Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Dynamic investigations of single gear transmission taking into account microcracks

Summary The paper concerns dynamic investigations of the model of gear transmission consisting of four rigid bodies and two torsion shafts. The shafts are assumed to contain microcracks which are taken into account by means of the equivalent shear modulus in accordance with the results of the papers [2, 3]. The influence of microcracks on the behaviour of the gear transmission in dynamic conditions is investigated for the first two frequencies of free vibrations and suitable amplitude-frequency curves. The investigations are carried out by means of two methods: the wave method which takes into account all the reflections of waves and the multibody system approach.

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Dynamische Untersuchungen eines einstufigen Getriebes mit Mikrorissen

Übersicht Vorgestellt werden dynamische Untersuchungen an einem Getriebemodell aus vier Starrkörpern und zwei Torsionswellen. Es wird angenommen, daß die Wellen Mikrorisse enthalten, die über einen äquivalenten Schubmodul nach [2, 3] berücksichtigt werden. Der Einfluß der Mikrorisse auf das dynamische Verhalten des Getriebes wird anhand der beiden ersten Eigenfrequenzen und der Amplituden-Erregerfrequenz-Beziehung untersucht. Benutzt werden zwei Methoden: die Methode der Wellenausbreitung, die alle Reflektionen berücksichtigt, und die Behandlung als Mehrkörpersystem.

     

Finite element stability analysis of pre-twisted Beck's column

Summary This paper presents a stability and vibration analysis of a pre-twisted cantilever column subjected to vertical and follower loads at its free end. The investigation is carried out using finite element modelling where the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia are taken into account in deriving the element matrices. By using the assembly procedure and imposing the boundary conditions, a relationship between the load and vibration frequency is obtained. The critical, divergence and flutter, loads are calculated by evaluating the relationship and shown in figures for various values of non-conservativeness parameter, of twist angle, and those of rigidity ratio.

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Untersuchung der Stabilität des verwundenen Beck-Stabes mit Finiten Elementen

Übersicht Dieser Aufsatz stellt eine Stabilitäts- und Schwingungsuntersuchung des vorverwundenen, einseitig eingespannten Stabes dar, der an seinem freien Ende vertikalen und mitgehenden Lasten ausgesetzt ist. In der Untersuchung wird die Methode der finiten Elemente angewendet, und in der Herleitung der Elementmatrizen werden die Einflüsse der Schubspannungen infolge der Querkraft und der Rotationsträgheit berücksichtigt. Eine Beziehung zwischen der Last und der Schwingungsfrequenz wird dadurch ermittelt, daß man die Gesamtssystemmatrix bildet und die Randbedingungen anwendet. Durch die Auswertung der Beziehung werden die kritischen Divergenz- und Flatterlasten für verschiedene Werte des Nichtkonservativitätsparameters, des Verwindungswinkels und des Steifigkeitsverhältnisses ermittelt und in Bildern dargestellt.

     

Theoretical model studies of wave transmission in semicircular canal ducts

Summary Some aspects of the dynamic behavior of semicircular canal ducts are examined by analyzing the wave transmission characteristics of an elastic fluid-filled toroidal shell which is suspended in a rigid fluid-filled toroidal channel. The fluids contained in the elastic and in the rigid channel are considered incompressible and inviscid. Linear equations of motion are derived which interrelate approximately the inertia, elastic and hydrodynamic forces in the system. If we disregard a possible twisting of the elastic torus and bending perpendicular to the plane of the canals, the system is shown to transmit three basic types of waves. The corresponding dispersion curves and mode shapes are computed for a representative set of parameter values and are compared with experimental data obtained from a laboratory model. Certain findings of this investigation are expected to be relevant to a study of the pulse wave in the aortic arch.

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Übersicht Es werden einige Aspekte des dynamischen Verhaltens von halbkreisförmigen Kanälen (Bogengänge) an Hand einer Analyse der charakteristischen Eigenschaften von Wellen untersucht. Die Kanäle befinden sich in einer elastischen, mit Flüssigkeit gefüllten, torusförmigen Schale, die in einem starren, mit Flüssigkeit gefüllten, torusförmigen Kanal schwebt. Die Flüssigkeiten im elastischen und starren Kanal werden als inkompressibel und reibungsfrei vorausgesetzt. Lineare Bewegungsdifferentialgleichungen werden abgeleitet, die näherungsweise die Trägheitskräfte mit den elastischen und hydrodynamischen Kräften des Systems in Beziehung bringen. Wenn man eine mögliche Verdrehung des Querschnittes und eine Ausbiegung senkrecht zur Bogengangebene außer acht läßt, dann können im System drei verschiedene Wellentypen auftreten. Die zugehörigen Dispersionskurven und Wellenformen werden für bestimmte Parameterwerte berechnet und mit Messungen an einem Laboratoriumsmodell verglichen. Gewisse Resultate dieser Untersuchung dürften für das Studium der Pulswelle im Aortenbogen von Bedeutung sein.

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Dedicated to Professor Dr. H. Ziegler on the occasion of his 60th birthday.     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

Coupling of bending and torsional vibration of a cracked Timoshenko shaft

Summary A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 × 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 × 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomachinery.

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Kopplung zwischen Biege- und Torsionsschwingungen einer Welle Tom Timoshenko-Balkentyp mit Riß

Übersicht Bekanntlich verringert ein von der Oberfläche in den Querschnitt reichender Riß infolge der Spannungs- und Verzerrungssingularität an der Rißspitze örtlich die Steifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 × 6-Nachgiebigkeitsmatrix für ein kurzes Wellenstück, das den Riß enthält, beschrieben werden. Die Matrix enthält Elemente außerhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegungen in die Richtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen sind dabei verknüpft. Zur Untersuchung der Kopplung von Torsion und Querschub wird eine 3 × 3-Nachgiebigkeitsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enthält. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkengleichung werden letztendlich Biegef- und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effekt ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einfluß des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, Rißtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleitet. Darüber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersucht. Der deutliche Einfluß der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedeutsam, da er für die Identifizierung von Rotorrissen beim Betrieb nützlich sein müßte.

     

Basic singular solutions for a cracked circular hole in an infinite medium

Summary This article provides basic elastic solutions for an infinite medium containing a cracked circular hole, subject to singular external loads in form of a dilatation center, a concentrated force and a point couple. The complex function method in conjunction with a rational mapping function is used to solve the problem. Analytic expressions for stress functions, stresses and stress intensity factors are obtained. Numerical values of stress intensity factors are presented in graphic and tabular forms.

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Grundlegende singuläre Lösungen eines angerissenen kreisförmigen Loches in einem unbegrenzten Medium

Übersicht In diesem Artikel werden die grundlegenden elastischen Lösungen für einen unendlichen Körper hergeleitet, der ein angerissenes kreisförmiges Loch enthält und mit singulären äußeren Lasten in Form einer punktförmigen Aufweitung, einer Einzelkraft und eines Einzelmoments beaufschlagt wird. Zur Problemlösung werden komplexe Funktionen und rationale Abbildungsfunktionen verwendet. Man erhält analytische Ausdrücke für die Spannungsfunktionen, die Spannungen und die Spannungsintensitätsfaktoren. Numerische Werte für die Spannungsintensistätsfaktoren werden in graphischer und tabellarischer Form angegeben.

     

Dynamic fracture of imperfectly bonded lap joints

Summary Dynamic photoelasticity in conjunction with linear elastic fracture mechanics was utilized to study the dynamic behavior of imperfectly bonded single lap joints. Transient phenomena of propagation, reflection and diffraction of explosively generated plane elastic stress field disturbances about the tips of a crack located at the interface between the two adherends are investigated in detail. Fracture mechanics aspects of dynamic initiation under stress wave loading in similar and dissimilar lap joints are discussed.

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Dynamisches Verhalten von imperfekt geklebten, einfach überlappten Klebeverbindungen

Übersicht Das dynamische Verhalten von imperfekt geklebten einfach-überlappten Klebeverbindungen wird mit Hilfe der dynamischen Spannungsoptik im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik untersucht. Die zeitlich schnell veränderlichen Vorgänge bei der Ausbreitung, Reflexion, Brechung und Beugung von explosiv erzeugten ebenen elastischen Störungen des Spannungsfeldes um die Rißspitze einer an der Trennfläche zweier (verschiedener) Materialien liegenden rißähnlichen Klebeimperfektion werden im Detail behandelt. Bruchmechanische Aspekte der dynamischen Rißinitiation an Klebefehlern unter Spannungs-wellenbelastung in monolithischen und kompositen Lappverbindungen werden diskutiert.

     

Zur Knickung verwundener Stäbe bei zusammengesetzter Belastung

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird die Stabilität verwundener Stäbe bei Belastung durch eine richtungstreue, kontinuierlich und gleichmäßig entlang des Stabes verteilte Streckenlast und durch eine richtungstreue Einzelkraft an den Stabenden betrachtet. Für die Bestimmung der Knicklasten im elastischen und plastischen Bereich werden Rechenverfahren und typische Ergebnisse angegeben.

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Summary The stability of twisted columns is investigated for a load consisting of a continuously distributed force of constant direction along the column and a single force of constant direction at the ends of the column. The numerical procedure and typical results are given for the determination of critical buckling loads in the elastic and the plastic region.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Technischen Hochschule Karlsruhe genehmigten Dissertation. Der Verfasser dankt Herrn cand. mach. D. Boss für die Programmierung der Rechenverfahren.     

On a stress function method of a thermoelastic problem expressed in cylindrical coordinates in a multiply-connected region exhibiting temperature-dependent material properties

Summary This paper is concerned with the formulation of a plane thermoelastic problem in a multiplyconnected region exhibiting temperature-dependent material properties in terms of a stress function by deriving the integral conditions necessary for the assurance of the single-valuedness of the rotation and displacements, i.e., new Michell's conditions and the finite difference representation of the resulting fundamental equations.The method of solution for the thermoelastic problem in the multiply-connected region is applied to a transient plane-strain thermal stress problem in a hollow circular cylinder having temperature-dependent material properties subjected to an asymmetrical heating by a high-temperature fluid on the inner surface of the cylinder.

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Zur Methode der Spannungsfunktion bei thermoelastischen Problemen mit mehrfach zusammenhängendem Gebiet und temperaturabhängigen Materialeigenschaften

Übersicht In dieser Untersuchung wird ein thermoelastisches Problem mit mehrfach zusammenhängendem Gebiet und temperaturabhängigen Materialeigenschaften mit Hilfe einer Spannungsfunktion behandelt. Die Bedingungen für Eindeutigkeit von Rotation und Verschiebung werden hergeleitet. Die Grundgleichungen des Problems werden mit der Methode der finiten Differenzen gelöst.Als Anwendungsbeispiel wird ein hohler Kreiszylinder mit temperaturabhängigen Werkstoffeigenschaften betrachtet. Der Zylinder wird dabei durch eine Flüssigkeit mit hoher Temperatur in seinem Innern einer symmetrischen Erwärmung unterworfen.

     

Investigation into heat conduction as a criterion of gas-kinetic theories

In a moderately rarefied gas between hot and cold plates the molecular frequency distributions for the characteristic velocity vector were measured. The resulting moments of the distribution functions in the two velocity half spaces were compared with those which can be calculated from theoretical approaches. Only the four-moment method permits a meaningful comparison of theory and experiment, but overemphasizes the two-flow character of the problem.

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Untersuchung der Wärmeleitung als Kriterium gaskinetischer Theorien

Zusammenfassung In einem mäßig verdünnten Gas zwischen heißer und kalter Platte werden die molekularen Häufigkeitsverteilungen für den charakteristischen Geschwindigkeitsvektor gemessen. Die daraus ermittelten Momente der Verteilungsfunktion in den beiden Geschwindigkeitshalbräumen werden denen gegenübergestellt, die für dieses Problem aus theoretischen Ansätzen berechnet werden können. Nur die 4-Momenten-Methode erlaubt einen sinnvollen Vergleich von Theorie und Experiment, überbetont aber den Zwei-Strom-Charakter des Problems.

     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

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Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

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Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

Dynamic intensity factors for an interface flaw extending at a non-uniform rate

Two initially undisturbed dissimilar elastic half-spaces are perfectly bonded along half of their interface and separated by a semi-infinite flaw along the remainder. Induced by time-independent anti-plane tractions applied at the flaw edge and subsequently distributed over the newly-created surfaces, the flaw starts from rest and extends along the interface at a non-uniform rate, giving rise to wave motion in the half-spaces. By first examining the same flaw extending at a constant rate and then suddenly halting, conclusions are reached which lead to the derivation of the dynamic intensity factors for the stress and difference in the particle velocities at the edge of the non-uniformly extending flaw.

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Zusammenfassung Zwei anfänglich ungestörte verschiedene elastische Halbräume sind vollkommen verbunden entlang der Hälfte der Grenzfläche und getrennt bei einem Schnitt in dem restlichen unendlichen Halbraum. Induzient bei einer zeitunabhänglicher Schubspannung angewandt an der Risskante und nachfolgend uber die nuerschaffene Fläche verteilt, der Riss fangt von der Ruhelage an und ausbreitet sich in einer ungleichmassiger Geschwindigkeit und verursacht eine Wellenberregung in den Halbräumen. Durch eine anfänglich Untersuchung das selben Risses der sich mit gleichmässiger Geschwindigkeit ausdehnt und dann plötzlich anhalt werden Schlussfolgerungen erreicht melche zu der Ableitung von dem dynamischen intensitätsfaktor für die Spannung und der Unterschied in der Teilchengeschwindigkeit an der Kante das ungleichmassig langgestrecktem Riss.

     

Instability of a rotating disk with a support under the action of a static in-plane load

Summary Vibrations of a rotating disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed under the action of a static in-plane load. A solution of the equation of motion is described in form of series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions. Relations between natural frequencies and angular velocity and then those between regions of instability of vibrations and the magnitude of static load are shown.

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Instabilität einer drehenden Scheibe mit einer Stütze unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung

Übersicht Schwingungen einer drehenden Scheibe mit einem befestigten inneren Umfang, einem freien äußeren Umfang und einer elastischen Stütze in einem Punkt werden unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung analysiert. Eine Lösung der Bewegungsgleichung wird in der Form von Reihen mit orthogonalen Eigenfunktionen einer nicht drehenden Scheibe mit den gleichen Randbedingungen beschrieben. Beziehungen zwischen Eigenfrequenzen und der Drehgeschwindigkeit sowie zwischen instabilen Bereichen und der Größe der statischen Belastung werden gezeigt.

     

Dynamic analysis of non-symmetric problems for frictionless indentation and plane crack extension

Two-dimensional dynamic analyses of contact and stress loading problems associated with non-symmetric frictionless rigid indentation and plane crack extension under normal stress are presented. The extension rates of the contact strip/crack surfaces are assumed to be constant and sub-critical. Homogeneous function techniques are used to derive general mathematical solutions which are then fitted to the physical problem by matching the predicted and prescribed displacement/stress distributions on the contact strip/crack surfaces. By studying several examples, it is seen that coupling between inherently symmetric and antisymmetric components of the mathematical solutions complicates this procedure. Moreover, the relation between loading and solution behavior is not always physically obvious, especially with regard to symmetry/antisymmetry.

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Zusammenfassung Es werden zweidimensionale dynamische Analysen von Problemen der Berührungs und Spannungsbeanspruchung in Zusammenhang mit nichtsymetrischer, reibungsloser und formfester Vertiefung und Verlängerung eines Rißes in einer Ebene unter normaler Beanspruchung diskutiert. Die Rate der Verlängerung der Oberfläche der Berührungsbahn oder des Rißes wird als konstant und unterhalb der kritischen Schwelle bleibend angenommen. Die Methoden homogener Funktionen werden benutzt, um generelle mathematische Lüsungen abzuleiten, die dann dem physikalischen Problem durch Angleichen der erwarteten mit den gemessenen Verteilungen der Verschiebung/Beanspruchung an den Flächen der Berührungsbahn odes des Rißes angepaßt werden. Die Untersuchung meherer Beispiele zeigt, daß eine Verbindung zwischen inhärenten symetrischen und anti-symetrischen Bestandteilen der mathematischen Lösungen dieses Verfahren komplizieren. Ferner ist die Beziehung zwischen der Belastung und dem Lösungsausfall physikalisch nicht immer naheliegend, insbesondere im Hinblick auf die Symetrie/Antisymetrie.

     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Berechnungsverfahren für stochastische Fahrzeugschwingungen

Übersicht Fahrzeuge auf unebenen Fahrwegen führen Zufallsschwingungen aus, durch die Fahrkomfort und Fahrsicherheit beeinträchtigt werden können. Die Analyse solcher Fahrweg-Fahrzeug-Mensch-Systeme bedarf einer umfassenden Untersuchung der zufälligen Fahrwegunebenheiten, der nichtlinearen Fahrzeugdynamik und der menschlichen Schwingungswahrnehmung. Hierfür werden sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich mathematische Modelle für diese drei Teilsysteme angegeben. Bei mehrachsigen Fahrzeugen wird dabei die Erregung in mehreren Kontaktpunkten berücksichtigt. Eventuell auftretende Nichtlinearitäten werden mit Hilfe der Statistischen Linearisierung behandelt. Die Berechnung der interessierenden stochastischen Kennwerte, d. h. der Varianzen der dynamischen Radlasten, der Fahrzeugaufbaubeschleunigungen und der menschlichen Schwingungswahrnehmung, geschieht mit der Spektraldichtemethode im Frequenzbereich oder der Kovarianzmethode im Zeitbereich. Die Gegenüberstellung der beiden Methoden ergibt Vorteile der Kovarianzmethode sowohl bei linearen als auch insbesondere bei nichtlinearen Problemen. Die dargestellten Rechenverfahren für stochastische Fahrzeugschwingungen werden anhand eines nichtlinearen Automobilmodells beispielhaft veranschaulicht.

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Summary The dynamic analysis of random vehicle vibrations and the consequences especially to human comfort requires an integrated investigation of guideway roughness, nonlinear vehicle dynamics and human response to vibration exposure. Therefore, the complete system is characterized in the frequency as well as in the time domain. Multi-axle excitation inputs are included in the vehicle dynamics. Nonlinearities are considered by statistical linearization techniques. Then, the variances of wheel load variation, car body acceleration and human perception are determined by spectral analysis in frequency domain as well as by covariance analysis in time domain. Comparing both methods the covariance analysis is favourable for linear and, particularly, for nonlinear problems. Its efficiency is illustrated by the random vibration analysis of a nonlinear automobile model.

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Herrn Professor Dr. E. Mettler zum 70. Gebrutstag gewidmet     

Dynamic thermomechanical properties of composites based on thermoelastic wave scattering

Summary The dynamic thermomechanical properties of a macroscopically homogeneous and isotropie particle composite are determined by means of an analytical model based on the theory of thermoelastic wave scattering. According to the present method, the energies of the incident and scattered waves are determined in terms of the dynamic stress/strain fields and heat flux/temperature fields, both for an incident shear wave and for an incident one consisting of a linear combination of a pressure and a thermal wave. The basic assumption is that there is no interaction between the respective fields of neighbouring inclusions, i.e. a low volume concentration of the particles and also a wave length of the incident field much greater than the diameter of the smallest sphere which can surround the inclusion. The model is applied to a particle composite containing rigid spherical, thermally insulated inclusions. Results for a wide range of the involved parameters are presented.

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Bestimmung der dynamischen thermodynamischen Eigenschaften von Verbundwerkstoffen aus der thermoelastischen Wellenstreuung

Übersicht Die dynamischen thermomechanischen Eigenschaften makroskopisch homogener und isotroper Partikel-Verbundwerkstoffe werden mit Hilfe eines Modells, das auf der Theorie der Streuung thermoelastischer Wellen beruht, bestimmt. Die Energien der einfallenden und gestreuten Wellen werden ausgedrückt durch die dynamischen Spannungs-Verzerrungsfelder und Wärmefluß-Temperaturfelder, und zwar jeweils für eine einfallende Scherwelle uhd eine Linearkombination aus einfallender thermischer und Druckwelle. Grundlegend ist die Annahme, daß keine Wechselwirkung zwischen den betreffenden Feldern benachbarter Einschlüsse vorhanden ist, d. h. eine geringe Teilchenkonzentration und eine Länge der einfallenden Wellen, die sehr viel größer ist als der Durchmesser der kleinstmöglichen Kugel um den Einschluß. Das Modell wird auf einen Verbund mit starren und wärmeisolierten sphärischen Einschlüssen angewandt und mit Ergebnissen für einen weiteren Parametersatzbereich demonstriert.

     

Effect of inlet subcooling on two-phase flow oscillations in a vertical boiling channel

In this work, results of experimental research to investigate the effects of heat transfer augmentation and inlet subcooling on two-phase flow instabilities are presented. For this purpose, a simple set-up was designed and built. The effect of inlet subcooling was investigated using different heat transfer surfaces and inlet temperatures at constant heat input of 415 W. Freon-11 has been used as the test fluid, and the experiments were carried out for six heater tubes having different heat transfer surfaces. Inlet temperatures were in the range of –9.8°C to 38°C. The results indicate that, in the range of present experiments, the system becomes more stable, that it's instability boundary moves into lower mass flow rates, with increase in the inlet subcooling. However, the amplitudes and the periods of the oscillations increase with increase in the inlet subcooling. For some of the tested surfaces there was a particular inlet subcooling, above and below which the system's stability decreased.

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Der Einfluß der Eintrittsunterkühlung auf die Oszillationen einer Zwei-Phasen-Strömung in einem senkrechten Siede-Kanal

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden die Ergebnisse einer experimentellen Untersuchung des Einflusses von Verbesserungen der Wärmeübertragung und der Eintrittsunterkühlung auf Instabilitäten der Zweiphasenströmung dargestellt. Zu diesem Zweck wurde ein einfacher Aufbau konstruiert und aufgebaut. Der Einfluß der Eintrittsunterkühlung wurde unter Benutzung verschiedener Wärmeübertragungsoberflächen und Eintrittstemperaturen bei einer konstanten Wärmezufuhr von 415 W untersucht. Als Testfluid wurde Freon-11 benutzt. Die Experimente wurden für sechs Heizrohre mit verschiedenen Wärmeübertragungsoberflächen durchgeführt. Die Eintrittstemperaturen lagen in diesem Bereich von –9.8°C bis 38°C. Die Ergebnisse zeigen, daß in dem Bereich der vorliegenden Untersuchungen das System mit einem Ansteigen der Eintrittsunterkühlung stabiler wird und daß dessen Instabilitätsgrenze sich zu niedrigeren Massenstromdichten bewegt. Die Amplituden und Perioden der Schwingungen steigen mit Zunahme der Eintrittsunterkühlung an. Für einige der getesteten Oberflächen existierte eine bestimmte Eintrittsunterkühlung, über bzw. unter welcher die Stabilität des Systems abnahm.

     

Plane dynamic response of two circular holes to transient elastic waves

Summary Using the methods of integral transforms and eigenfunction expansions, the plane elastodynamic problem of two circular holes in an infinite medium under the action of arbitrary transient loads is investigated in this paper. The problem is first reduced to a group of equations of infinite series in the Laplace transform domain which is then solved by a modified version of the Schmidt orthogonalization method. Via the numerical inversion of the Laplace transform the dynamic stress concentration factors which vary with time are obtained and presented in graphical form for various geometry parameters and types of transient loads. The effect of the distance between the two holes on the dynamic stress concentration factor is also discussed.

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Das ebene elastodynamische Problem mit zwei Kreislöchern bei transienten Belastungen

Übersicht Mit Hilfe von Integraltransformationen und Entwicklungen nach Eigenfunktionen wird das ebene elastodynamische Problem beliebiger transienter Belastung des unendlichen Körpers mit zwei Kreislöchern untersucht. Zunächst wird das Problem auf einen Satz unendlicher Reihen im Laplace-Raum reduziert und mit einer modifizierten Version der Schmidtschen Orthogonalisierungsmethode, gelöst. Durch numerische Rücktransformation erhält man die zeitveränderlichen Spannungskonzentrationsfaktoren, die für verschiedene geometrische Parameter und transiente Belastungen graphisch dargestellt werden. Zusätzlich wird der Einfluß des Lochabstands auf den dynamischen Spannungskonzentrationsfaktor untersucht.