新题征展(124)第5题的进一步思考

题目 设a,b,c为正实数,1≤a,b,c≤2,求(a+b+c)(a/1+b/1+c/1)的最大值. 答案 当且仅当a=b=c=1时,所求最大值为27. 进一步思考     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

一个不等式的加强

法国LouisPasteur大学的MohammedAassila教授 ,在 1 998年 9月的CruxMathematicorumWithMathematicalMayhem杂志P30 4 上提出了一个初等的不等式 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥ 31 +abc. ( 1 )笔者在仔细研读后 ,觉得不等式 ( 1 )虽然形式简洁 ,但左右两边不是齐次的 ,其实该不等式可以进一步加强为 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc 1 + 3 abc . ( 2 )证明　设 3 abc=k(k >0 ) ,则abc=k3,故可设a=k·a2a1,b=k·a3a2,C=k·a1 a3(a1 、a2 、a3>0 )代入 ( 2 ) ,则只须证 :1k·a2…     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

数学问题解答

2012年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2071设a,b,c≥0,a4+b4+c4=3,求证:a2/b3+1+b2/c3+1+c2/a3+1≥32.(广东省工业贸易职业技术学校张宏528237)证明设a2+b2+c2=x,则a2b2+b2c2+c2a2=1/2(a2+b2+c2)2-(a4+b4+c4)=1/2(x2-3).     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

一个例题的变式及推广

1　一个例题文 [1 ]中钱亦青老师举到如下例题 :求函数 f(a ,b ,c) =1a3(b +c) + 1b3(c+a)+ 1c3(a +b) 在条件a >0 ,b >0 ,c >0 ,abc =1之下的最小值 .该题变式为 :命题 1　已知a >0 ,b>0 ,c>0且abc=1 ,求证 :1a3(b+c) + 1b3(c+a) + 1c3(a +b) ≥32 ( 1 )现采用文 [2 ]构造函数的方法证明不等式( 1 ) .证　为了书写方便 ,设U =1a3(b +c) +1b3(c+a) + 1c3(a+b) ,V =1a+ 1b+ 1c.构造函数g(x) =xaa(b +c) -a(b+c) 2　 + xbb(c+a) -b(c+a) 2　 + xcc(a +b) -c(a +b)2=x21a3(b +c) + 1b3(c+a)　 + 1c3(a+b)　 - 2x 1a+ 1b+ 1c + [a(b +c)　 +b(c…     

涉及三角形内部一点的几个不等式

在文[1]中,褚小光建立了下述几何不等式:设△ABC内部(包括边界,下同此)任意一点P到顶点A,B,C的距离分别为R1,R2,R3,三边BC,cA,AB的长分别为a,b,c.则 a2R1+b2R2+c2R3≥(R2+R3)(R3+R1)(R1+R2),①等号当且仅当P点位于△ABC的边上时成立.     

两道江苏高考附加题别解

本文给出两道2008年江苏高考附加题的别解,供赏析。题1设a,b,c为正实数,求证: 1/a~3+1/b~3+1/c~3+abc≥2 3~(1/2)。别解因为a,b,c为正实数,     

对一道世锦赛试题的拓广

题目 设a,6,c∈R+,a+b+c＝1,则M＝√3a+1+√3b+1+√3c+1 的整数部分 ∈是( ). 参考答案是这样求M的下界值的: 因为x∈(0,1)时,有x＞xn(n∈N且n≥2),所以√3x+1＞√x2+2x+1＝x+1. 即√3a+1+√3b+1+√3c+1＞a+b+c+3＝4.     

一个不等式的再推广——再探《数学通报》2421题北大核心

1引言《数学通报》2018年5问题2421[1]为:已知a,b, c∈R^(+),且a+b+c=3,求证:2 (a1/4+b1/4+c1/4)+3≥3 (ab+bc+ca).作者在《数学通报》2018年第57卷第6期[2]中给了解答.张千乐在《数学通报》2019年第58卷第1期[3]中分别从项数、项数之和以及指数等3个方面作推广,得出下列结论:1)设a1,a2,a3,…,an(n≥3)是非负实数。     

一个不等式的证明——Schur不等式一个特例的应用

<数学通讯>2010年9月上(学生刊)中有如下题目征解问题27 设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证:2(a3+b3+c3)+3abc≥9.     

一道波斯尼亚奥赛题及其加强的统一推广

对如下一道竞赛题:设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,证明:(a5+b5)/(ab(a+b))+(b5+c5)/(bc(b+c))+(c5+a5)/(ca(c+a))≥3(ab+bc+ca)-2①文[1]给出如下三个加强:加强1设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,则     

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

活跃在不等式证明中的一个常用不等式

本文由一个恒等式得到一个常用的不等式,并举例说明其在证明不等式中的应用.设a,b,c为正实数,则有(a+b)(b+c)(c+a)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca).①证明因为(a+b+c)(ab+b十ca)≥9abc,所以(a+b)(b+c)(c+a).=(a+b+c)(ab+be+ca)-abc.≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-1/9(a+b+c)(ab +bc+ca)=8/9(a+6+c)(ab+b+ca).     

柯西不等式的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立． 以上不等式就是选修4-5<不等式选讲>中所介绍的柯西不等式(简记为"方和积不小于积和方"),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求函数的最值、解方程(组)、求参数的取值范围、求代数式的值、实现有效传接等都是大有裨益的.     

一道不等式试题的探究

一、问题提出已知a,b,c∈R~+且a+b+c=2.值.(1)求证:(?)(2-a)≤4/9(?);(2)求S=a~2+b~2+c~2-a~3-b~3-c~3的最大这是绍兴县2010年高三教学质量检测自选模块综合数学史与不等式选讲模块一道试题,学生在解这道题时,普遍对第(2)问感到困难,不知道如何用学过的知识来沟通这个不等式问题的条件与结论之间的联系.为此,本文首先对第(2)问作多解探究,然后再对问题作引申推广.二、探究一题多解先证第(1)问.     

谈一类不等式的证明思路

有一类不等式,其条件都是三个正数乘积为1.该类不等式的证明技巧强,难度较大,因此本文特介绍它的三种证明思路,以供参考.思路1直接运用条件例1已知a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,求证2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.证明设t=a+b+cf(t)=2t+3/t,∵a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,∴t=a+b+c≥3√abc=3,∵f'(t)=2-3/t2=(2t2-3)/t2,∴.当t＞3时,f＇(t)＞0,∴函数f(t)在[3,+∞)上为增函数,∴f(t)≥f(3)=7,故有2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.点评三元均值不等式在例1中起到了沟通已知与未知的桥梁作用,也使得直接运用条件“a＞0,b＞0,c＞0,abc=1”的目的得以达成.     

一个代数不等式推广的简证与类似结论

文[1]曾提出一个代数不等式:猜想若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则(a+1/b)~(1/2)+(b+1/c)~(1/2)+(c+1/a)~(1/2)≥30~(1/2)①文[2]给出①式的证明,文[3]运用赫尔德不等式将①式加强推广为:定理1若a,b,c为满足a+b+c=1的正     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …