解课外练习题两例

<正>例1 (本刊2018年3月(下)课外练习栏目初三年级的第2题)如图1,在正方形ABCD的外接圆上任取一点P.求证:PA+PC/PB和PC-PA/PD值均为定值.(这里点P取在弧AD上)参考答案证明连接AC交PB于M,由∠ABM=∠ABP,∠BAM=∠BPA,则△ABM∽△PBA, PA/PB=AM/AB.同理可证△PBC∽△CBM,PC/PB=CM/BC,而     

探究 推广 证明

原题已知P为正△ABC的外接圆BC上任一点,求证:PB PC=PA. 证明 (方法一)在PA上截取PM=PB,连BM.如图1.     

圆内接正三角形的另两个性质

《中学生数学》1999年第3期“数学开放题”栏目提出这样一个问题: 如图1,P是正△ABC的外接圆⊙O的BC上任一点.连结PA、PB、PC,PA     

向量回路法解最值问题

向量回路法是基底法(相对于坐标法而言)的灵活运用.因为平面上任意两个不共线的向量都可以作为基底,所以,我们没有必要一上来就确定谁是基底,而是走着瞧,谁用着方便就选谁,感觉有点像打游击战.许多文章对用回路法解答垂直和平行问题深有论述,本文尝试用回路法解答不等式和最大值、最小值问题.例1设P为△ABC内任意一点,G为其重心.求证:PA2+PB2+PC2≥GA2+GB2+GC2.     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

关于三角形与点的一个不等式

涉及三角形与一个动点的不等式是一类有趣的几何不等式.在文献[1]中作者曾运用重要的"惯性极矩不等式"证明了下述不等式:对△ABC与平面上任一点P有PA2sinA/2+PB2sinB/2+PC2sinC/2≥3r2,(1)其中r为△ABC的内切圆半径.……     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

平面上六线三角问题

平面上四个点 A、B、C、P,可构成六条线段 :BC、CA、AB、PA、PB、PC;三个角 :PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB所构成的角 .本文将研究上述六线三角的关系问题 .本文约定 :文中所示△ ABC均为逆时针转向 ,所谓 PA到 PB的角是指以 PA为始边绕 P点沿逆时针方向旋转到 PB位置所得到的最小正角 .很显然 ,此角必在区间 [0 ,2π)内 .另外 ,文中“∑”表示循环和 ,“∏”表示循环积 .定理 1　△ ABC三边长为 BC=a,CA =b,AB=c,面积为△ ,P为△ ABC所在平面上一点 ,设 PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB的角分别为α、β、γ,记 PA =x,…     

灵活构造三角形,妙解“kPA+PB”型最值问题

在近几年的中考数学试题中,常常出现求“kPA+PB”型几何最值问题.面对此类问题学生往往不知道从哪里入手,导致无法解答.本文中从不同的方面对“kPA+PB”型几何最值问题进行分析研究,提高学生的几何直观素养,为更好的解题做铺垫.     

对一道赛题的探讨

<正>2012年浙江省高中数学竞赛预赛第19题为如下的一个解析几何问题:设P为椭圆x2/25+y2/16=1长轴上的一个动点,过P点引斜率为k的直线交椭圆于A、B两点.若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与P无关,求k的值.这里|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与P无关的含义是:当直线的斜率k为某一定值     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

用旋转法构造三角形

在一些平面几何题中 ,已知条件中的线段比较分散 ,这时就要考虑是否能将这些分散的线段集中到一个三角形 .这里介绍一种构造三角形的方法就是运用旋转法 ,它能达到把分散的条件相对集中的目的 ,在同一个三角形中来研究所给出的问题 .例 1　如图 ,在等边△ABC中 ,任取一点P ,连结PA ,PB ,PC ,求证 :以PA ,PB ,PC为边可以构成一个三角形 .证 :将△APC绕C点逆时针方向旋转 60°,得△BQC ,则△APC≌△BQC ,∴AP =BQ ,PC =QC .连结PQ ,又∵∠PCQ =60°,∴△PCQ为等边三角形 .∴PQ =PC ,∴△BQP就是以PA ,PB ,PC为边组成…     

利用对称性求线段的长

<正>我们已解决了如下几个问题:(1)已知:点A、B在直线l两侧,在l上任取一点P,使PA+PB的值最小,确定点P的位置.(见图1)(2)若点A、B在直线l的同侧,确定P点的位置,使PA+PB的值最小.(见图2)(3)如图3,若P为∠AOB内一点,在OA、OB上分别取点M、N,使△PMN周长最小.     

重视模型分析 激活解题思路——多视角分析一道几何证明题

在刚刚结束的2016年浙江省中学数学教师高级职称考试中,最后一题是以三角形为载体的几何证明题,题目图形简洁,条件短小精悍,结论优美. 1 问题的提出 试题 如图1,在△ABC中,∠C=60°,∠CAB的平分线AE与∠CBA的平分线BF交于点P.求证:1/PA+1/PB=2/PE+PF.     

射影为重心的一个充要条件

点P在△ABC所在平面外一点，点O是点P在面ABC内的射影（如图）． 众所周知： （1）点O为／△ABC外心的充要条件是：PA=PB=PC     

一个几何不等式的证明

设P是△ABC平面上一动点,关于和式PA+PB+PC的下界用三角形常见元素表示的不等式有很多好结论.本文将建立和式PA+PB+PC的一个漂亮、简洁的不等式,并由之推证两个稍弱的不等式.以下恒用a、b、c,ma、mb、mc、ha、hb、hc分别表示△ABC相应的边长,中线和高,以s,△,r分别表示△ABC的半周长,面积和内切圆半径.