由教材例、习题命制中考题:源于共同的题“根”

人教版教材九年级上册第88页第11题为: 如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形. 此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源". 证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°. 因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形. 所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形. 此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为: 命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形.     

一组角度公式及其应用

定理　若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1　定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2　定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1　如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,…     

一道反比例函数试题的变式思考

<正>一、试题及解答试题(2016年宁夏)如图1,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3^(1/2).反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.解析(1)如图1,过点C作CM⊥OB,垂足为M.因为点C是OA的中点,∠ABO=90°,所     

圆中的“最长”与“最短”

一、过圆内一点(非圆心)的弦中,直径最长,垂直于直径的弦最短如图1,P为⊙O内一点,直径CD经过点P,弦AB是经过P的任意一条弦,则CD>AB. 连结OA、OB,在△AOB中,OA OB>AB,∵OA=OB=OC=OD,∴OC OD>AB,即CD>AB.这也就说明了过⊙O内一点P的弦中,直径最长.     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

多思考你就会有多收获

对于课本中的题目同学们不能只满足会解,还要对他们认真的多思考,通过多思考相信你会得到很多收获的,下面我们就以北师大版九年级教材上册P37习题1.9第3题为例进行说明,或许对你的学习有所帮助.题目已知:如图1,点P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D,求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.     

一类图形的基本结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,∠AOB+∠DCE=180°,∠AOC=∠BOC,则DC=CE.证明过C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N.因为∠AOC=∠BOC,所以CM=CN.因为∠AOB+∠DCE=180°,由四边形内角和知∠ODC+∠CEO=180°,所以∠MDC=∠CEN,所以△MCD≌△NCE,DC=CE.也可以在OA上取点P,使CP=CO,通过△PCD≌△OCE即可.其实问题可以看作在上述条件下∠DCE绕顶点C旋转,其结论依然成立;     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

向量的两个简单性质及应用

性质　设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明　 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( …     

由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点). 具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略. 结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形. 具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形).     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

角平分线性质的引申与应用

角平分线上的点到角两边的距离相等.这是角平分线的重要性质. 如图1,若∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,则PD=PE.     

一个物理公式的数学拓广与应用

物理学上有个公式1/R=1/R1+1/R2,它表明并联电路的总电阻的倒数等于各并联电阻倒数的和.我们用数学方法证明这个结论:证明如图1,设∠AOC=∠COB=60°,OA=R1,OC=R,OB=R2,因为S△AOB=S△AOC+S△COB,     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

新教材的一点启示

新教材使用后 ,笔者觉得有许多值得一提的地方 ,尤其是新增添的内容 .本文试就第一册 (下 )向量第 5.3节例题 5谈一点浅见 .1　一道例题新教材第一册 (下 )课本 P1 0 7例 5:如图 1 ,OA、OB不共线 ,AP =t AB( t∈R) ,用 OA、OB表示 OP.解　 AP =t AB,OP =OA AP =OA t AB=OA t( OB - OA)=OA t OB - t OA=( 1 - t) OA t OB.此例在教学中学生不难接受 ,但在教学时不妨告诉学生以下定理 .图 1　　　　　　　　图 22　一个定理如图 2 ,向量 a,b,c有公共起点 ,且满足c=λa μb(λ,μ∈ R) .则这三个向量…     

由基本图出发进行练习

本文的基本图,取自初中几何教材第二册124页的例:如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点,求证:AB⊥AC. 证明:过点A作两圆的内公切线交BC于O.由关于切线长的定理得OB=OA=OC,所以AB⊥AC. 本文旨在介绍据此基本图可以组织学生进行一系列的练习的作法。练习1 上例的证明借助于圆周角定理的推论“如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形”,得出了AB⊥AC.能否通过其它途经推出这个结论