一道全国联赛试题的别解

2005年全国初中数学联赛试卷(A卷)第三题(解答题)的第2题是:锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q.证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点.联赛组委会所提供的“参考答案”中,给出了一种漂亮的证法.这里笔者再给出该试     

数学问题解答

2006年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)1621已知:在△ABC中,点E1、E2在AC边上,且AE1=CE2,从顶点A分别引∠E1BC及∠E2BC平分线的垂线,垂足分别为M1、M2,垂线AM1交BE1于P1,交BC于Q1,垂线AM2交BE2于P2,交BC于Q2.求证:PQ11EC1 PQ22EC2=1.证明过点E1作E1F1∥AQ1,交BC于F1,过点E     

一道名题的两种证法

<正>题目设MN是圆O的一条弦,过O作MN的垂线,A为垂足,过A作弦BC及DE,连BE、CD,分别交弦MN于F、G.求证:AF=AG.如图1,这道题的圆形酷似蝴蝶,所以这个题目称蝴蝶定理.这是一道世界名题,此题证明难度较大,本文给出两种证法,供同学们参考与欣赏.证法1全等三角形     

数学问题与解答

1711四边形ABCD是正方形，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、BF，设BF与AC相交于G，过G点作GH⊥BC于H，过H作BF的垂线并延长交AC于I． 求证：ADHI是等腰直角三角形．     

数学问题解答

2009年12月问题解答 (解答由问题提供人给出) 1826 锐角△ABC外接圆为Γ,AB＞AC,D是劣弧(BC)的中点,E、F分别是AB、AC的中点,过E点作AB的垂线交BD的延长线于G,过F点作AC的垂线交DC的延长线于H,CJ⊥GH,垂足为J,反向延长CJ,交AB于K.     

一个平几命题的推广

命题1 设p为△ABC内点,过P作直线DE∥BC,交AB于D、AC于E;作FG∥CA ,交BC于F,AB于G 、HK∥AB,交CA于H,BC于K,则有此命题及其关联的图形被改编成数十道题目出现于国内外赛题,若P为平面任一点呢?把线段比改为有向线段比,仍然成立。命题2 设P为△ABC所在平面内任一点,过P作直线DE∥BC,交直线AB于D,CA于E;作FC∥CA,交直线BC于F,AB于G;作     

对课外练习中的一道题的探讨

《中学生数学》2010年9月下的课外练习中初二年级的第三题:如图1,从△ABC的顶点B,C分别向∠BAC的平分线作垂线BE,CF,垂足分别为E,F,G为BC中点,求证:△GEF为等     

该题还可以进一步简证

题目如图1,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,BE与CF交于点P,过点P作BC的平行线分别交DF、AD、DE于点G、H、K.求证:GP=HK.该题,文[1]给出了一个简证,笔者通过一番琢磨,给出一个更为简洁的证明.证明如图2,设过点P与BC平行的直     

一道联赛试题的简证与联想

2011年全国初中数学联赛第二试(C卷)第二题是:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N,如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.     

两个征解问题的面积解法

<正>问题1^[1]P是△ABC内的一点,射线BP、CP分别交AC、AB于点E、D,AP交DE于点G,过D、G、E分别作BC的垂线且垂足分别为K、M、N.证明:1/DK+1/EN=2/GM.证明如图1,作AT⊥BC于点T,连结DN,设DN与EK交于点Q,连结GQ,则由面积关系及平行线性质可得     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

执果索因 抓住不变 有序作图

<正>1原题呈现(2023年南京市联合体数学第二次模拟试卷第24题改编)如图1,已知点P为∠ABC内一点,用两种不同的方法过点P作一条直线,分别交AB,BC于点E,F,使得BE=BF．(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

一道中考题的演变与拓展

<正>(2011年乐山)如图1,直线y=6-x交x轴、4y轴于A、B两点,P为反比例函数y=x的图像上位于直线下方的一点,过点P作x轴垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F,则AF·BE=.     

数学问题解答

2007年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)(浙江省义乌市群星中学闵飞322000)证明(1)设直线AI1交BD于P,交BC于G,直线AI2交CD于Q.由AI1平分∠BAD知AADB=DBPP,由AI2平分∠CAD知AADC=DCQQ,又AB=AC,所以DBDP=DCQQ.所以PQ∥BC,所以∠BGP=∠GPQ过I1,I2作PQ的垂线,垂足为X、Y.记⊙I     

一道中考数学模拟试题的多种证法

<正>(2016年北京市通州区初三模拟考试数学试卷第28题)在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG.(1)依据题意补全图形;(2)用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

一道中考最值问题的两种解法

<正>题目(2014年合肥庐阳)如图1,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别为点E、F、G.求BE+CF+DG的最大值和最小值.解法一借助G点运动轨迹     

面积法证题举例

<正>用面积证题的方法叫面积法.用面积法证题思路新疑、证法灵活,是证题中的巧中之巧,掌握了这个技巧,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1 P为△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证:PD/AD+PE/BE+PF/CF=1.证明作AH、PG垂直BC于H、G点,则由面积公式,得S△PBC=1/2BC·PG,S△ABC=1/2BC·AH     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;