Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part II: Wall shear stress

Summary Asymptotic methods are used to calculate the shear stress at the wall for the interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer on a flat plate. A mixing length model is used for the eddy viscosity. The shock wave is taken to be strong enough that the sonic line is deep in the boundary layer and the upstream influence is thus very small. It is shown that unlike the result found for laminar flow an asymptotic criterion for separation is not found; however, conditions for incipient separation are computed numerically using the derived solution for the shear stress at the wall. Results are compared with available experimental measurements.

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Zusammenfassung Die Schubspannung entlang einer ebenen Platte wird mit asymptotischen Methoden gerechnet für den Fall, dass ein senkrechter Stoss auf die turbulente Grenzschicht einwirkt. Für die Rechnung wird ein Mischweg-Modell benützt. Der Stoss ist von solcher Stärke, dass die Schallinie tief in der Grenzschicht liegt, und so die Wirkung stromaufwärts sehr klein ist. Im Gegensatz zu der laminaren Strömung kann man in diesem Fall eine asymptotische Bedingung für Grenzschicht-Ablösung nicht finden. Aber die Bedingungen für den Beginn der Ablösung kann man von der Lösung für die Schubspannung an der Wand numerisch erhalten. Die Ergebnisse der Theorie werden mit den vorhandenen experimentellen Messresultaten verglichen.

     

Load-absorption by a filament in a fiber-reinforced material

Zusammenfassung Die Arbeit befasst sich mit der statischen Lastübertragung auf eine halbunendliche elastische Faser, die in einer unendlich ausgedehnten elastischen Matrix mit bestimmten mechanischen Eigenschaften eingebettet ist. Im Unendlichen wird für die Matrix ein einachsiger Spannungszustand parallel zur Faser angenommen. Mit Hilfe eines angereicherten Vorgehens lässt sich die gesuchte Faserkraft durch eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art charakterisieren. Zur Erleichterung der numerischen Lösung der Integralgleichung wird das asymptotische Verhalten der von der Faser aufgenommenen Kraft herangezogen. Eine Reihe quantitativer Resultate zeigt die Vertiefung der Faserkraft und ihre Abhängigkeit von den physikalischen Parametern; ferner wird die Singularität am Faserende diskutiert.

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Dedicated to Professor Ziegler on his sixtieth birthday

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contract Nonr-220(58) with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

A quasi-iterative method for computing interface temperature distributions

Zusammenfassung Es wird ein einfaches Modell für gleitenden Kontakt vorgeschlagen, zur Ermittlung der Verteilung des Verschleisses, die ihrerseits mit der Verteilung der Temperatur längs der Gleitfläche zusammenhängt. Dabei wird eine relativ einfache Methode entwickelt für die Berechnung der Verteilung der Gleitflächentemperatur. Die Methode ist im wesentlichen iterativ; im besondern verringert die hier entwickelte quasi-iterative Methode die Anzahl der Quasi-Iterationen beträchtlich—in den meisten Fällen auf nicht mehr als eine. Dieses Verhalten wird an einem Beispiel erläutert. Obwohl die dargestellte Methode iterativ ist, erfordert sie weniger Rechenarbeit, als für die numerische Lösung des Problems bei vorgeschriebener Genauigkeit notwendig wäre.Es wird auch gezeigt, dass das Modell als Analogon für die Inversion einer Klasse von singulären Integralgleichungen erster Art dienen kann.

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The research was supported by the United States Air Force Office of Scientific Research, Air Research and Development Command, under Contract No. AF 49(638)-67.     

On the Clausius-Duhem inequality

Zusammenfassung Die der Kontinuumsmechanik angemessene Form des zweiten thermodynamischen Hauptsatzes wird auf eine sehr allgemeine Weise hergeleitet. Dabei werden zwei Temperaturen eingeführt und eine Verallgemeinerung der Clausius-Duhemschen Ungleichung erhalten.Zunächst wird bewiesen, dass für eine bestimmte Klasse von Stoffen die Ungleichung nur gültig ist, wenn beide Temperaturen gleich sind, so dass solchen Stoffen die gewöhnliche Form der Clausius-Duhemschen Ungleichung angemessen ist.Schliesslich wird gezeigt, dass ein einfaches Material mit Erinnerung dieser Stoffart angehört.     

Propagation of torsional waves in a circular elastic rod

Zusammenfassung Das Problem eines unendlichen kreiszylindrischen Halbstabes, dessen Endquerschnitt mit beliebigen Torsionsspannungen belastet ist, wird auf Grund der strengen dreidimensionalen Elastizitätstheorie gelöst. Die Lösungsmethode besteht aus einer Integraltransformationstechnik mit asymptotischer Inversion für eine frequenzmodulierte Stufenfunktion. Die Ergebnisse zeigen, dass die Gültigkeit eines «dynamischen Saint-Venant-Prinzips» von der betreffenden Frequenzkomponente abhängt.

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This work was initiated while the author was still employed by the IBM Corp. at Endicott, New York.     

Laminar plane jet in a gas medium

The effects of compressibility on a laminar plane jet are investigated. First, assuming that the viscosity is directly proportional to the enthalpy it is found that the similarity solutions both for momentum and energy equations exist. By a proper transformation of the similarity variable, the energy equation, in the case of viscous heating, is reduced to a hypergeometric equation and solutions for arbitrary Prandtl number are obtained. Secondly, taking the Prandtl number of the fluid as unity and a power law for the dependence of viscosity on enthalpy the velocity distribution is obtained with the help of Crocco's integral.

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Zusammenfassung Der Einfluss der Kompressibilität auf einer ebenen laminaren Strahl wird untersucht. Zunächst wird unter der Annahme, dass Zähigkeit und Enthalpie einander proportional sind, gefunden, dass sowohl die Impulsgleichung als auch die Energiegleichung Aehnlichkeitslösungen haben. Im Falle der Erwärmung durch Dissipation wird die Energiegleichung durch eine geeignete Transformation der Aehnlichkeitsvariablen auf eine hypergeometrische Differentialgleichung reduziert, und Lösungen für beliebige Prandtl-Zahlen werden bestimmt. Im Falle, dass zwischen Zähigkeit und Enthalpie ein Potenzgesetz herrscht, wird für die Prandtl-Zahl1 die Geschwindigkeitsverteilung mit Hilfe von Crocco's Integral erhalten.

     

Radiation heat transfer in an absorbing medium bounded by a specular reflector

Zusammenfassung Die Wärmeübertragung durch Strahlung wird untersucht für eine Anordnung bestehend aus zwei parallelen Platten, zwischen denen sich ein absorbierendes Medium befindet. Die eine Platte ist ein grauer diffuser Strahler und ein spiegelnder Reflektor, während die andere ein schwarzer Körper ist. Die Rechnung zeigt, dass der Unterschied zwischen diffuser und spiegelnder Reflexion äusserst klein ausfällt.

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This work was supported by the National Science Foundation through Grant No. G-19 189.     

Ice nucleation by hydrophobic substrates

Zusammenfassung Die Fähigkeit, Eiskeime zu bilden, konnte bei Silikaproben durch Aktivierung derjenigen von Silberjodid angenähert werden. Zwei Methoden sind angewandt worden: die eine beruht auf dem Ioneneinbau hydrophober Materialien, die andere auf Hydrophobierung durch Wärmebehandlung der ursprünglichen Silikaproben. Das Prinzip der Aktivierung besteht darin, dass eine zur Hauptsache wasserabstossende Oberfläche mit getrennten hydrophilen Stellen geschaffen wird. Wenn Silberjodid als Modellsubstanz betrachtet wird, dann sollte nur ungefähr ein Viertel der Oberfläche Wasser adsorbieren. Es wird ein molekulares Modell der Adsorption auf einer solchen Oberfläche beschrieben.     

Equilibrium viscoelastic waves

Summary From an asymptotic property of the Fourier integral, it is shown that for any input wave for a one-dimensional viscoelastic medium the waveform will recover its original shape and will propagate with the equilibrium wave speed, provided that the equilibrium modulus exists and the duration of the input wave is long enough.

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Zusammenfassung Wir benutzen eine asymptotische Eigenschaft des Fourierintegrals, um zu zeigen, dass beim ein-dimensionalen viskoelastischen Körper jede Eingangswelle bald in ihrer ursprünglichen Gestalt wiedergewonnen und mit der Geschwindigkeit des Gleichgewichtszustandes propagiert wird, sobald man voraussetzt, dass der Gleichgewichtsmodul existiert und die Eingabezeit hinreichend lang ist.

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Operated by Union Carbide Corporation for the U.S. Atomic Energy Commission.     

Thermal stresses in an elastic half-space associated with an arbitrarily distributed moving heat source

Zusammenfassung Es wird das thermoelastische Spannungsfeld in einem Halbraum erhalten, erzeugt durch eine willkürlich verteilte, sich längs des Randes gleichförmig rasch bewegenden Wärmequelle. Dabei wird angenommen, dass Wärme aus dem elastischen Halbraum durch Konvektion abgeleitet wird. Es wird die zweidimensionale entkoppelte Theorie verwendet. Als Beispiel wird ein Problem der elasto-hydrodynamischen Schmierung betrachtet.

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This work was sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy.     

On lateral buckling of end-loaded cantilever beams

Summary The classical problem of lateral buckling of cantilever beams with transverse end load is reexamined, as an example of a problem fully governed by theintrinsic equations of Kirchhoff's curved beam theory. It is shown that asuitable non-dimensionalization of the differential equations of the problem leads to astraightforward perturbation solutions, with leading and second-order terms of the expansion having well-defined differences in physical significance. The equations of a recent extension of Kirchhoff's theory, which take account of transverse shear deformation, are used for the purpose of obtaining a numerical result for the influence of shear deformability on the lateral buckling load.

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Zusammenfassung Das klassische Problem der Kippstabilität des Kragträgers wird re-examiniert als Beispiel eines Problems, welches vollständig definiert werden kann mit Hilfe der intrinsischen Gleichungen der Kirchhoffschen Theorie gekrümmter Stäbe. Es wird gezeigt, dass eine spezielle Art die Gleichungen dimensionslos zu machen eine einfache Störungsrechnung ermöglicht, mit der die führenden sowohl als auch die eine Grössenordnung kleineren Glieder in der Reihenentwicklung eine wohldefinierte physikalische Bedeutung haben. Schliesslich werden die Gleichungen einer Erweiterung der Kirchhoffschen Theorie, die den Einfluss von Schubverformungen berücksichtigt, benutzt, um ein zahlenmässiges Resultat bezüglich des Einflusses der Schubverformung auf die Kipplast zu erhalten.

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A report on work supported by the Office of Naval Research.     

A note on the secular equation for Rayleigh waves

Zusammenfassung In der klassischen Elastizitätstheorie wird die Säkulargleichung für Rayleighsche Oberflächenwellen für diejenigen Werte der Poissonschen Zahl im einzelnen besprochen, für welche die Quadrate der Geschwindigkeiten der divergenzfreien und der irrotationalen Wellen positiv ausfallen.Rayleigh vermutete, dass komplexen Wurzeln der Säkulargleichung unannehmbare Verschiebungskomponenten entsprechen, welche nicht im Unendlichen verschwinden. Er bewies diese Vermutung für ein unzusammendrückbares Material. In der vorliegenden Arbeit wird diese Vermutung allgemein bestätigt.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Naval Research under Contract No. 562(10) with Brown University.     

Diffraction of solitary waves

Whitham's extension of geometrical optics to nonlinear diffraction is applied to solitary waves of reference amplitudea ₀ in water of uniform depthd ₀ on the hypotheses thata ₀d ₀ and that the angle through which a diffracted wave is turned is of the order of (a ₀/d ₀)^1/2. The equations governing the amplitude and direction of the waves are reduced to a quasi-linear, hyperbolic systemof two first-order partial differential equations. Explicit results are obtained for diffraction by a convex bend and by a concave corner, and it is found that a solitary wave of initial amplitudea ₀ cannot be turned through a convex angle greater than (3a ₀/d ₀)^1/2 without separating or otherwise losing its identity. An empirical generalization for larger amplitudes and turning angles is proposed. General solutions are obtained (in an appendix) through a hodograph transformation.

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Zusammenfassung Whitham's Erweiterung der geometrischen Optik auf nichtlineare Diffraktion wird auf Einzelwellen (solitary waves) angewendet. Dabei wird angenommen, dass die Referenzamplitudea ₀ viel kleiner als die konstante, ungestörte Wassertiefed ₀ sei und dass der Ablenkungswinkel die Grössenordnung (a ₀/d ₀)^1/2 habe. Die Gleichungen für Amplitude und Richtung der Wellen werden auf ein quasi-lineares, hyperbolisches System von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung reduziert. Explizite Resultate für die Diffraktion an einer konvex gekrümmten Wand und an einer konkaven Ecke werden angegeben. Dabei wird gefunden, dass eine Welle der ursprünglichen Amplitudea ₀ durch eine konvexe Biegung nicht mehr als (3a ₀/d ₀)^1/2 abgelenkt werden kann, ohne dass sie ablöst oder ihre Identität verliert. Eine empirische Verallgemeinerung für grössere Amplituden und Ablenkwinkel wird vorgeschlagen. Im Anhang werden mit einer Hodographentransformation allgemeine Lösungen gegeben.

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Dedicated to my good friend Nikolaus Rott on the happy occasion of his sixtieth birthday.     

Magnetohydrodynamic shock propagation in non-uniform ducts

Zusammenfassung Es wird die Störung bestimmt, die ein gleichförmiger magnetohydrodynamischer Stoss beliebiger Stärke durch eine Querschnittsveränderung der Strömung erleidet. Beim Durchgang durch die Querschnittsveränderung ändert sich die Stärke des Stosses, und die Strömung bleibt nicht länger isentropisch. Es ergeben sich zwei verschiedene Störungsanteile, nämlich ein stationärer, der unmittelbar durch die Querschnittsveränderung hervorgerufen wird, und ein zeitlich veränderlicher Anteil, der von der Reflektion des ersten Anteils an dem Stoss herrührt.Die Untersuchungen, die auf ein einatomiges Gas beschränkt sind, enthalten gewisse bekannte gasdynamische Ergebnisse als Spezialfälle.

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Sponsored by the United States Army under Contract no. DA-11-022-ORD-2059.     

Die thermodynamischen Grundlagen der Kontinuumsmechanik (Vergleich zwischen verschiedenen Zugängen)

Zusammenfassung Die Anwendung des zweiten Hauptatzes auf das Kontinuum wurde von verschiedenen Autoren untersucht. Es sind dabei einige Formalismen entstanden, die sich in den Voraussetzungen sowie in der Technik der Ausschöpfung dieses Satzes unterscheiden. Es ist das Ziel dieser Abeit, die Gedankengänge der wichtigsten Formalismen zu skizzieren, Vergleiche zu ziehen und Uebergänge von einem zum anderen zu untersuchen.Der zweite Hauptsatz wird sowohl in der integralen Form zwischen zwei Gleichgewichtszuständen als auch ind der momentanen sogenannten Clausius-Duhem-Form aufgestellt. Es wird gezeigt, dass die integrale Form stets aus der momentanen folgt, und dass unter gewisse Voraussetzungen, welche sich auf Eigenschaften der betrachteten Stoffgleichungen beziehen, auch das Umgekehrte der Fall ist. Im übrigen werden Konsequenzen aus der Clausius-Duhem-Ungleichung untersucht. Es wird festgestellt, dass die Ungleichung erst dann konkret ausgebeutet werden kann, wenn eine grobe Struktur der Materialgleichungen vorgegeben wird.Die in dieser Arbeit behandelten Materialien lassen sich in Stoffe mit inneren Parametern, Stoffe in Funktionaldarstellung und Stoffe vom Differentialtyp unterscheiden.Es stellt sich unter anderem heraus, dass eine Unterklasse der Stoffe in Funktionaldarstellung existiert, die die Materialien mit inneren Parametern und momentaner Elastizität enthält.

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Different formalisms in the application of the second fundamental law of thermodynamics to continuum mechanics are compared.The theorem is applied in both its global form between two equilibrium states and the momentary Clausius-Duhem form. It is shown that the integral form follows from the momentary one, and that, if certain hypotheses on constitutive equations are satisfied, the inverse is also true.Furthermore, the second law supplies concrete results only if a rough structure of the constitutive equations is given. The materials dealt with here include those described by internal parameters, those described by functionals, and those of differential type.It is finally shown that there exists a subclass of materials described in functional form which contains those with internal parameters and instantaneous elasticity.

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Zusammenfassender Bericht.     

Görtler vortices and boundary-layer transition

Zusammenfassung Auf Grund unserer Versuchsergebnisse sind wir zur Ansicht gekommen, dass der Einfluss der Görtler-Wirbel auf den Umschlag der Grenzschicht an konkaven Wänden mehrindirekt ist, da die Wirbel eine Veränderung der Grenzschichtdicke in der Spannweitenrichtung induzieren und die Entwicklung der instabilen Schwingungen (Tollmien-Schlichting-Wellen) modifizieren. Die Zerstörung der instabilen Schwingungen, die schliesslich zur Turbulenz führt, tritt zuerst an der Stelle auf, wo die Grenzschicht in der Querrichtung die grösste Dicke hat, und in etwas verschiedener Weise als bei den zweidimensionalen Grenzschichten an einer ebenen Platte.

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Paper prepared for dedication to ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday     

Optimal structural design for given deflection

Zusammenfassung Es wird ein Prinzip der stationären gegenseitigen potentiellen Energie aufgestellt für zwei Belastungssysteme eines elastischen Balkens veränderlicher Biegesteifigkeit. Aus diesem Prinzip wird eine hinreichende Bedingung für stationäres Gewicht eines Sandwichbalkens abgeleitet, wenn die von einer Belastung an einem bestimmten Querschnitt erzeugte Durchbiegung vorgeschrieben ist. Für statisch bestimmte Balken wird gezeigt, dass diese Bedingung ein globales Minimum des Gewichts sicherstellt. Anwendungsbeipiele und Erweiterungen werden besprochen.

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This research was supported in part (W. P.) by the U.S. Army Research Office, Durham.     

Zustandsgleichungen elastischer Satelliten

Zusammenfassung Zur Aufstellung der Zustandsgleichungen von elastischen Satelliten wurden in den letzten Jahren verschiedene Formalismen entwickelt. All diese Formalismen erfordern eine intensive Einarbeitung, was nur im Fall komplexer, elastischer Satelliten gerechtfertigt ist. Es wird ein Verfahren zur direkten Aufstellung der Zustandsgleichungen angegeben, wobei die bekannten Newtonschen und Eulerschen Gleichungen in Verbindung mit verallgemeinerten Koordinaten so eingesetzt werden, dass die Zwangskräfte überhaupt nicht in Erscheinung treten. Als Beispiel werden die Zustandsgleichungen eines rotierenden, elastischen Satelliten mit Nutationsdämpfer aufgestellt und auf Stabilität untersucht.

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Summary Several formalisms concerning the state equations of flexible satellites have been published during the last years. Common to all formalisms a laborious training period is justified only in case of complex flexible satellites. A method is presented using the well-known Newton's translational and Euler's rotational equations as well as generalized coordinates to specify the state equation in the course of which constrained forces appear not at all. As example the state equation of a spinning flexible satellite with nutation damper is evaluated and proved on stability.

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Herrn Professor Dr. Kurt Magnus zum 60. Geburtstag gewidmet     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

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This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.