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本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1 抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明 不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=p1 -cosθ,则显然有 ρ≥ p2 ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2 抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明 设抛物线极坐标方程为 ρ =p1 -cosθ,焦点弦为AB ,且设A(ρ1 ,θ) ,B(ρ2 ,θ +π) ,则有|AB|=ρ1 +ρ2 =p1 -cosθ+ p1 -cos… 相似文献
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引子 用长为 1 6米的篱笆借助一墙角围成一矩形ABCD ,利用均值不等式可知当AD =DC时 ,面积有最大值 8× 8=64.如果将距离两墙分别是 9,4米处的一棵树圈进去 ,则AD ,DC就不可能相等了 ,因此无法用均值不等式进行求解 ,那么如何求最值呢 ?分析 1 均值不等式a+b2 ≥ab(a ,b∈R+)从一个侧面揭示两个正数的和a +b与积ab的关系 ,当a=b时 ,ab =(a+b) 24 ,当a≠b时 ,仅知ab <(a+b) 24 ,小多少不知 ,这种静态的分析 ,揭示的是两数定性的关系 ,对两数的大小关系的理解是肤浅的 ,他们之间的定性的关系是怎样的 ?造成不等的因素又是什么呢 ?,能… 相似文献
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我们知道对于函数 f(x1,x2 ) =x1x2x21 x22,因为有x21 x22 ≥ 2x1x2 .所以 f(x1,x2 )的最大值为 12 .那么对一般化问题 f (x1,x2 ,… ,xn) =x1x2 … xn - 1xnx21 x22 … x2 n(x1,x2 ,… ,xn 不同时为零 )的最大值又该如何考虑 ? 当n =3时 ,f(x1,x2 ,x3) =x1x2 x2 x3x21 x22 x23.引入正参数c1,c2 ,因为c21x21 x22 ≥ 2c1x1x2 ,c22 x22 x23≥ 2c2 x2 x3.所以 c12 x21 12c1x22 ≥x1x2 ,c22 x22 12c2x23≥x2 x3.两同向不等式相加得 c12 x21 ( 12c1 c22 … 相似文献
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文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献
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题 1 已知a >0 ,b >0 ,0 <x <π2 ,求函数f(x) =asinx bcosx的最小值 .图 1 题 1图解 如图 1,APB为一以 |AB|=1为直径的半圆 ,设A点有带电为a的点电荷 ,B点有带电为b的点电荷 .对于弧上一点P ,令∠PAB =x ,则AP =sinx ,PB =cosx ,根据点电荷U =k Qr 及电势叠加原理 .则P点电势UP=kasinx kbcosx=k(asinx bcosx) (k为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在APB上找一点P0 ,使UP0 为最小值 .设想有一单位正电荷e从B点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当… 相似文献
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与圆锥曲线最值相关的问题考查形式多种多样,常见的有求参数的最值、求线段的最值以及求面积的最值.解答这些问题应根据已知条件与曲线特征选择不同的方法,其中定义法、函数法与不等式法都是常见的解题方法.本文中结合实例,具体分析解答圆锥曲线最值问题常见的解题思路. 相似文献
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在高中数学圆锥曲线的学习中,经常遇到这样一类问题:在圆锥曲线上寻找一点,求它到某一定点及到焦点的距离之和(或差)的最值问题,多数学生在学习时,尤其解这类问题感到困难,无从下手,现举例说明利用圆锥曲线的定义如何解决这类问题,以飨读者. 相似文献
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例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本 相似文献
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解析几何中的最值问题,以直线和圆锥曲线为背景,以函数、不等式和导数等知识作工具,有较强的综合性.同时,这类问题没有固定的模式。解法灵活,对能力要求较高。是高中数学竞赛中的难点内容. 相似文献
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张奠宙、戴再平两位先生所编的《初中数学应用问题》中有这样一道例题:一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一卫生站A,距离公路30千米的地方有一居民点B,A,B的直线距离是90千米.有一天,某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B,汽车在公路上 相似文献
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一、一个错误的题解不少学生问到《1 998年研究生入学考试数学复习指南》 (陈文灯编著 ) (下称“指南”)第 2 5 8-2 5 9页的题及解答 :“例 1 0 .3 7 在平面 xa yb zc=1与三坐标面所围成的四面体内作一个以该平面为顶面 ,在xoy坐标面上的投影为长方形的六面体中体积之最大者 (其中 a,b,c>0 )解 如右图 ,则六面体体积为V= Dzdxdy = Dc(1 -xa -yb) dxdy=c∫x0 dx∫y0 (1 -xa -yb) dy 令V′x =c(y -y22 b-xya) =0V′y =c(x -xyb -x22 a) =0解之 ,得驻点 P(2 a3 ,2 b3 ) . ∵ A =V″x2 | P=-2 bc3 a,B =V″xy| P =-c3 , … 相似文献
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用非常规办法去求最值的问题统称为组合最值问题 .这类问题的解答有两个难点 :一是最值的探求 ,二是最值的证明 .本文将通过一组实例说明解决这类问题的思想方法 .1 优化选择例 1 从 1,2 ,3,… ,1995这 1995个数中最多能选出多少个数 ,使得选出的数中没有一个数是另一个数的 19倍 ?分析 依据题设要求可知 ,若k ,19k是 1,2 ,… ,1995中的两个数 ,则这对数最多只能选择一个 ,为了使得选出的数具有规律性 ,不妨在每一对 (k ,19k)中选出最大的数 ,从而选出的数又能组成 1,2 ,3,… ,1995后面的一个片断 .∵ 199519=10 5 ,从而 ,10 6 ,10 7… 相似文献
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先看一例子[例1] (1)过椭圆C1:(x2/4) (y2/3)=1上一点B(0,3~(1/2))作弦BM,求|BM|最大值及此时M坐标: (2)过椭圆C2:(x2/3) y2=1上一点B(0,1)作弦BN,求|BN|最大值及此N点坐标. 解:(1)设C1上一点M(x,y),由两点之间距离公式: 相似文献