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圆锥曲线的焦点弦问题是解几教学的一个重点与难点,也是各类考试的热点.解答此问题,不仅演算繁长,而且稍不留心,就出差错.为此,本文利用极坐标推导出圆锥曲线在直角坐标系中的焦点弦长度的一种表达形式─—三角形式.现说明如下:定理AB是经过椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)或双曲线b~2x~2-a~2y~2=a~2b~2或抛物线y~2=2px工焦点F的弦,椭圆和双曲线的半焦距为c,若AB的倾斜角为a,则证明(1)以椭圆左焦点F为极点,Fx为极轴建立标系,则椭圆方。为P=关于双曲线与抛物线的证明与椭圆相仿,从略.运用这个公式解决圆锥曲线… 相似文献
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给定一椭圆和它的一条定长的动弦,探求以动弦为一边,另一个顶点为椭圆中心的三角形面积的最大值是一个有意义的问题,本文给出这类问题的一种浅显的解法.首先给出下面的引理.引理AB是椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的一条弦,c为半焦距,d为椭圆中心到弦AB所在直线的距离,若弦AB的倾斜角为θ,记,f(θ)=a~2-c~2cos~2θ,则 相似文献
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在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ) 相似文献
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直线y=kx+m与抛物线y~2=2px、椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1、双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相切的充要条件分别为 k=p/2m,k~2a~2+b~2=m~2,k~2a~2-b~2=m~2。这几个命题在十年制统编教材中是作为习题出现的(见第二册155页和171页)。根据一元二次方程根的判别式很容易对它们作出证明,这里不再赘述。将它们作为定理直接应用,常能使一些复杂问题的解答过程得到简化,举例于下: 例1。抛物线y~2=4(2~(1/2))x与椭圆x~2/4+y~2/2 相似文献
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定义1我们把椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的四个顶点(±a,0)、(0,±b)叫做椭圆的顶点四边形.如图1.定义2与椭圆的顶点四边形各边都相切的圆叫做椭圆顶点四边形的内切圆.如图1. 相似文献
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(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两 相似文献
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3关于椭圆有关问题的综合处理问题设M(x_0,y_0)为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2上一定点,MA与MB为椭圆任意两弦,其倾斜角分别为α_1,α_2,试证(1)当tanα_1·tanα_2=t(常数),则直线AB过定点或有定向; (2)当tanα_1+tanα_2=t(常数),则直线AB过定 相似文献
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解析几何中某些较复杂的两曲线相交问题,若能利用方程组的等价转化,可以使问题简单化,易于得解.下面举数例来说明这一思想方法。例1 试判断直线l:Ax By C=0与椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1的位置关系. 解直线l与椭圆C相交、相切和相离,分 相似文献
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我们熟知的二次曲线和定斜率k的切线方程有如下对应关系: 椭圆双曲线抛物线求二次曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹,可利用之,以抛物线为例,写出斜率为k,-1/k的两切线方程 y=kx p/2k (1) y=-x/k P/2(-1/k) (2)联立消参得x=-p/2(准线)。用同样的方法,对椭圆有方程x~2 y~2=a~2 b~2,对双曲线有方程x~2 y~2=a~2-b~2(a≥b)。换用另一种方法,即“转参”方法,仍可较简 相似文献
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<数学通报>2006年第9期数学问题(文[1])1631为:
过双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1(a>0,b>0)的右焦点F作B_1 B_2⊥x轴,交双曲线于两点B_1,B_2,B_2 F_1,交双曲线于B点,连结BB_1交x轴于H点.求证:过H垂直于x轴的直线l是双曲线的"左"准线. 相似文献
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<正>本文的圆锥曲线是就椭圆和双曲线而言.性质1椭圆(x~2)/(a~2)+(b~2)/(y~2)=1(a>b>0)是黄金椭圆的一个充要条件是:该椭圆的四个顶点所确定的菱形的内切圆过椭圆的焦点. 相似文献