复数形式的三角形面积公式

复数形式的三角形面积公式陈飞新（河北涿州物探中学０７２７５１）已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）．求Ｓ△ＡＢＣ．高中《代数》（必修）下册Ｐ１７６第１４题用行列式给出了计算公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１...     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２６设Ｐ为△ＡＢＣ内一点，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ的延长线交面△ＡＢＣ的三边于Ｄ，Ｅ，Ｆ．若Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ，则Ｐ为△ＡＢＣ的重心证明不妨设Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ＝...     

点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...     

面积法的一个定理及应用

面积法的一个定理及应用３５２２００福建省古田县玉田中学吴若继定理任意凸四边形ＡＢＣＤ的对角线相交于Ｏ，记△ＡＯＤ、△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４，则Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４（图１）．证明。，Ｊ·ｃ，卅”Ｓ【Ｘ””ｓｇｓ。...     

巧构二次函数证明一类分式不等式

笔者发现巧构二次函数,利用二次函数的知识可以很简捷地处理一类分式不等式,从而使其获得统一证法．例１已知：Ｐ为△ＡＢＣ内一点,ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ,点Ｐ到△ＡＢＣ三边ＢＣ、ＣＡ和ＡＢ的距离分别为ｄ１,ｄ２,ｄ３．求证Ｎ＝ａｄ１＋ｂｄ２＋ｃｄ３≥...     

3倍角三角形的性质初探

在△ＡＢＣ中,若∠Ｃ＝ｎ∠Ｂ,∠Ｂ＝ｎ∠Ａ,ｎ∈Ｎ,则称△ＡＢＣ为。倍角三角形． 当ｎ＝１时,即为正三角形;当ｎ＝２时,则∠Ｃ＝２∠Ｂ,∠Ｂ＝２∠Ａ,此时 ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２～０：２～１：２～２,我们称△ＡＢＣ为２倍角三角形． 关于２倍角三角形,文［１］已给出了若干有趣的性质． ２倍角三角形性质可以给出许多竞赛题以新解,简解,见文［２］． 当ｎ＝３时,∠Ｃ＝３∠Ｂ,∠Ｂ＝３∠Ａ,则∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝３～０：３～１：３～２,称△ＡＢＣ为３倍角三角形,关于３倍角三角形,笔者初步得到如下性质： （１）当∠…     

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法四川师大翁凯庆一、基础知识１、三角形面积公式设△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，其上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，半周长为ｐ，面积为Ｓ△ＡＢＣ，则（１）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｈａ＝１２ｂｈｂ＝１２ｃｈｃ；（２）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ...     

关于一道极值题的若干反思

这是一道看似寻常的最值问题：四面体ＡＢＣＤ中,ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ三棱两两垂直,且ＡＤ＝１,ＢＤ＋ＣＤ＝４．求图１Ｓ△ＡＢＣ的最大值与最小值．从解题常规看,入手并不难．如图１所示,在平面ＡＢＣ内,作ＡＥ⊥ＢＣ,垂足为Ｅ,联ＤＥ．则ＤＥ⊥ＢＣ．设ＢＤ＝ｘ,易知　ＤＥ＝ＢＤ·ＣＤＢＣ＝ｘ·（４－ｘ）ｘ２＋（４－ｘ）２＝４ｘ－ｘ２２ｘ２－８ｘ＋１６　ＡＥ＝ＡＤ２＋ＤＥ２＝ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６２ｘ２－８ｘ＋１６而　Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＥ·ＢＣ　＝１２ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６（１）面对这…     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

Erds-Mordell定理的简捷证明

Ｅｒｄｏ¨ｓ－Ｍｏｒｄｅｌ定理的简捷证明李汉丰（山东胜利油田教育学院２５７０９７）１９３５年，Ｅｒｄｏ¨ｓ提出了如下猜想：命题设Ｐ为△ＡＢＣ内部或边上一点，Ｐ到三边ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢ的距离分别为ｒ１，ｒ２，ｒ３（如图），则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≥...     

三维欧氏空间的Child不等式

三维欧氏空间的Ｃｈｉｌｄ不等式杨世国（安徽教育学院数学系２３００６１）１主要结果设△Ａ１Ａ２Ａ３内部任一点Ｐ到三角形各顶点之距离为Ｒｉ＝｜ＰＡｉ｜（ｉ＝１，２，３），点Ｐ到三角形各边之距离为ｒｉ＝（ｉ＝１，２，３），Ｊ．Ｍ．Ｃｈｉｌｄ获得下述一个重要...     

1999年全国初中数学联合竞赛(Ⅰ)试题及参考答案

第一试选择题１．计算１１－４３＋１１＋４３＋２１＋３的值是（）．（Ａ）１（Ｂ）－１（Ｃ）２（Ｄ）－２解原式＝２１－３＋２１＋３＝４１－３＝－２．答：（Ｄ）．２．△ＡＢＣ的周长是２４,Ｍ是ＡＢ的中点,ＭＣ＝ＭＡ＝５,则△ＡＢＣ的面积是（）．（Ａ）１２（...     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

解直角三角形教与学研究

第一课　正弦和余弦（一）一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′…     

正弦和余弦

一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′吗？从上面的问题中我们不…     

第39届IMO-5的简证

题目　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,Ｋ、Ｌ、Ｍ分别为△ＡＢＣ的内切圆在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点,已知通过点Ｂ与ＭＫ平行的直线分别与直线ＬＭ及ＬＫ交于Ｒ、Ｓ两点,求证∠ＲＩＳ为锐角．证明　记△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ,∵　ＲＳ∥ＭＫ且△ＭＫＬ为切点三角形,故　∠ＲＳＫ＝∠ＭＫＬ＝∠ＬＭＡ,∴　Ｓ、Ｌ、Ｍ、Ｂ四点共圆．故　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＭ·ＲＬ．但Ｒ是圆Ｉ外一点,ＲＭ·ＲＬ＝ＲＩ２－ｒ２,∴　　ＲＢ·ＲＳ＝ＲＩ２－ｒ２（１）同理可知　ＳＢ·ＳＲ＝ＳＩ２－ｒ２（２）由（１）、（２）有ＲＩ２＋ＳＩ２－２ｒ２＝ＲＳ…     

初三上期数学测试题

一、一元选择题（每小题３分,共４５分）１．在直线坐标系中,点Ｐ（－２,３）关于原点的对称点Ｐ′的坐标是（　）（Ａ）（２,３）　（Ｂ）（２,－３）（Ｃ）（３,－２）　（Ｄ）（－２,－３）２．已知方程２ｘ２＋７ｘ＋３＝０的两实根是ｘ１、ｘ２,那么ｘ１＋ｘ２的值是（　）（Ａ）－３　（Ｂ）３２　（Ｃ）－７２　（Ｄ）７３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,如果ｓｉｎＡ＝１２,那么ｃｏｓＢ的值为（　）（Ａ）１２　（Ｂ）３２　（Ｃ）１　（Ｄ）２２４．已知两个实数根的和是３,积是－４的一元二次方程是（　）（Ａ）ｘ…