2008年全国高中数学联赛加试题及参考答案

一、（本题满分50分） 如图1，给定凸四边形ABCD，∠B＋∠D〈180°，P是平面上的动点，令f（P）=PA·BC＋PD·CA＋PC·AB． （Ⅰ）求证：当f（P）达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；     

四边形中的一个不等式

定理设E、F、C、H分别是四边形ABCD的边BC、CH、DA、AB上的内点，且AH、BE、CF、HG、＿、。子兰一AI．兰拉一人．子头一入，美子一人，四边HB‘”‘’EC‘”‘’FD””‘’GA’”’”—”～形＊＊CD、＊＊＊11、＊＊11E、＊＊＊F、凸＊＊G的面积分别记为西、AI、凸2、凸3、A’．则当且仅当四边形＊＊＊D为平行四边形，且人一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．根据平均值不等式，并注意到死十JZ十S。十S．一2凸，得当且仅当四边形＊＊CD为平行四边形，且入一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．故定理得证．四边形中的一个…     

2006年全国初中数学联赛试题详解

一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1，已知四边形ABCD为任意凸四边形， E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的 中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积 和周长;51、八分别表示四边形EFGH的面 ，。，_~，，、。二，S，，P 0..一一~一 积和周长.设K一斧，K，一奇，则下面关于 .     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

巧用“中心对称”证题

例1 (2004 年山西省中考题)如图 1,已知过(?)ABCD的对 角线交点O作互相垂直 的两条直线EG、FH。与 (?)ABCD各边分别相交于点E、F、G、H． 求证:四边形EFGH是菱形． 证明 ∵ 对角线的交点O是(?)ABCD 的对称中心,     

一个平面几何定理的极坐标证法

定理一个凸四边形如果对进之和相等，那么有内切圆．证明如图以四边形ABCD的顶点C为极点，对角钱AC为极轴建立极坐标系．由于AB－BC＝DA－CD，则B、D为以A、C为焦点的双曲线同一支上两点．设B（ρ_1，θ_1）、D（ρ_2，θ_2），双曲线方程为注意到B点的双曲线的切线即为∠B的角平分线．而切线方程为因为仅需验证直线（*）在双曲线这一支的同一侧且过B点．实际上若得以验证．设tB、ZD的角平分钱交点为M（，6）则由即M在上C的角平分线上，所以四边形ABCD有内切圆．此证法把题设条件中的凸四边形推广到任意四边形，从而是本质的…     

涉及正方形的几个性质

1．问题的提出文[1]给出如下命题：如图1，已知四边形EFGH是正方形，E、F、G、H分别在四边形ABCD的四条边上，且AH=BE=CF=DG，则四边形ABCD是正方形．受这个问题的启发，笔者发现并证明了一组有趣的结论．     

应注意加强“补形”意识的训练

在中考和数学竞赛申常常会遇到一些不规则的几何图形，叫人束手无策．其实这是命题人在图形上设置陷井．我们若能充分分挖掘题设中的隐含条件，对图形来一次“整容补形”常常会使原题露出庐山真面目来．例1如图1，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°．求四边形ABCD的面积．（1996年广州市中考题）分析若连AC，则将∠A=60°“肢解”了．但延长AD、BC交于E，则原图补形成为一个完整的含30°（∠E）锐角的直角三角形，由此易知DE=，BE—2J了．例2如图2，已知一个大边形的六个内足都是120”，真连续四边的长依次是…     

探讨凸四边形全等的条件

能够完全重合的两个图形叫做全等形.我们已经知道两个三角形全等的条件为:①三条边对应相等,简记为SSS;②两角和它们的夹边对应相等,简记为ASA;③两个角和其中一角的对边对应相等,简记为AAS;④两边和两边的夹角对应相等,简记为SAS.进一步,我们自然会想,有没有判定两个凸四边形全等的条件呢?已知凸四边形ABCD和凸四边形A′B′C′D′,如图1,问在什么条件下两个四边形全等.     

简解一道CMO试题

2001年中国数学奥林匹克(CMO)第一题给定a,2～(1/2)相似文献   

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

一般截割定理

(一)一个流行趣题的启示近几年来,流行这样一道几何题: 任意四边形ABCD一组对边AD和BC分别被点E、H和F、G三等分,问四边形EFGH的面积是ABCD面积的几分之几? ABCD是任意的四边形(图1,a),问的却是“面积比是几分之几”,如果命S_(BFGH)=n/m S_(ABCD),那么题暗示我们,n/m是不会随着四边形形状而改变的,它是与ABCD形状无关的常数。限定探索。对(?)ABCD(图1,n),n/m=?显然,n/m=     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

面积等式的一种证法

本文约定，按照反时针顺序排列n（n>3，nN）边形的顶点：A1（x1，y1），A2（x2，y2），……，An-1（xn-1，yn-1），An（xn，yn）．n边形的面积S－＝MIj。Zt、I．、。。…、；．、；、，J“＼y！yZ””’yn－ly。yil一7卜IyZ＋xZy3＋”””十x。－I人十xJ！一（yllZ－I－y。2。＋…－I－y。；2。－I－ygn；）］［‘］（l）本文应用公式（豆）证明一些数学竞睿试题中的面积等式（面积不等式另文介绍）．例1在凸四边形ABCD中，E、F分别是BC、DA的中点．已知凸W面积为2．8，thAED面积为2．4，求四边形ABCD的面积（1990年安庆市…     

Whc175的解决

文 ( 1 )中提出了 Whc 1 75:若 A′、B′、C′、D′是四边形 ABCD的内接四边形 PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,问 AA′、BB′、CC′、DD′共点的充要条件是什么 ?文 ( 2 )给出了该问题在三角形中的一个结论 .本文将给出 Whc 1 75的两个结论 ,从而完全解决了 Whc 1 75.图 1定理 1　如图 1 ,A′、B′、C′、D′是凸四边形 ABCD的内接四边形PQRS的边 SP、PQ、QR、RS的中点 ,且APPB=λ1,BQQC=λ2 ,CRRD=λ3 ,DSSA=λ4 ,则 AA′、BB′、CC′、DD′共点的必要条件是λ1λ2 λ3 λ4 =1 .证明　如图 1 ,建立直角坐…     

一个四边形面积定理及其应用

一个四边形面积定理及其应用刘名禄（浙江省安吉县报福中学３１３３０４）本文介绍一个四边形面积定理及其应用．１定理定理任意凸四边形的面积等于一组对边中点分别与对边两端点连线和对边组成的两个三角形的面积之和（如图１，即ＳＡＢＣＤ—Ｓ。ＡＢＦ＋Ｓ。。。。，Ｅ...     

四边封闭折线统一的面积公式

我们知道，四边封闭折线分为三种：已四边形，凹四边形和纽四边形（它有一个自支点）．以下约定：①四边封闭折线的行走步问搜顶点的序是A--B--C--D--A．②遍历折线的，沿逆的针方刚亏走的，称为正行走方向，民之称为员行走方向．③0、凹四边形的面积是指所围平面日分的大小，当行走步向为正的面积为正值，后立面积为员值．而红四边形的面积是指由四个顶点和自天来这五个点组成的两个三角形面积的代数和．上述约定图示如下（圈1）：图l定理1设四边到闭折线ABCD的对角线AC，BH所成的角为6，IACI-11，IBDD一l。，记面积为S，则ISI一…     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明: