談談数学归納法

数学归納法是数学中一个很重要的工具,但初学者对它却是比较难于掌握的,如果学得不好,常常領会不到数学归納法的真意。一般,数学归納法可如下表述: 设有一个关于正整数n的命題,如果当n=1时該命題为真;又如果假設当n=k时該命題为真后,可以推出当n=k+1时該命題为真;那末該命題对一切正整数n为真。如果我們用“P(n)”表示一个含n的命題(n为正整数),那末上面一段話可以表述为: P(1) 真且由P(k)真可推得P(k+1)真,那末P(n)真。在上面那段用語言的敍述中,比較嚕嗦,难于一下子理解;在下面一段用式子的敘述中,比較清楚一些     

再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

論数学归納

引言依照近代邏輯严格性的准則,每一个純粹数学分支都需要利用下述两种方法之一来奠定基础:或者它的全部基本概念应該借某些先行数学分支的概念之助来加以定义,在这一情形,它的定理可以由这些先行数学分支的定理連同这些定义推演出;或者它的基本概念被当作未定义的,它的定理則由含有这些未定义术語的公理集合推演出。自然数0,1,2,3,…属于我們幼年时期研习的数学对象的范围;我們对于这些数及其性貭的知識一般地讲是带有直观的特征的。然而如果我們期望对这些数建立精确的数学理論,我們不可能依靠非形式化的直观作为理論的基础,而必須用上述两种方法之一为此理論奠基。事实上两种方法都是可行的。正如德国数学家Frege所指出,从純邏輯和集合     

数学归納法教学探討

数学归納法是数学中一种重要証題工具。但是,高中学生往往难以理解它的实貭,对它的証題步驟,也往往是死記硬套,因此数学归納法是中学数学课中較大难点之一。下面对这一段教学及学生常出現的問題提出几点意見。 (一)怎样提出数学归納法人們进行邏輯推理时有归納和演繹二种方法。演繹法是由一般命題推出特殊命題的方法。例如:任何平行四边形其对角綫互相平分。菱形是平行四边形, 所以菱形的对角綫互相平分。与此相反,归納法是由特殊命題概括出一般命題的方法。     

論数学归納(續)

§3.任意归納模型中的加法和乘法正如我們前面所指出,由定理1推出在每个Peano模型中存在唯一的加法运算[即对于所有x,y ∈N滿足条件(5.1)和(5.2)的二元运算f]。事实上我們更有定理2.在每个归納模型中有唯一的加法运算。这个定理的証明不能在定理1的基础上作出,因为正象我們在§2中指出的,后者并不对于一切归納模型为真。我們采用如下的引理来代替它: 引理。若为任意归納模型,則对于每个x∈N在N上存在着唯一的一元运算hx,使得条件(3.1)和(3.2)对于所有y∈N为真。 証.首先我們指出,对于任何x∈N最多只能存在一个运算hx滿足条件(3.1)和(3.2)。事实上,我們假定h_x和h′_x为滿足这些条件的两个运算且設G为N的这样的子集使得y∈G当且仅当hxy=h′_(xy)。显然,O∈G,因为h_xO=x=h′_xO。此外,集合G对于S为     

計算数学簡介

任何一门学科的发生和发展都是与生产实践分不开的,計算数学当然也不例外,在我们的实践中,有许多从科学技术和国民經济生产建设中提出来的、具有量的性貭的问题。为了研究它們而又可能找到它們的某些規律用数学公式、方程或不等式等形式描述出来时,我們就常用数值方法来研究它们且做出对实践有用的计算。在解决这些問題中所用的数值方法以及在一定程度近似方法的发展,成了数学发展中的一个分支,这就是通常所称的計算数学。計算数学在实践中的应用极为广泛而且很     

数学归納法的教材研究与教法建議

从現行代数課本来看,数学归納法是由学习“第一项相同而第二項不同的若干个二项式的积”这一課題而引出的,而这一課題的目的又在于导出“二项式定理”这一重要內容;从以后的习題內容来看,我們又将这一証明方法用之于等差数列和等比数列的通項公式以及求和公式的証明,以后又将这一証明方法用之于其他多种类型的问題,如排列、組合、复数的若干性质,不等式的证明,恆等式的証明,在几何里又可以用之于尤拉公式——“f v=l 2”的証明,等等,总之,对于和自然数有关的命題,一般都可以应用数学归納法。因此,在中等数学的許多章节里,以及在高等数学学习中,数学归納法都是一个重要的推理工具,同时,数学归納法也是发展与培养学生的邏輯思維能力的很好题材。但是,历来中学生学习这一节內容时感到困难,不易掌握其精神实貭,或者不能熟练运用这一証明方法,这給中学生进一步学习高等数学带来不便。現在,我們根据自己几年来的教学实践,把有关这一节的教材研究和致法建議写出来供同志们教学中参考,并请指正。     

数学思維中的归納与类比

翻开一般的数学課本,就会看到:定义—定理—証明—推論,最多再举几个例,或者在定义前面有个小敍,说明一下理論发展的簡略情景。但要問,这个定理是怎么发現的?数学家怎样找到了証明?証明的过程为什么必須是这样的?如此等等数学家們真实的思維过程在写书时都被抽掉了。在一般的数学文献中,这样做也许是必要的,但在数学教科书与数学教学中,注意适当地发掘这种思維过程就显得很重要了,它将对培养初学者的数学能力起很好的作用。近来讀到一本书:“数学与似然推理”(原书是英文,有俄文譯本),是数学家波利亚(Polya)根据自己数学研究和教学的經驗写成的。这本书的主要目的在于肯定地回答諸如“在通常的自然科学中所应用的归納、类比、观察、实驗、概括等方法在严謹的科学,例如数学     

几何定理的归納

吉西辽夫几何学教科書中,常常把有关系的定理集中地写在一起,这不但在系統上表現出它的优越性,在教学中也給予教师、学生以極大的便利。例如等腰三角形頂角的分角綫,底边的中綫与高,它們之間的关系是这样的: 1)等腰三角形顶角的分角线必垂直等分     

函数方程簡介

所謂函数方程对研究各种函数具有重大的意义。在討論中学数学課本里的初等函数吋,人們研究偶性、奇性、周期性,等等。这些性貭可分別解释为函数滿足下面几个函数方程: f(-x)=f(x) (偶性); f(-x)=-f(x) (奇性); f(x+a)=f(x) (周期性)。在較深入地研究“函数”部分的过程中,很自然地提出了把函数定义成某一函数方程的解的問題。显然,上列各函数方程并不确定一个具体的函数,因为它們表示着极广泛的函数类。     

射影几何簡介

本文共分两部分。第一部分是在初等几何基础上引进无穷远元素,建立射影平面和射影空間,而介紹綜合射影几何;第二部分則是在解析几何基础上引进齐次坐标,从而建立射影平面和射影空間,而介紹解析射影几何。第一部分§1.中心射影及无穷远元素直线向直綫上的中心射影。     

演繹和归納在初等数学中的作用

推理是用以从一个或几个已知判断获得新判断的邏輯方法。因此,推理这个认识形式和其他的思維形式一样,也可以作为获得知識的工具和手段。推理有直接推理和間接推理,而間接推理主要又有演繹推理和归納推理。演繹推理是从一般到特殊的推理,而归納推理恰相反,它是从特殊到一般的推理。当然,还有从特殊到特殊的推理,例如类比推理。演繹推理和归納推理之間有密切联系,事实上,人們在认识客观事物的思維过程中,經常同时使用着演繹推理和归納推理。由于推理能使人們从已知的知識中获得新知識,因此在学习数学的过程中,如果能正确地运用推理这个从已有的判断获得結論的邏輯方法,那末对于深刻理解与掌握数学知識和提高应用数学方法解决实际問题的能力都将起显著作用。可惜目前在初等数学的教     

排隊论簡介

1.在我們日常經济生活中,經常会出現这样的事情:有一个“服务站”,有許多“顾客”到来須要受到服务,被服务完毕之后即行离去。假若“顾客”到达时,“服务站”是空閑的,則该“顾客”立刻受到接待;但若到达时服务站正在为别的“顾客”服务,則該“顾客”或者离去,或者停下来等待。比如对車站售票来說,“服务站”是售票窗口,而“顾客”是买票者;对工厂机器維护来說,“服务站”是检修队,“顾客”是发生障碍的机器;对电話通訊来說,“服务站”是电話綫路,而“顾客”則是由打电話的人所发生的呼喚。前面两个例子就是“顾客”可以等待的情况(或称“等待系統”);后一个例子就是“顾客”需要离去的情况(或称“消失系統”)。在所說的这些事件中,常会发生这样情形:或者是服务站机构     

介紹一种簡單的因子判别法

当我們想知道一个整數能不能除尽另一个整數時,一般地,除了是用2,3,5,…这些極个別的數去除別的數之外,總得老老实实去除一除,这件工作是很麻煩的,这裹介紹一种方法,利用它能判別一个數能不能除尽另一个數。在我們只需要知道一个數能不能除尽另一数而不用知道它們的商時,这个方法是很適用的。为了說着方便,当然可以假定除數D和被除數N都是正的。我們知道,被除數N越小,除起來就越省力;要是我們对於D和N能找到一个比N小的R,使得D|R是D|N的充分必要条件,那問題不是就简單了嗎?这里介紹的方法的基本意思,就是給出一个規律,使我們对任意的正整數D,N,都能找到一个比N小的R,滿足: D|R(?)D|N     

线性代数簡介(II)

54.矩障 由。只”个数aii(i=1,2,…,“;z=l,2,所粗成的一个、行n列的表a12a22al移口2,…,n) (15)al勺a仍la仍2.”am耳阱做一个矩障.当”:=。时,也阱做一个n阶方障.为了筒单起晃,矩障(l幻常简写作(aii)。,.两个矩障被敲为是相等的,假如对应的行数与列数分别相等,且对应位置的元素相等.歌才=(aij).,与B==(bij)。。是两个‘行”列矩障.我们定义刁与B的和注十B为矩障(at’i十句i)。。.换一句韶税,两个,行n列的矩障A与B的和仍是一个“行n列的矩障,它的元素是才与B的相应位置元素的和.例如“一(一;}一:),‘一(;一::),“ B一( =·( 3十l一2十2 1…     

线性代数簡介(I)

线性代数是高等数学中最基本的科目之一。线性代数主要的研究对象是向量空間及向量空間的线性变換。綫性代数之所以重要,首先在于这些概念本身是进一步学习数学的各个分支以及力学、理論物理学等所不可缺少的数学知識;其次,在线性代数里所体現的几何观念与代数方法之間的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严密的逻輯推証,对于提高人們的数学能力,加强数学训练来說都是非常有用。     

发散級数求和簡介

发散级數求和,现在还很难说是一个独立的数学分支,在数学中它主要是作为一个工具出现的。我们知道,级数的主要作用是表示函数,虽然它的每一项可以是极其簡單的函数(通常是初等函数),但所表示的函数却能够具有很复杂的性质,因而成为研究函数的一个不可缺少的工具。函数与表达它的级数的一种联系是通常意义的收敛,但这在级数发散(或还不知道它是否收敛)时就完全失去了作用。发散级数求和理论正是为了补充通常级数理论的这一点不足而建立起来的。本文的目的是在数学分析的基础上,向读者简单介绍这方面的一些基本概念、知议和一些最初等的有趣的应用。发散级数求和所涉及的方法,在古典分析中是比较典型的,因此一些主要定理的证明我们还是引出来。这里只要求读者具有一般分析的基础。     

线性代数簡介(續II)

§6.特征向量及特征根既然n维空間的同一个线性变換在不同的基底下可以有不同的矩陣与它对应,因此在研究线性变換时,我們自然希望适当地选择一組基底,使得所給的綫性变换的矩陣具有尽可能簡单的形式。     

线性代数簡介(續Ⅰ)

§2.向量空間 1.細心的讀者不难发现,在§1里,关于向量运算的許多性质和大多数的命題的推导过程中,我們是有意地避免利用向量的特殊属性,而只是直接利用基本算律I-VIII或数积的性质1°-4°。我們所以这样作的目的是为了使讀者了解,关于向量运算的許多性质并不依赖于向量本身的特殊属性,而只是依赖于这些基本算     

射影几何簡介(續)

第二部分§9.齐次坐标一維齐次点坐标.当欧氏直线規定了方向、原点及单位线段以后,即建立起一种坐标系,它可使有穷远点与实数之間建立一一对应,从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念。当它引进无穷远点建立射影直线后,无穷远点即沒有坐标而必須另行規定于下: 定义。笛氏坐标为x的点的一維齐次坐标(x_1,x_2)系任意适合x_1:x_2=x之二数x_1,x_2其中x2≠0,而