对正弦定理和余弦定理的研讨北大核心

正弦定理和余弦定理是解三角形的理论根据．解三角形有着广泛的实际实用,对培养学生分析问题和解决问题的能力很有裨益,因而每年高考总有这方面的试题．然而笔者在教学实践中感到,执教者往往对这两个定理的认识和理解比较肤浅,有必要对之进行研讨,以提升执教者的教学业务水准．     

值得重视的一个定理

在△ABC中,三条边口、b、C所对的角分别是A、B、C,我们有：a=bcosC＋ccosB。b=cosA＋acosC,C=acosB＋bcosA．这就是解三角形中的射影定理,它与正弦定理、余弦定理并称为三角形中的三大定理．这三条定理之间是等价的（即可互相推出）,而射影定理在解决问题中也有其独到的优势．     

融情于景 推理探究——“正弦定理”的教学设计与反思

正弦定理是解三角形的一个重要定理,是用向量法研究三角形边角关系过程中自然而然得到的结论.在参加市青年教师教学竞赛时,笔者以培养学生逻辑推理等数学核心素养为目标设计了“正弦定理”这节课,以探究台球桌上的数学奥秘引入并贯穿整个课堂,融情入景,激发学生兴趣.通过多个探究活动的设计,让学生利用数量积自主探究定理的证明和相关结论,在推理探究的过程中完成逻辑推理等数学核心素养的渗透.     

“正弦定理(第1课时)”教学设计与反思

<正>一、教学背景(一)教学内容分析本节内容安排在苏教版数学必修5第一章,"正弦定理"第1课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,是对三角知识的应用;同时,它作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛.实际教学中,"正弦定理"这部分内容共分为三个层次.第一层次,教师引导学生对实际问题进行探索,并大胆提出猜想.第二层次由猜想人手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"向量法"等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式.第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行     

三角形三边关系定理的应用

关于三角形三边关系,有下述定理三角形任意两边之和大于第三边.其推论为三角形任意两边之差小于第三边.这个定理及其推论在解题中有着较为重要的应用,下面举例说明,希望对大家学好这部分知识能有所帮助.     

共边三角形的一个性质

两个三角形如果有一条公共边,我们就说这两个三角形是共边三角形.共边三角形有一个大家熟知的定理,简称共边定理.本文介绍共边三角形的一个性质,它将与共边定理进行一定的有益配合.     

解斜三角形

本单元的重点是：正弦定理、余弦定理、解斜三角形、判定三角形的形状、解斜三角形的应用等。正弦定理和余弦定理沟通了三角形的三条边与三个角之间的关系，它们是解三角形的基础，在解决很多实际问题中有着广泛的应用。     

解三角形中的高、中线、角平分线问题

在学习了《解三角形》这一章后,我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形的边、角等问题．先让我们来回顾这部分主要内容：     

解斜三角形

1．本单元知识的重点、难点分析 本单元的重点是正弦定理和余弦定理,这两个定理将三角形的边、角关系以公式的形式给出来了,应注意公式的推导、理解、变形形式与灵活应用,能够运用解斜三角形知识求解实际应用问题．本单元的难点是灵活运用正弦定理、余弦定理解斜三角形．学习本单元知识时,必须掌握好解斜三角形的基本思想方法,注意数形结合,灵活运用正弦定理和余弦定理,实现三角形的边、角关系的相互转化,从而实现问题的解决．     

五种新教材推导“正弦定理”的对比研究

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将“正弦定理”内容安排在平面向量的应用与解三角形的知识构架中学习,人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、沪教版等五种版本新教材在正弦定理的编写意图、学习难度、核心素养培育等方面各有侧重,比较研究各种教材的特点,全面吃透教学内容,可以开阔教学视野,为设计以发展学科核心素养为目标的正弦定理教学提供多元思路.     

通过一题看解三角形的常用策略

正弦定理、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一,常与三角函数联系在一起,以正弦定理、余弦定理为工具,通过三角恒等变换来解三角形或实际问题,以低中档题为主,下面通过一题来分析解三角形的常用策略.     

“新教材解读”之（12）——解三角形

高中数学新课程必修模块《数学5》中的第一章“解三角形”包括正弦定理、余弦定理及解三角形应用举例,共有8课时的内容．     

解斜三角形

本单元的重点是：正弦定理、余弦定理，求周长、面积，判断三角形的形状，与解斜三角形有关的实际应用问题．综合运用正弦定理、余弦定理和内角和定理等基础知识解决几何问题和实际问题，有助于培养和提高学生分析问题和解决问题的能力．     

三垂线定理（逆）与三角形的垂心

三垂线定理反映了空间三条直线的垂直关系,而三角形的垂心是三角形的三条高线的交点,二者的统一点是直线垂直.因此可通过三垂线定理（逆）证明三角的垂心,也可借助三角形的垂心去用三垂线定理（逆）.在证题中若注意到这点,对提高证明能力大有好处,现举例说明.     

解三角形的三种转化思路方法

解答一些解三角形的题目,常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识,将已知条件中的边的关系式转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式,下面联系具体例题讲常用的三种转化思路方法．     

通过一题看解三角形的常用策略

正弦定理、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一,常与三角函数联系在一起,以正弦定理、余弦定理为工具,通过三角恒等变换来解三角形或实际问题,以低中档题为主,下面通过一题来分析解三角形的常用策略．     

关于解斜三角形的补充说明

用正弦定理解斜三角形 ,即已知两边和其中一边的对角 ,可有两解 ,一解或无解 ,这是本节的难点 .在实际解题中 ,如何判断解的情况呢 ?现将笔者归纳的一种可行的方法介绍如下 .类型 1　根据三角形边角关系及三角形内角和定理 ,可直接判断无解或只有一解的 .1)若已知条件与三角形边角关系及三角形内角和定理有矛盾 ,可直接判断无解 .例 1　已知三角形的边ａ =18,ｂ =2 0 ,角Ａ =15 0° ,解此三角形 .解　∵Ａ为钝角 ,∴ａ应是最大边 ,但这里ｂ>ａ ,矛盾 ,故无解 .2 )若可判断另一边所对的角等于已知锐角 ,或小于已知角 ,则此角为锐角 ,且只有一…     

一类中值定理双介值问题命题的注记

在中值定理类双介值问题的命题中,很多命题者没有注意到结论的平凡性.文章借助于微分Darboux定理,证明了对应的非平凡问题解的存在性.     

正弦定理、余弦定理、射影定理的关系分析

三角形的正弦定理、余弦定理、射影定理之间有着内在的关系.在正弦定理不涉及外接圆半径的结论的情形下,三个定理是等价的.余弦定理与射影定理与包含外接圆半径的正弦定理等价.     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…