几何中的变换思想

前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中…,包含了两个重要的有普遍意义的思想,它们构成了几何学的一切进一步发展的基础,其重要性远远超出了几何学的界限.其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础.”[1]几何变换包含了两个思想:转化思想和不变量思想.转化是指将图形进行变换,把一般情形转化为特殊情形,使问题化难为易.不变量是指(图形)经过变换后不改变的性质和量.按照克莱因的观点,一种几何学其实就是研究一种变换群下的不变量.几何变换既是几何学研究的对象,又是几何学的研究方法.平移、旋转和轴…     

试论射影几何对中学几何教学的指导意义

“当一个中学数学教师为什么一定要学习射影几何?”,“学了射影几何,对中学几何教学有哪些指导意义?”常常有人提出这样的问题。 和其他许多高等数学课程一样,射影几何     

中学几何作图的一点看法

几何作图是几何课程重要内容之一,《数学通报》先后于1962年4月号,11月号,1963年4月号,7月号陆续发表了有关几何作图的译文与文章5篇。文章谈的是各人不同的见解,但我认为这是一个关系到几何教学能否贯彻教改精神,关系到几何教学能否更好地为党的教育方针服务的问题,因此必须认真对待,深入讨论。本文只就几何作图的作用谈谈个人的一点看法。不妥之处,盼予指正。对于几何作图的作用其所以会有不同的看法,大致都是由于对设置几何学的目的任务有着不同理解而引起的,目前看来,这个问题的实质就是资产阶级教育思想与无产阶级激育思想斗争的具体反映。欧几里得几何学派认为“几何学不是用于测量的学问,而是具有严密逻辑系统的理论”,“重要的不是实际存在的直线与圆,而是直线与圆的概念”这就赤裸祼地暴露了他们唯心主义的本质,将几何学当为完全脱离实际的纯粹理论。从这一点出发,他们对于几何作图就明白地规定了:“其实质不仅在于按照题设条件作出合乎要求的图形,更主要的是限用尺规作图,并且所有的作图题都     

三角形几何不等式的变换原则及其应用

变换是数学中常见且十分重要的方法,几何变换已形成了完整、系统的理论体系,许多几何问题可利用各种变换作出漂亮的解答。本文给出关于三角形的一类几何不等式的几个变换原则,并举例说明其应用。一、变换原则及其应用为简起见,我们将本文介绍的三个变换原则一同综述于下的定理中定理设P为△ABC平面(非边界)上任一点,从P引BC、CA、AB的垂线,垂足分别是D、E、F,记PA=x,PB=y,PC=z;PD=u,PE=v,PF=w,△ABC的BC、CA,AB边与外接圆半径     

中考几何动态变换试题命题管见

平面几何具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次,成为训练和培养学生逻辑思维和演绎推理的理想素材.本文仅从动态变换的角度,举例浅谈动态型平面几何试题的特点.一、质点运动型质点运动型命题往往以一个或两个质点的运动为出发点,把一个静止的单一的命题引向了动态的多元开放的情景中去.其中渗透了运动、变化、相互联系、相互转化的辩证观点和数形结合、分类讨论、函数、方程等思想方法.试题1已知⊙O的半径为R,⊙P的半径为r(r相似文献   

轴对称变换在几何问题中的应用

图形T的每一点关于直线l的对称点组成的图形T′,称为T关于轴l的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l的轴对称图形,叫做轴对称变换.直线l叫做对称轴.由于轴对称变换不改变图形的大小,只是位置变化,因此通过轴对称变换可使某些几何     

初等几何变换与中学几何教学的现代化

苏联数学教育学家斯托利亚尔认为:中学数学教育现代化并不是在中学教现代数学,而是要把中学数学“建立在现代数学的思想基础上,使中学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言,使学生的思维向现代数学思维发展.”从国际上中学数学教育现     

射影几何指导中学解析几何教学举例

论述射影几何对中学平面解析几何教学的指导意义,这是一个十分重要的课题。近年来正在受到人们的重视(参见文[1],[2],[3])。本文不对这个问题作全面的探讨,仅举数例浅谈自己的认识。     

解几何微扰问题的一种无分枝蒙特卡罗方法:共域变换方法

§1.引言对于任何一个核增殖系统,当系统的条件发生微小变化时,系统的有效增殖因子将随     

中学几何作图中的几个問題

关于中学几何中作图題部分的教学目的与材料間題是目前教学中一个討論的、还未得到完全統一認識的問題。在本期內,我們选登了别列标尔金和瑪斯諾娃两位同志的关于中学几何作图方面的两篇文章,供有关同志們参考,希望能在本刊上撰文,对这个問題作进一步的討論。     

信息技术在中学几何教学中的融合现状

问题解决教学是信息技术应用最广泛的场景之一,而高中平面解析几何是融合信息技术教学最多的主题,教师操作、师生互动是最常见的技术使用类型.未来信息技术与中学几何教学的融合应更加关注初中学段,应重视信息技术在新授课场景中的应用,重视技术使用中学生的主体地位.     

补偿凸变换与半凸函数的几何奇点提取

补偿凸上变换和下变换是对给定函数作"紧贴"逼近的单参数单向变换.本文将它们应用到R~n中局部具有一般模的半凸/半凹函数和DC-函数(即两个凸函数的差函数)的奇点提取.(局部)半凹函数最常见的几何例子有Euclid距离函数和平方Euclid距离函数.对于局部具有一般模的半凸函数f,本文证明在局部意义下,x是f的奇点(即不可微点)当且仅当它是f的1-阶"谷点",因而用本文的方法可以从具有一般模的局部半凸函数中提取所有的这些精细的几何奇点.更确切地讲,如果f是局部具有一般模的半凸函数,则"局部的"1-阶"山谷"变换在每个点x的极限存在,而且有显式表示lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4,其中Vλ(f)(x)是f在x点的"山谷"变换,rx是f在x点次微分?-f(x)的最小包含球面的半径.所以,极限函数V∞(f)(x):=lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4提供了一个半凸函数奇点1-阶"谷点"的"景观函数".同时,它也提供了补偿上凸变换Cuλ(f)(x)当λ→+∞时的一阶渐近展开式.对于具有局部线性模的局部半凸函数,本文进一步证明,补偿凸上变换的梯度当λ→+∞时的极限lim_(λ→+∞)▽C_λ~u(f)(x)存在,并且这个极限等于次微分?-f(x)的最小包含球面的中心.对于DC-函数f=g-h,本文证明它的1-阶"边缘"变换,当λ→+∞时满足lim inf_(λ→+∞)λE_λ(f)(x)(r_(g,x)-r_(h,x))~2/4,其中r_(g,x)和r_(h,x)分别是次微分?-g(x)和?-h(x)的最小包含球面的半径.     

初等几何的向量方法

用向量作为工具研究初等几何的有关问题称为初等几何的向量方法,向量的特点是形数结合,因此向量方法既有综合法的灵巧,又有解析法的方便,能把综合法与解析法有机地结合在一起,本文想简单介绍一些向量的基本知识以及向量在初等几何中的应用。 1 向量的基本概念及其运算。 (1)向量既有大少,又有方向的量称为向量。向     

几何中的向量方法

教育部于 2 0 0 3年 4月颁布《普通高中数学课程标准 (实验 )》 ,人民教育出版社和北京师范大学数学系合作编写《普通高中课程标准实验教科书·数学》 .作为教材编写工作的主要参与者 ,必须经常考虑中学数学教育中的一些问题 ,探寻其中的一些基本规律 .在思考与探索的过程中 ,常常有一些体会 ,产生一些想法 .这里 ,我们把这些体会以类似于“编写札记”的方式随时记录下来 ,与大家一起探讨、交流 ,希望得到全国同行的指教 .本文谈的是几何中的向量方法 .中学数学中研究几何可以采取不同的方法 .这些方法主要包括 :综合方法———不使用其他工…     

关于中学几何教学目的任务的一些意見

上海市数学会,根据会員和广大中学数学工作者的要求,在本届年会中,对中学几何教学目的任务开展了討論。由于这种学术討論有利于教学改革工作的发展、亦有利于提高教学貭量,因此受到广大中学数学工作者的欢迎,同时亦受到高等院校的数学工作者的重视。笔者认为这是一件非常切合实际而又有非常重大的意义的討論。因此特在这里根据与会的同志們的意見,結合个人的一些看法,提出关于中学几何教学目的任务的一些意見。文中不妥之处,請同志们給以批評指正。一、关于几何教学的目的任务教学改革目的是在于把現行中小学的教学內容上的一些陈旧落后的东西清除掉,而以現代文化科学知识和最新的科學技术成就来武装学生,使他們成为真正的社会主义的建設人材,成为共产主义的接班人。     

关于中学几何教学中的几个問题

(一) 最近我們有机会訪問了北京的几个中学,了解了一些数学教学的情况,接触到了一些問題,感到在中学几何教学的实践过程中,以及教师对几何教学的看法上有下列的一些情况:一是认为十二年制的几何教材是脫离实际的,因而需要加强几何材料与实际的联系。为此,注意了几何概念的实际引入,并且加强它的实际应用的內容,但是在实践过程中个別教师却或参或少地忽视了理論,忽祝了把实际問題上升为科学的概念的必要性,忽視了邏輯推理的重要性,忽視了几何教学在培养学生的邏輯思维能力方面的作用;二是知道提高几何的理論水平是重要的。但是在教学中不敢要求学生,怕在理論上、推理上严格要求学生就是維护“旧框框”;三是认为理論与实际的結合是重要的,在教学中也敢于要求学生,但不太明确应該要求到什么程度。总之,在最近期间教师们还是比較注意了加强理論与实际的結合,但是在对理論与推理的要求方面却反映了不要、不敢、不明确的三种情况。这些問題的討論涉     

零平衡超几何函数的一类二次变换不等式

给出了零平衡超几何函数F(a,b;a+b;x)(a,b0)的一类二次变换不等式.     

几何应用问题的处理方法

数学新课程标准对数学建模提出了明确要求.标准强调:“从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.”数学建模对初中学生来说是难点,强化数学建模的能力,能使学生更好地掌握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法.但许多同学在数学建模时不得法,导致失分严重.下面结合具体例题,分类解析与几何图形有关的应用题的求解策略.     

岩体稳定分析的几何方法

本文讨论了块状岩体稳定分析的几何原理,从平行平面族出发讨论滑动体,将岩体的形状、运动和受力三方面的因素都归结为向量运算,从而建立滑动体的数学模型.在此基础上给出在任意受力的情况下滑动方向的存在性、唯一性和滑动体的形状,并且最终给出判断滑动体的几何条件.