图的上可嵌入性与独立数、非邻节点度和

本文研究了图的上可嵌入性与独立数、非邻节度点和之间的关系,得到了一些新的上可嵌入图类,推广了—个相关结果.从而,为进一步研究图的上可嵌入性提供了一定的理论基础.     

点度与图的上可嵌入性

本文证明了:(1) 设G是2-连通简单图,且不含K_3,若对任意一对距离为2的点u,u,有max{d(u),d(u)}>n/3-1,其中n=|V(G)|,则G是上可嵌入的,且条件中不等式的界"n/3-1"是不可达的;(2) 设G是3-连通简单图,若对任意依次相邻的三点u,u,W,有max{d(u),d(u),d(w)}≥n/6+1,其中n=|V(G)|,则G是上可嵌入的,且条件中不等式的界"n/6+1"是最好的.     

图的上可嵌入性

证明了一个连通无环图G如果能嵌入某个 (定向或不可定向 )曲面S上使得每个面的大小不超过 5 ,则G是上可嵌入的 .     

图的上可嵌入性的邻域条件

用NG（u）表示一个图G中任意点u的邻域集．本文主要证明了下述结果：设G是无环图,对G中任意相邻的点u和υ,即uυ∈E（G）,若如下两条件之一满足：（1）|NG(u)∩NG(υ)≥2;（2）G是2-点连通的图,且|NG(u)∩NG(υ)|≥1,则G是上可嵌入的．     

图的上可嵌入性与独立顶点的度和

设G=（V,E）是2（或3）-边连通的简单图,独立数为α,围长为g,n=｜V｜.若下列条件之一成立：（1）独立数α＆lt;3g2（或6g-21）;（2）对G中任意含有m=3g2（或6g21）个顶点的独立集{v1,v2,...,vm}V,当g为偶数时,im=1dG（vi）n＋4（或n-11）;当g为奇数时,im=1dG（vi）n2（或n＋1）.则G是上可嵌入的.     

关于点的度在modulo下等值的上可嵌入图类

结合４－边形２－因子条件,确定了一类点的度在ｍｏｄｕｌｏ４下值为０,１的上可嵌入图类,从而综合已有的结果,较完整地刻划了这类图的上可嵌入性情况。     

关于图的上可嵌入性的一个注记

任韩和李刚在图的最大亏格综述一文"Survey of maximum genus of graphs" [J East China NormUniv Natur Sci, Sep. 2010, No. 5, 1-13] 中,全面地阐述了近30 年来关于图的最大亏格及其相关问题所取得的进展,并提出了如下两个猜想:
猜想1 设G 为简单连通图, 且G 的每条边含在一个三角形K₃ 中, 则G 是上可嵌入的.
猜想2 设c 为任意的正数, 则存在一个自然数N(c), 使得对每一个图G, 若G 的点数n ≥ N(c), 且最小度δ(G) ≥ cn, 则G 是上可嵌入的.
本文的主要工作是否定上述两个猜想, 同时探讨上述猜想成立的条件且得了一些新结果, 并提出有关进一步研究的问题.     

关于图的上可嵌入性的一个充分条件

本文主要证明:设G是一个(k+1)-边连通的n阶简单图,其围长为g,如果对G的任意独立集I(G)={v_i|1≤i≤k~2+2},k=0,1,2,均满足那么图G是上可嵌入的,而且下界是紧的.     

关于图的平面嵌入的一个上可嵌入性

本文证明了一个无环图Ｇ如果能嵌人在平面上使得每个面的次不超过５,则Ｇ是上可嵌入的,即当曲面为Ｓ平面时,证明了Ｒ．Ｎｅｄｅｌａ和Ｍ．Ｓｋｏｖｉｅｒａ［１］所提猜想成立．     

关于图的上可嵌入性的一个新的邻域条件

用NG(u)表示一个图G中任意点u的邻域集．L∈{K1．3,Kl，3 e}，其中K1．3,K1，3 e是G的点导出子图．本文主要证明了下述结果:设G是简单图，对L中任意两个距离为2的点u和v，即dL(u,v)=2，都有|NG(u)∩NG(v)|≥2，则G是上可嵌入的．特别地，每个L—free图是上可嵌入的．     

图的上可嵌入性与圈中顶点度

本文利用非上可嵌入图的充要条件,结合圈中顶点最大度与图的上可嵌入性之间的关系,得到了下两个结果:(1)设G是2-边连通简单图,若对G中任意圈G,存在点x∈C满足,d(x)>|V(G)|/3 1,则图G是上可嵌入的,且不等式的下界是不可达的.(2)设G={x,y;E}为简单二都图,且是2-边连通的. |x|=m,|Y|=n(m,n≥3),若对G中任意圈C,存在点x∈C且x∈X满足d(x)>n/3 1,则图G是上可嵌入的,且不等式的下界是不可达的.     

图的上可嵌入性与围长及相邻顶点度和

$G$是一个阶为$n$围长为$g$的简单图, $u$和$v$是$G$中任意两个相邻顶点, 如果$d_{G}(u)$ + $d_{G}(v)$ $\geq$ $n - 2g + 5$, 则$G$是上可嵌入的; 如果$G$是2-\!边连通(或3-\!边连通)图, 则当 $d_{G}(u)$ + $d_{G}(v)$ $\geq$ $n - 2g + 3$ (或 $d_{G}(u)$ + $d_{G}(v)$ $\geq$ $n - 2g - 5$)时$G$是上可嵌入的, 并且上面3个下界都是紧的.     

嵌入图的面度与最大亏格

利用图在曲面上的嵌入特征,特别是面的度的大小,研究图的最大亏格下界或上可嵌入性．     

关于点的度在modulo 4下等值的上可嵌入图类

结合 4-边形 2 -因子条件 ,确定了一类点的度在 modulo4下值为 0 ,1的上可嵌入图类 .从而综合已有的结果 ,较完整地刻划了这类图的上可嵌入性情况     

类循环图的可定向嵌入北大核心CSCD

陈仪朝等运用覆盖矩阵和Chebyshev多项式计算了一些图类在曲面上的亏格分布,本文给出了一类不能运用Chebyshev多项式的类循环图,计算出它在可定向曲面上的嵌入.     

一类3-连通图的上可嵌入性

结合图的k-边形2-因子条件，确定了一类上可嵌入的3-连通图。     

上可嵌入性，边独立数与围长

结合边连通性,研究边独立数与上可嵌入性之间的关系,得到如下结果：设G为七一边连通图,围长为g,若α＇（G）≤（（k-1）^2＋2）[g/2]＋1-（-1）^g/2（（k-1）（k-2）＋1）-1,其中k=1,2,3,α＇（G）表示图G的边独立数,则G是上可嵌入的,且上界是最好的．这推广了相关结果．     

几类新的上可嵌入图

讨论了几类上可嵌入的边连通简单图,得到了如下结果:若G为简单连通图,且满足以下条件1)-3)之一:1)G为1-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤3,2)G为2-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤5,3)G为3-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤10,则G是上可嵌入的,且在上述相应条件下,独立数上界都分别是最好的.     

半无爪可迹图的度和条件

可迹图即为一个含有Hamilton路的图.令$N[v]=N(v)\cup\{v\}$, $J(u,v)=\{w\in N(u)\cap N(v):N(w)\subseteq N[u]\cup N[v]\}$.若图中任意距离为2的两点$u,v$满足$J(u,v)\neq \emptyset$,则称该图为半无爪图.令$\sigma_{k}(G)=\min\{\sum_{v\in S}d(v):S$为$G$中含有$k$个点的独立集\},其中$d(v)$表示图$G$中顶点$v$的度.本论文证明了若图$G$为一个阶数为$n$的连通半无爪图,且$\sigma_{3}(G)\geq {n-2}$,则图$G$为可迹图; 文中给出一个图例,说明上述结果中的界是下确界; 此外,我们证明了若图$G$为一个阶数为$n$的连通半无爪图,且$\sigma_{2}(G)\geq \frac{2({n-2})}{3}$,则该图为可迹图.     

连通度与强正则图的2—可扩性

本文证明了所有具有偶顶点数的强正则图是1—可扩的,如果强正则图G具有偶顶点数和参数(v,k,α,β),并且G的圈边连通度至少为3k—3测G是2—可扩的.