趣谈海伦-秦九韶公式及其应用

<正>每位同学都应该学过三角形面积=底×高÷2,但如果不知道一个三角形高线的长度而只知道三条边的长度,又该如何来求解三角形的面积呢?其实,这是一个很古老的数学问题,历史上无论是在西方还是在中国,都有杰出的数学家对这个问题进行过深入的研究,并得出了重要的结论.今天就让我们一起来重温这段重要的数学历史吧.     

秦九韶三斜求积公式和海伦公式

我国宋代数学家秦九韶,字道古,自称鲁郡人,其实他本人生于四川。其生卒年代大约是公元1202——1261年。他所发明的“三斜求积术”,实际上是由已知三角形的三条边求其面积的方法。此术见于秦九韶所著《数书九章》第五卷第二题:     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

秦九韶“三斜求积”公式的来历

南宋的秦九韶(1202—1261)是一位数学大家,有著作《数书九章》(1247)传世.“三斜求积”是该书中的一题.这个“三斜求积”术是怎样发明的,他在该题中没有说明;但从书中“斜荡求积”题的解题过程中,可以知道“三斜求积”术的来历.如图,设h为a边上的高,则三角形的面积S=1/2ah.     

秦九韶三斜求積公式的一個應用

我校初中部在進行梯形作圖教學的時候,同學們提出了一個問題:“已知梯形的二對角线和不平行的二邊怎樣作梯形?”大家醞釀的結果,初等作法仍未發現,現在我把應用著名的秦九韶三斜求積公式通過代數解析法的作法寫出來,讚者如有簡捷的初等作法,希提出參考。 關於秦九韶三斜求積公式的介紹文件,散見各書報雜誌,在許莼舫著的中算家的幾何學研究中曾假定了一種比較合理的證明,讀者可參考。 這個題目在幾何學辭典(薛德炯吳載耀譯     

应用题大师——秦九韶

<正>日常的数学学习中,同学们在应用题方面会遇到很多困难.而事实上,应用题在我们的数学学习中扮演着非常重要的角色,它能够培养我们的思维,也是数学与实际生活之间的桥梁.在历史上,有这样的一位"应用题大师",他能把数学知识很好地与实际生活相联系,     

数学教材中“阅读材料”的整合运用——以“海伦-秦九韶公式”的教学设计为例

<正>将阅读材料编人教材的出发点有两个:一是体现教学内容的弹性,使教材更符合不同层次学生的发展,同时便于教师发挥创造性;二是帮助学生理解、掌握正文的内容,激励学生探究新的知识,开阔学生的视野,培养学生的人文精神.由于阅读材料不是教材的正文,在教学中往往被教师忽略,致使其应有的教学作用得不到充分地发挥.在一次九年级上的期末复习课上,二次根式一章中有阅读材料海伦一秦九韶三角形面积公式,笔者利用这一数学史的资源,进行了一次复习课的尝试,这次有益的探索,改变了以往数学复习单调做题的模式,还原了     

从高斯公式到格林公式和牛顿-莱布尼茨公式

本文讨论高等数学课程中,高斯公式、格林公式和牛顿-莱布尼兹公式之间的内在联系,指出格林公式和牛顿-莱布尼茨公式可以分别看作一维和二维欧氏空间中的高斯公式.实际上,n维欧氏空间中的高斯公式可以看作微积分基本定理在高维欧氏空间中的表述形式.利用高斯公式还可以导出定积分、二重积分和任意n重积分的分部积分公式.     

秦九韶算法的教学价值

人教A版<数学3>介绍了秦九韶算法:n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0. 当x=x0时,令v0=an,通过公式{v0=an,vk=vk-1x0=an-k(k=1,2,…,n)可求出f(x0)的值为vn. 它是我国古代数学中的著名算法,本文将从三个方面介绍该算法的教学价值.     

牛顿-莱布尼兹公式再议

对牛顿‐莱布尼兹公式略作推广,对美国流行的微积分教材提一点修改意见。     

秦九韶雨深雲厚例解的討論

宋代算学家秦九韶鉴于当时有人测雨水深度不合实际,特就雨深(?)厚的計算各举二例,以资糾正。这四个例題及其解法,載在秦著“数书九章”(1247)第四卷,清代李銳所校这部书的四庫館本(以下簡称館本)及沈欽裴宋景昌等都曾加以研究:提出解释;辨別精蕪,指明錯誤,改立水草。这些,对于国故的整理,实有所裨益;但还有須斟酌的地方。茲逐例解答,并討論之。第一例天池测雨此例首先說:“今州郡都有天池盆以测雨水,但知以盆中之水为得雨之数,不知器形不同,則受雨多少亦异,未可以所測便为平地得雨之数”。这就是說:有人不管容器的形状怎样,把器里水深当做平地雨深,是不对的。     

关于牛顿-莱布尼茨公式的注记

牛顿-莱布尼茨公式是计算黎曼积分的有力工具,但它也有一定的局限性.本文说明在什么条件下可直接使用此公式,又在什么条件下不能应用或不能直接应用它.     

牛顿-莱布尼茨公式的推广形式

牛顿—莱布尼茨公式的一个推广形式,可用于计算区间[a,b]上连续函数f(x)的定积分abf∫(x)dx,也适用于f(x)在[a,b]上有有限个间断点(含无穷间断点,此时abf(∫x)dx是广义积分)的情形.     

积分-微分算子的迹公式

该文研究积分-微分算子的迹公式,它在反问题、特征值的数值计算、可积系统理论等有着重要的应用.得到了Dirichlet-Robin边界条件和Dirichlet边界条件下积分-微分算子的迹公式.     

推广的韩-刘-张反常消去公式

在[Anomaly cancellation and modularity, Frontiers in Differential Geometry, Partial Differential Equations and Mathematical Physics,2014:87-104,World Sci.Publ.,Hackensack,NJ]中,韩-刘-张给出了一个反常消去公式,推广了GreenSchwarz公式和Schwartz-Witten公式.本文研究了两个推广的韩-刘-张公式和一个奇数维的韩-刘-张公式.通过研究一些示性式的模性质,给出了奇数维新的反常消去公式.     

原子核转动谱的Harris公式与吴-曾公式的综合比较

本文对大变形原子核的能谱,转动惯量和γ跃迁能量的系统分析表明,吴-曾公式优于被广泛使用的Harris公式。J⁽²⁾>J⁽¹⁾这一事实可以从吴-曾公式自然得出,而在吴-曾公式推导中,原子核的非轴对称性及振动效应已在一定程度上被考虑进去。     

广义中心-细鞍点的若干公式

In this paper, a problem of center-weak focus of a general system of degree n is transformed into a problem of generalized center-weak saddle. It offers: (1) the calculating formula of the saddle values of the former 4 orders in the general system of degree three; (2) some calculating formulae of the saddle values in the general homogeneous system of degree n. The problem of center-focus(saddle) plays an important role in the qualitative theory of ordinary differential equations. However, since the calculations are difficult, the results have not been satisfactory. On the basis of the author's work, Northeast. Math. J., 13(4)(1997), 487-494, the paper offers some calculating formulae of the saddle values.     

对牛顿-莱布尼兹公式的一点认识

恩格斯曾经指出：“在一切理论成就中,未必再有什么像十七世纪后半期微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了．”微积分的思想可以追溯到古希腊阿基米德所创立的“穷竭法”,它起源于作曲线的切线和计算曲边图形的面积、体积．到１６世纪末１７世纪初,我们又在曲边形的面积,旋转体体积,重心等方面做了许多工作,并逐渐发现所有这些问题不外乎两大类：第一类是变量的变化率问题,如变速直线运动的速度、曲线的切线等;第二类是连续变量的作用总和问题,如变速直线运动的路程、曲边形的面积等．当时的一些数学家对于某些具体问题实际…