürfe bekannt waren, nicht aber dieses Manuskript, erhob sich die Frage, ob Künneth dieses Manuskript schon als reif für eine Veröffentlichung erachtet habe. Eine diesbezügliche Überprüfung war dem Unterzeichneten wegen anderweitiger Verpflichtungen nicht möglich. Indessen hatte Frau Antonie Schenkel die Liebenswürdigkeit, diese keineswegs leichte Kontrolle zu übernehmen, wofür ihr auch an dieser Stelle verbindlichst gedankt sei. Es ließen sich alle Schlüsse verifizieren mit Ausnahme eines solchen im Beweis von Satz 5 (im letzten Viertel der Arbeit (4.6)). Dieser Satz konnte nur modifiziert bestätigt werden, nämlich bei Hinzunahme der dort als Behauptung auftretenden Aussage 1) zu den Voraussetzungen. Andererseits ist die Künnethsche Fassung dieses 5. Satzes bisher nicht durch ein Gegenbeispiel widerlegt. Und im übrigen enthält das Manuskript unter anderen interessanten Feststellungen die, daß die betrachteten Kontinua nur endlich viele Verzweigungspunkte besitzen.Angesichts dieser Sachlage erschien es Herrn Karl Strambach, der sich so sehr darum bemüht hat, das Künnethsche Manuskript zum Druck zu bringen, und dem Unterzeichneten angemessen, das Manuskript unverändert (von Schreibfehlern abgesehen) in Druck zu geben, am Schlusse aber Anmerkungen von Frau Schenkel anzufügen, durch welche einzelne Stellen des Textes erläutert bzw. präzisiert werden; insbesondere wird dabei Nicht-Verifiziertes kenntlich gemacht. (Otto Haupt)Der Verfasser ist im 1975 verstorben.     

Über die Multiplizität eines isolierten Schnittpunktes von n Hyperflächen im Rn 1

Ohne Zusammenfassung     

Über das Grundtheorem und die Obertheoreme der automorphen Funktionen im Falle der Hermite-Laméschen Gleichung mit vier singulären Punkten

Ohne Zusammenfassung     

Asymptotische Abschätzung der Argumentvariation einer Funktion,die die Werte 0 und 1 nicht annimmt

Ohne Zusammenfassung     

Analogues of Miyachi, cowling-price and Morgan theorems for compact extensions of ℝ n

Let K be a compact subgroup of automorphisms of ? ⁿ . We formulate and prove an analogue of Miyachi’s theorem for the semi-direct product K ? ? ⁿ . This allows us to solve the sharpness problems in the theorem of Cowling-Price and in the L ^p ? L ^q analogue of Morgan theorem for any compact extension of ? ⁿ . These upshots are proved using the representations theory and the Plancherel formula for the group Fourier transform.     

Über die Flächen von Monge und Serret im isotropen Raum

Ohne Zusammenfassung