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相似文献
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1.
杜典意 《数学通讯》2000,(18):15-16
平均不等式a2 b2 ≥ 2ab ( 1)(a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 )及    a3 b3 c3 ≥ 3abc ( 2 )(a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 )是证明不等式的重要工具 ,怎样熟练灵活运用它们证明不等式是学习中的难点 .实际上 ,灵活运用上述公式可从平均不等式与待证不等式的特征入手 .1 升降次数例 1 设a ,b ,c∈R ,且abc =1,求证a3 b3 c3 ≥a b c .分析 :两个平均不等式对单个字母而言从左到右是起降次作用 ,注意到要证的不等式正具有此特点且a =b =c =1时两边相等 ,因而有下面的证法 .证 …  相似文献   

2.
20 0 0年第 4 2届IMO的第 2题是 :设a ,b ,c∈R ,且abc =1.求证 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由abc =1,不妨设a =xy ,b =yz ,c=zx (x ,y ,z∈R )代入 ( 1)式 ,得( xy - 1 zy) ( yz - 1 xz) ( zx - 1 yx)≤ 1 (x z - y) (x y -z) ( y z -x)≤xyz . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由 x2 ≥x2 - ( y -z) 2=(x y -z) (z x - y) ,y2 ≥ ( y z -x) (…  相似文献   

3.
对一个不等式问题的完善   总被引:1,自引:1,他引:0  
刘会成 《数学通报》2001,(12):18-20
设a ,b ,c为正数 ,且满足abc=1 ,试证 :1a3(b c) 1b3(a c) 1c3(a b) ≥ 32 .该题是第 3 6届IMO试题 .自《数学通报》1 996年第 5期作为征解问题的第 1 0 1 3题以来 ,仅《数学通报》就有近 2 0篇文章 (见参考文献 ) ,作为例题或习题加以引用 ,用不同的方法进行了证明 ,也有一些文章对该题结论进行了推广 ,如文 [2 ]推广为设a ,b ,c为正数 ,且满足abc=1 ,试证 :1am(b c) 1bm(a c) 1cm(a b) ≥32 (m ∈N) .但其证明有错误 .文 [7]推广为m ≥ 2的实数 .本人首先指出对该题或该题的推广的证明中…  相似文献   

4.
徐佳  袁作生 《数学通讯》2001,(6):F003-F003
《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97. 已知a ,b ,c∈R ,求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥814.下面给出此题的证明 .证 左边≥ 3 (a 1 ) (b 1 ) (c 1 )3 abc=3(a 12 12 ) (b 12 12 ) (c 12 12 )3 abc≥ 3·33 a4·33 b4·33 c43 abc =814.等号当且仅当a =b =c =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :a1,a2 ,… ,an∈R ,m ,n∈N ,求证 :  (a2 1 ) ma1 (a3 1 ) ma2 … (a1 1 ) man≥ nmm(m - 1 ) m -1.证 左边≥n[(a2 1 ) (a3 1 )…  相似文献   

5.
王向群 《数学通讯》2000,(18):13-15
放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1 去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1 设a ,b ,c∈R 且ab bc ac =1,求证 :a b c≥ 3 .证 ∵ (a b c) 2 =a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac=12 [(a -b) 2 (b -c) 2 (c -a) 2 ] 3(ab bc ac)≥ 3(ab bc ac) =3 ,∵a ,b ,c∈R ,∴a b c≥ 3 .例 2 在△ABC中 ,求证 :si…  相似文献   

6.
纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1 纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1 复数z =a bi (a ,b∈R)是纯虚数的充要条件为a =0且b≠ 0 .结论 2 复数z是纯虚数的充要条件为z z =0 (z≠ 0 ) .证  (充分性 )设z =a bi (a ,b∈R) .∵z z =0 ,∴a bi a -bi=0 ,∴a =0 .而z为非零复数 ,则b≠ 0 ,∴z为纯虚数 .(必要性 )z =a bi (a ,b∈R)是纯虚数 ,则a= 0且b≠ 0 .∴z =bi,则z z =bi …  相似文献   

7.
预备知识 :复平面上的任何直线都可表示为αz+αz +c=0 (α≠ 0 ,c∈R)的形式 .反之 ,这种形式的方程表示复平面上的直线 .事实上 ,设a ,b,c∈R且a2 +b2 ≠ 0 ,z =x+yi,则ax+by +c=0 a -bi2 z+ a +bi2 z+c=0令α =a+bi2 ,则有αz +αz +c=0 .其中α≠ 0 .c∈R .定理 复数z1 与z2 所对应的点关于直线αz+αz +c =0 (α≠ 0 ,c∈R)对称的充要条件是αz1 +αz2 +c=0 .证明 设λ为任意实数 ,则连结z1 与z2 而得线段的垂直平分线可表示为z=z1 +z22 +iλ(z2-z1 ) .这条垂直平分线上的…  相似文献   

8.
20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 f(x) =ax2 +bx +c  (a ,b ,c∈R ,a≠ 0 )满足条件 :(1)当x∈R时 ,f(x -4 ) =f(2 -x) ,且f(x)≥x ;(2 )当x∈ (0 ,2 )时 ,f(x)≤ (x + 12 ) 2 ;(3)f(x)在R上的最小值为 0 .求最大的m(m >1) ,使得存在t∈R ,只要x∈ [1,m ] ,就有 f(x +t)≤x .解 f(x -4 ) =f(2 -x) ,∴ 函数 f(x)的图象关于直线x =-1对称 ,∴  -b2a=-1,即b =2a①令 g(x) =(x + 12 ) 2 ,则直线 y =x与抛物线 g(x) =(x + 12 ) 2图 1相切于点A(1,1) .又当x∈…  相似文献   

9.
梅宏 《数学通讯》2001,(23):23-24
在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若a ,b ,c∈R ,则(a b) (1a 1b)≥ 4 4 (4 ba -4 ab) 2 (1)(a b c) (1a 1b 1c)≥ 9 6 [(6cb -6bc) 2 (6ac -6ca) 2 (6ba -6ab) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ak∈R (k=1,2 ,… ,n) ,则 nk =1 ak nk =11ak≥n2 2n 1≤i <j≤n(2n ajai-2n aiaj) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明n =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1 若ak∈R (k=1,…  相似文献   

10.
若点P(a ,b)是直线λ1x +λ2 y +λ3 =0(λ1,λ2 ,λ3 ∈R)上一点 ,则d =|λ1a +λ2 b +λ3 |λ21+λ22,这是众所周知的 ,由它可得性质 若a ,b ,λ1,λ2 ,λ3 ∈R ,且λ1a +λ2 b +λ3 =0 ,则λ23 ≤ (a2 +b2 ) (λ21+λ22 ) .证 构造直线l:λ1x +λ2 y +λ3 =0 ,显然点P(a ,b)在直线l上 ,原点O到直线l的距离为d =|λ3 |λ21+λ22,原点O与点P之间的距离为 |PO| =a2 +b2∵d≤ |PO| ,∴ |λ3 |λ21+λ22≤a2 +b2 .故 λ23 ≤ (a2 +b2 ) (λ21+λ22 ) .推论 若λ1,λ2 ,λ3 ∈R ,且λ1+λ2 +λ3=0…  相似文献   

11.
常常听到许多同学埋怨 :别人做题总是那么快 ,而我却总是这么慢 .我认为这是学习方法不对头的缘故 .我建议同学们平时注意一题多解 ,按题目的内容、类型、解决方法三部分作专题总结 ,并熟悉一些“小结论” ,掌握一些解题技巧 .最好再看一些课外书 ,如《中学生数学》、《中学生数理化》等杂志 .下面仅从一题谈起“小结论”的应用 .已知a ,b ,c,d∈R+ ,其中a最大 ,且满足a +d =b +c ,求证 :bc >ad .证明 设a +d =b +c=e ,则bc >ad b(e -b) >a(e -a) a2 -b2 >e(a -b) (a -b) (a +b -e) >0①∵ …  相似文献   

12.
一个分式不等式的再推广   总被引:1,自引:0,他引:1  
《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设a ,b ,c为正数 ,且满足abc =1 ,试证1a3(b+c) +1b3(c+a) +1c3(a+b) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若a,b是正数 ,且ab= 1 ,m为任意实数 ,有amb +bma ≥ 2 (2 )定理 1 设xi∈R+,(i=1 ,2 ,… ,n) ,…  相似文献   

13.
一道不等式的证明及推广   总被引:1,自引:0,他引:1  
题 :已知a、b、c∈R+且a +b+c =1求证 (a+1a) (b+1b) (c+1c) ≥1 0 0 02 7①分析 证明此题的关键在三个方面 :(1 )等号何时成立 :(2 )怎样拆项 ;(3 )会用平均值不等式 .易知a=b =c=13 时①取等号 ,①等价于 (3a+3a) (3b+3b) (3c+3c) ≥ 1 0 0 0 .将 3a +3a 拆成 3a与 9个 13a的和 ,这样拆的目的使 3a与 13a在a =13 时取等号 ,3b +3b 与3c+3c 同理 ,再用平均值不等式 ,问题便迎刃而解 .证明 因为 (3a+3a) (3b+3b) (3c+3c)= (3a +13a+… +13a9个) (3b+13b+… +13b9个)· (3c+13c+… +13c9…  相似文献   

14.
在一次习题课上 ,老师出了这样一道题 :设a ,b ,c是正数 ,且 2 a=3b=6 c,求证 :1a+ 1b=1c.此题的证明很简单 :由已知式两边取以6为底的对数得log62 a=log63b=log66 c,从而得 ca =log62 ,cb =log63,故 ca + cb =log62 +log63=log6( 2× 3) =1 ,得证 .深入分析此题之所以有这样优美简洁的结论 ,主要根源在于三个数 2 ,3,6 ,且 2× 3=6 .仿上证明可知把上述命题能推广为更一般的命题 .推广 设a ,b ,c均为正数 ,且对A≠ 1 ,B≠ 1 ,A ,B大于 0 ,有Aa=Bb=(AB) c,则有1a+ 1b=1c.运…  相似文献   

15.
刘丹 《数学通讯》2003,(1):46-47
20 0 2年全国高中数学联赛试第 15题 :设二次函数 f(x) =ax2 +bx +c(a ,b ,c∈R ,a≠ 0 )满足条件 :1)当x∈R时 ,f(x - 4 ) =f(2 -x) ,且 f(x)≥x ;2 )当x∈ (0 ,2 )时 ,f(x)≤ x +122 ;3) f(x)在R上的最小值为 0 .求最大的m(m >1) ,使得存在t∈R ,只需x∈[1,m],就有f(x +t)≤x .该题将对二次函数性质和解一元二次不等式的考查相结合 ,题目涉及到两个参变量t与m的讨论 ,因而具有相当的难度 .从整体上来说 ,首先要确定函数 f(x)的表达式 ,然后才好进行t与m的讨论 .根据题设所给的条件 1) ,2 ) ,…  相似文献   

16.
众所周知 ,对于一元二次方程ax2 bx c =0(a≠ 0 ,a ,b,c∈R) ,当Δ =b2 - 4ac≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ax2 b|x| c=0 (a≠ 0 ,a ,b,c∈R)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1 在实数集内根的情况结论 1 对方程ax2 b|x| c =0 (a≠ 0 ,a ,b ,c∈R) (Ⅰ )当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0- b2a>0ac>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0ac<0 (2 )时 …  相似文献   

17.
徐建义 《数学通讯》2000,(15):19-19
变式教学是一种创造性教学方式 ,它对培养学生思维的灵活性和创造性都起着积极的作用 .通过对定理公式的变通可训练学生思维的变通性 ,以及思维的广阔性 .对高中《代数》(必修 )下册P3 2 第 9题我们给出了以下几种变式 .原题 已知a >b >c,求证1a -b 1b -c 1c -a>0 .从证明过程中不难发现 ,对于a >b>c,不仅结论 1a -b 1b -c>1a -c成立 ,而且结论 1a -b 1b -c>2a -c也成立 ,于是得到如下结论 .变式 1 已知a >b >c ,n∈N ,且 1a -b 1b -c≥ na -c,则n的最大可能的值是 (   )(A) 2 .  (B) 3.…  相似文献   

18.
创造性思维教学一例   总被引:4,自引:2,他引:2  
例 设a1、b1、c1、a2、b2、c2∈R+∪{0},且a1+b2=b1+c2=c1+a2=1,求证a1a2+b1b2+c1c2≤1略证 原问题可化为求函数f(a1,b1,c1)=a1(1-c1)+b1(1-a1)+c1(1-b1)在正方体区域D〔0,1〕×〔0,1〕×〔0,1〕上的最大值;求偏导数得唯一驻点12,12,12,且f12,12,12=34;再考虑边界,显然f(1,0,0)=1>34,因此,f(a1,b1,c1)的最大值必在区域的边界上取得;经分析比较,易知fmax(a1,b1,c…  相似文献   

19.
题 若a >0 ,b >0 ,且a b =1,证明    (a 1a) (b 1b)≥2 54 ( 1)思考 1 若用均值不等式a 1a ≥ 2去证 ,得不到要证明的结论 .失败的原因在于没有利用条件a b =1.为了利用这一条件 ,须将 ( 1)的左边变形 .∵a ,b∈R ,a b =1,∴ 0 <ab≤ 14 .∴  (a 1a) (b 1b) =a2 b2 a2 b2 1ab  =a2 b2 1- 2ab 1ab =1ab[(ab - 1) 2 1] ≥ 4 [( 14 - 1) 2 1] =2 54 .当且仅当a =b =12 时等号成立 .思考 2 ∵ 0 <ab≤ 14 ,∴ (a 1a) (b 1b) =ab 1ab ba ab…  相似文献   

20.
20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6 设m >0 ,n >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :msecα ncscα≥ (m23 n23) 32 .(江苏省灌云县中学 朱兆和  2 2 2 2 0 0 )证明 设点P的坐标为 (m ,n) ,直线l过点P ,倾角为π-α ,l与x、y轴的正半轴分别交于点A、B(如图 ) .则 |PA| =nsinα,|PB| =mcosα则 |AB| =|PA| |PB|=msecα ncscα .又设A(a ,0 ) ,B(0 ,b) ,则直线l的方程为 xa yb =1 ,l过P(m ,n) ,所以 ma nb =1 .|AB|2 =a2 b2 =(a2 b2…  相似文献   

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