妙解一则

已知:3sinx+2cosy=4,求:2sinx+cosy 的取值范围．解设2sinx+cosy=a,与3sinx+2cosy =4联立解得     

运用正余弦函数的有界性解题

正弦和余弦函数的有界性是指|sinx|≤1(A)和|cosa|≤1(B)在中数教学中有时利用正、余弦函数的这个性质来研究问题可化繁为简,化难为易,它不仅在三角中,而且在其他中学数学课程中都有广泛的应用。本文将利用正、余弦函数的有界性解决如下几个方面的问题。一、利用正、余弦函数的有界性求值例1 已知|sinx|-3cosy=4,求x、y。此题已知条件是含有两个变量x、y的等式,利用三角恒等变形来求解是比较困难的;如果考虑性质(A)、(B),可大大减少计算量,从而可迅速准确的获解。解由原等式得3cosy=|sinx|-4≤1-4=-3∴cos≤-1又cosy≥-1,故cosy=-1,于是|sinx|=1 故     

这种解法对吗?

在一堂“三角函数最值问题”的习题课上 ,下面这道例题的解法引起了学生的争议 .例题　求函数 y=3sinx -1sinx + 2 的值域 .学生S1 :给出如下解法 :由已知式得　sinx=2 y + 13 -y,由 |sinx |≤ 1 2 y + 13 -y ≤ 1 2 y + 13 -y2 ≤ 1 3 y2 + 10 y-8≤ 0 ,解得-4≤y≤23 .这种利用三角函数有界性的解法得到了多数同学的赞同 .但学生S2 却发表了新的见解 ,“老师 ,我有更简便的解法 ,把sinx =1代入已知式得 ymax=23 ,把sinx =-1代入得 ymin=-4 .∴y∈ [-4 ,23 ] .”立即有几位同学对学生S2 的解法表示反对 .学生S3:你怎么知道sinx =1时 ,…     

用整体代换处理求值类问题

在解决某些数学问题时，可将待求式（或待证式）用一个未知数来表示，然后根据题设条件求出此未知数，从而使问题获得解决，这种方法称为整体代换法．应用此法可将一些问题化繁为简，化难为易．现举例说明如下：1求值故所求原式的值为0或2．2求取值范围例2已知sinx＋siny=1，求cosx cosy的取值范围．故cosx＋cosy的取值范围是例3已知X、y为实数，且x2 xy＋y2=1，求x2-xy y2的取值范围．解设x2-xy＋y2=k，则有的两个实数根．故x2-xy＋y2的取值范围是3证明等式k—1，故等式成立．倒5求证：4任用不苦大N6已知实数a、b满足a十b＝1，求解得故N7…     

求函数f(x)=(sin~mx/a)+(b/sin~mx)的最小值简法

很多数学参考书上都有这样一道题:设函数∫(x)=sinx/2+2/sinx(0相似文献   

最小值问题的三种解法

<正>在学校数学组的一次教研活动中,有位老师提出一个值得探讨的问题:能用几种方法"求函数y=sinx+(4/(sinx))(x∈(0,π/2])的最小值"?对此,笔者经过思考,给出一个与数字2008有关的同类题,并给出三种不同的解法,供读者参考.     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

增解还是失解

题目:试求。为哪些自然数时,方程2 cosx=(2 sinx)。有解? 解一:山一r《eosx(z得一《2 eosx《3(z) 同理可得3》2 sinx》一(2)从(”及(2,推出音(粼了器《3即去、。、3故”=x,2,3.解二:同解一知卫《2十cosx‘3,于是一《(2 sinx),《3.即l一《2 5 in二《多一,从而1-一Zn《51。二《冬     

妙求值域一例

题目求函数y=2sinx 1/3sinx-2的值域．本题如果根据|sinx|≤1以sinx≠2/3去推导求y的范围比较繁琐,但通过变形,再根据sinx的限制条件去求y,尤为便捷．     

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.     

用斜率公式求函数值域的体会

<正>近日看到一篇谈变式学习的文章,读后通过对文中介绍的两个例题常见解法的进一步比较和思考,突然对"用直线斜率公式求函数值域"这一方法有了深刻理解,进而产生了举一反三的学习效果,欣喜之余将自己的学习过程和体会总结出来与同学们分享.先看一下文中介绍的两个例题和常见解法.例1求函数y=1+sinx/2+sinx的值域.     

立足基本方法 妙求极值一例

题目 求函数y=(sinx)~1/2 (cosx)~1/2(0≤x≤π/2)的最大值。 书[1]给出如下解法: 解 引入辅助参数λ>0,有     

抽象函数错题分析二例

问题1定义在R上的函数f（x）是偶函数,且f（x＋π/2）=-f（x）,当x∈[0,π/2]时,f（x）=sinx,求f（5π/3）的值． 《中学生数学》2007年1月（上）《一道错题的发现》指出问题1是一道错题．     

二元均值不等式求三角函数最值

<正>来看这样一个问题:设0相似文献   

运用方程思想解三角中的一类求取值范围问题

本文旨在运用方程思想解决三角中的一类求取值范围的问题，从中可见数学思想在解题中的运用．1构造方程组，利用函数的有界性解题要点：通过构造关于shu、c。s。，等的方程组，并根据卜un4＜l，DcosyS＜1，使问题获解．例1已知sin。＋Zcosy—2，求ZSlll十COSy的取值范围．解设Zslnx上cosy—a，与sin：r＋Zcosy—2联立解得故Zsi。＋cosy的取值范围是［，：］．N2已知sl。cosy—a（一1＜a＜1），求COSSSiny的取值范围．解设cosxslny＝b，即由①，②解得于是，当a＞0时，a—l＜b车一a＋l；当a＜0时，一a—l＜b＜a＋l．综上，可知cosxsin…     

正数两边竟不能平方

若sinx cosx-1>0,求x的范围。解∵sinx cosx>1>0,两边平方得 sin~2x cos~2x 2sinxcosx>1, 即sin2x>0, 2kπ<2x<2kπ π(k∈Z) 故kπ相似文献   

殊路同归 结论却疑

题;求函数少=(sinx 二l5 InX)(eosx COSX)(“<“<管)的极值.解法ly=5 in’x -eosZx 15 InXCOSX5 InXCOSx 2 sin’Zx 85 InXCOSXZslnZX上5 5 nZx 45 102X)2了丁 y的极小值是2了丁.解法2:由解法1有 5 in二x 8 y=一丽丽歹’ 5 in’Zx一ZJ,sinZx s=0. 5 inZx〔R, △=4y’一32>o, y     

一个极值问题的新解

编者按：本刊1998年第11期刊出单薄先生《一个极值问题》一文后,编辑部先后收到不少读者的来稿,对如何求函数1,b＞O）的最小值提供新解法,现综合摘登如下：华罗庚先生曾提到函数的最小值问题,并介绍了八种解法．单博先生不久前给出了第九种解法．（见卜］）下面我们再补充三种解法．解法（－）我们讨论更一般的函数f（）一而7无一x（。＞0）（2）的最小值,其中a＞1,b＞O．（以上解法由陕西师大数学系惠州人和浙江绍兴马山中学戴志祥给出．）解法（二）由恒等式（ax－by）‘一（a’－b2）·（x’－y勺十（ay—bx）’立即可知：对于a…     

谨防数学解题中的逻辑性失误

本文分析《中学生数学》2006年第1期中一篇文章的解题失误,重点放在逻辑关系上．文[2]呈现了来自学生的问题与两个解法,两种解法都必要而不充分．