问题1376的线性代数解法

《数学通报》2002年6月号1376题为: 若实数a、b、x、y满足ax+by=3,ax~2+by~2=7,ax~3+by~3=16,ax~4+by~4=42,求ax~5+by~5之值. 以下给出一个线性代数的解法 解设ax~5+by~5=k,将此式与上面四个等     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

用行列式求通过定点的曲线与曲面方程

线性方程组的理论中有一个基本结论 :含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。利用这个结论 ,我们可以建立用行列式表示的直线、平面和圆的方程 ,也可以求出一般多项式的表达式。如果平面上有两个不同的已知点 ( x1,y1) ,( x2 ,y2 ) ,通过这两点存在惟一的直线。设直线方程为 :ax+by+c=0 ,且 a,b,c不全为零。由于 ( x1,y2 ) ,( x2 ,x2 )在同一直线上 ,所以它们满足上述直线方程 ,即 :ax1+by1+c=0 ,ax2 +by2 +c=0。因此有ax +by +c=0ax1+by1+c=0ax2 +by2 +c=0　　这是一个以 a,b,c为未知量的齐…     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

含两参数的平均值代换法的应用

含一参数的平均值代换法是 ,若数学题中含有x + y =2a的条件 ,则令x =a +t,y =a -t(t为参数 ) .除此以外 ,还有含两参数的平均值代换法 ,即若数学题中含有x + y +z =3a的条件 ,则令x =a +t1,y =a +t2 ,z =a - (t1+t2 ) (t1,t2 为参数 ) .此法也可以推广到更多个参数的情形 .下面只举例说明含两参数的平均值代换法的应用 .1　求值例 1　已知 xa + yb + zc =1,ax + by + cz =0 ,求 x2a2 + y2b2 + z2c2 的值 .解　因 ax + by + cz =0 ,故可令 ax =t1,by =t2 ,cz =- (t1+t2 ) ,则有1t1+ 1t2- 1t1+t2=1.将上式两边平方 ,得1t21+ 1t22+ 1(t1+t2 ) …     

再谈“一元二次方程求根公式的推导”

贵刊 2 0 0 3年 5月下载文“一元二次方程求根公式的推导”读后受益匪浅 .该文介绍了国外数学家的三种推导方法 ,笔者经过深入研究 ,得出另一种全新的推导方法 .对于方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当c =0时 ,方程的解是明显的 ,此时方程至少有一个零根 ;当c≠ 0时 ,方程无零根 ,即x≠ 0 .在方程两边同除以x得ax +b + cx =0 ,即ax + cx=-b ,设ax =-b2 +t,cx=-b2 -t,二式相乘得ac =b24-t2 ,t2 =b2 -4ac4.当b2 -4ac≥ 0时 ,t=± b2 -4ac2 ,将此代回所设 ,得ax =-b2 ± b2 -4ac2 =-b±b2 -4ac2 ,所以　x =-b±b2 -4ac2a .再谈“一元二次方程求根…     

用特征根求二次曲面圆截面方程

求二次曲面圆截面方程一般较麻烦 ,但对于形如f ( x,y,z) =ax2 + by2 + cz2 + 2 fyz+ 2 gzx+ 2 hxy=1 ( 1 )用特征根法可以很方便的求得 ,因运用旋转变换将 ( 1 )可化为 [1]λ1x′2 + λ2 y′2 + λ3z′2 =1 , ( 2 )其中 λ1,λ2 ,λ3为特征方程a-λ h gh b-λ fg f c-λ=0 ( 3)的特征根 ,且 ( 3)即- λ3+ I1λ2 - I2 λ+ I3=0 [1] . ( 3′)这里 I1=a+ b+ c.I2 =a hh b + a gg c + b ff c ,I3=a h gh b fg f c.显然 ,( 1 )的中心在 ( 0 ,0 ,0 ) ,可看作截面圆的中心 ,即 ( 1 )与球面 x2 + y2 + z2 =r2交线的中心 ,由 ( 1 )可写成ax2 + by…     

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

综合题新编选登

题 8 2 　已知函数 f(x) =- x3 +ax2 +b(a,b∈R) .1)若函数 y=f(x)图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求证 :- 3相似文献   

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

三次函数性质的研究和应用

随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.一、y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象和性质1.三次函数的单调性分析:因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:Ⅰ.当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实根x1,x2(访设x10,所以y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在(-∞,x1)或(…     

课外练习

初一年级1.对于整数a、b、c、d,定义等号|ab/dc|=ac-bd,若1<|1b/d4|<3,试求b+d 的值. (山东梁山县梁山镇二中(272600) 王可民) 2.对有理数x、y,定义运算“(?)”;x(?)y =ax+by+c(a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算),已知3(?)5=15,4(?)7 =28.求1(?)1值.     

四次函数图像的对称性

定义:若一个函数的图像关于直线x=a对称,称该函数为轴对称函数. 　　本文先讨论四次函数y=x4+ax3+bx2+cx+d的对称性,再进一步讨论一般四次函数y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a0≠0)的对称性.……     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

品味算法的"交汇性"(续)

(接20101-12(上)P33) 例12 (2010年苏州市调考题)程序框图如图13所示,已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),若该程序输出的结果为s,则 A.当s=1时,E是椭圆 B.当s=-1时,E是双曲线 C.当s=0时,E是抛物线 D.当s=0时,E是一个点解析 若a=0,b=1,则s=0.此时ax2+by2=ab变为y2=0,即y=0,表示直线,排除C、D两项;若a=-1,b=-1,则s=1.此时ax2+by2=ab变为x2+y2=-1,不表示任何曲线,排除A项.故选B.图14点评本题是程序框图与解析几何的交汇综合题,利用特值验证并结合筛选法容易得出正确结果,这正是命题者的初衷和"得意"之处.     

变用点到直线的距离公式

<正>在解析几何中,点(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离d=|ax0+by0+c|/1/2a2+b2.在代数中,灵活变用这一公式,对于求解一类条件不等式和变量的取值范围,常能收到形象直观、驭繁为简的效果.下面给出三类变用,并分别举例说明.     

用二次函数的性质证明不等式

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质可从二次函数的图像中由二次项系数a、判别式△、函数y三者之间的内在联系而得到: (1)若a>0且△=b2-4ac≤0.则y=ax2+bx+c≥0; (2)若a<0且△=b2-4ac≤0,则y=ax2+bx+c≤0. 应用上述性质(1)、(2)去证明一元二次不