高考分段层出不穷

所谓分段函数即对于自变量x的不同取值范围时，有着不同的对应法则．它是一个函数，而不是多个函数．分段函数的定义域是各段自变量x的并集，值域是各段函数值对应的并集．由于部分学生对分段函数的认识既肤浅又模糊，以致于解题时常常出错或束手无策．     

分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

分段函数——高考数学新视点

分段函数问题近年在高考试题中频繁出现 ,业已成为高考数学的一个热点 .但现行教材与复习资料对这类问题尚无系统介绍 ,现对其做一归纳整理 ,供同学们复习时参考 .1　分段函数的概念定义　一个函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数叫做分段函数 .由定义可知 ,分段函数是“一个”函数 ,而不是几个函数 ,它是由各段上的解析式 (对应法则 )用符号“{”合并而成的一个整体 ,其定义域是各段自变量集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .2　分段函数考题的类型2 .1　分段函数的解析式 .例 1　 (2 0 0 0年…     

分段函数的研究性学习

分段函数是指自变量在不同取值范围,对应法则不同的函数,分段函数是一个整体,分段函数的定义域是各段定义域的并集.自Euler和Larange允许不同定义区域可以具有不同的表达式以来,就一直活跃在分析学领域,其中,连续与间断的问题的表达,连续点不可导的反例,以及L-积分与R-积分的分水岭,都是由分段函数给出的.     

分段函数常见错误辨析

<正>分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.关于分段函数的定义域、值域(最值)、函数的性质,以及与分段函数相关的不等式、方程、零点、解析式、应用题等,是高考考查的重点和热点.这类问题尽管难     

理解分段函数含义 领悟其研究方法

<正>分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明.所谓"分段函数",习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.下文谈谈领悟研究分段函数的方法.1.求分段函数的函数值求分段函数的函数值时,首先应确定自变     

例说分段函数若干问题的求解

所谓“分段函数” ,是指在其定义域中 ,对于自变量的不同取值范围 ,对应法则不同的函数 .分段函数是一个函数 ,而不是几个函数 ,其定义域是各段定义域的并集 ,值域也是各段值域的并集 .1　如何求分段函数的函数值这个问题的关键是先要确定所给自变量的值在定义域中的哪一段内 ,再按相应的对应法则求值 .例 1　设 ｆ(ｘ) =3ｘ2 - 4π0　(ｘ >0 ) ,(ｘ =0 ) ,(ｘ <0 ) ,求 ｆ( - 2 ) ,ｆ( 1 ) ,ｆ[ｆ( - 1 ) ],ｆ[ｆ( 2 ) ],ｆ{ｆ[ｆ( - 5) ]}.解　由 - 2 <0 ,得 ｆ( - 2 ) =0 ,由 1 >0 ,得 ｆ( 1 ) =3·1 2 - 4=- 1 ,由 ｆ( - 1 ) =0 ,得 ｆ[…     

关于分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的 ,并未作深入说明 ,许多同学对此认识往往比较肤浅 .本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下 :1.分段函数的含义所谓“分段函数” ,习惯上指在定义域的不同部分 ,有不同的对应法则的函数 ,对它应有以下两点基本认识 :(1)分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数 ;(2 )分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .2 .求分段函数的函数值例 1已知函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ3ｌｏｇ13ｘ(ｘ <0 ) ,(0≤ｘ≤ 1) ,(ｘ >1) ,求ｆ(ｆ(ｆ(ａ) ) ) ,(ａ <0 ) .分析　求分段函数的函数值时 ,首先应…     

分段函数问题的类型及解法

分段函数由于是分段定义的 ,在不同的区间上函数有着不同的对应法则 ,与一般函数有着明显的区别 .学生往往受负迁移影响对分段函数问题认识不清或思维片面产生解题错误 ,本文就分段函数问题的类型进行归类解析 .1　判定分段函数的奇偶性例 1　判定分段函数f (x) =(110 ) x,x >0     

分段函数的求解策略

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数.它是一个函数,却又常常被同学们误认为是几个函数.分段函数在高中数学中占有重要的位置,在高考试卷中也常常出现.为此,本文从如下几个方面进行系统的介绍.     

“分段函数类”动态探究问题一例

<正>本文所谈的"分段函数类"动态探究问题,是以图形的运动为表征,是动态探究问题中最典型、最有代表性的一类.探求问题中图形运动的各种状态,把它分段,各段对应着不同自变量的分区、函数关系式,求出函数自变量取值范围内各区间的函数解析式,是我们解决此类问题的核心所在.以下题为例,谈一下具体解法.例(吉林省2017年中考数学试题第25题)如图1,在Rt△ABC中,     

分段函数的处理

近几年 ,中考的导向是考查与高中知识衔接紧密的问题 .分段函数与高中函数知识联系较多 ,故在各省市 (地区 )的中考题中频频出现 ,成为中考的一个热点 .通过对该类问题的研究 ,发现解决此类问题的策略不外乎四步 :( 1)确定自变量的临界点 ;( 2 )结合题意把自变量合理分段 ,从而把函数分段 ;( 3 )弄清题目中函数的对应关系 ,结合实际问题的有关公式、定理以及所掌握的各种函数 (一次函数 ,反比例函数 ,二次函数 )的性质 ,求出各段上函数解析式 ;( 4)利用解析式的对应关系来求解 .下面举例说明 .例 1　 ( 1999年湖北省黄冈市 )国家规定个人发…     

解读分段函数

<正>分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入研究,更没有举例说明应用.同学们对此认识不足,甚至不理解,因此,对分段函数进行解读无疑是十分必要的."分段函数"是指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识和理解.1.分段函数是一个函数,不是几个函数;2.分段函数的定义域是各段定义域的并     

关于函数极限概念的一点注记

教材 [1 ]给出极限的一般概念为 :在自变量的某个变化过程中 ,如果对应的函数值无限接近某个确定的数 ,那么 ,这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 .用这一观点 ,教材把数列极限和函数极限统一起来 ,把函数的各种不同的极限过程也纳入了这个统一的极限框架中 .在这个极限的一般概念中应注意两点 .一是极限是考察在自变量的某个变化过程中函数值的变化情况的 ,因而该函数的极限值本身可以不是函数值 ,因而可以定义函数 (包括数列 )在±∞处的极限 ,特别是对于 limx→ x0f (x) ,函数 f (x)可以在点 x0 处没有定义 .二是自变量可以形…     

分段函数不定积分求法探讨

分段函数在分界点处不连续时所得的不定积分在分界点处的连续性问题,可根据分段函数在分界点的连续性或间断类型来判定,并由此解决分段函数求不定积分时各段所带常数之间的关系问题．     

对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…     

求分段函数的值域

<正>求分段函数的值域要分段进行,就是把分段函数各个分段上的函数看作一个独立的函数,分别求出它们的值域,那么各个分段上函数的值域的并集就是这个分段函数的值域,举例说明.例1(2009年北京崇文模拟)函数f(x)={x2-x+1(x<1),1/x(x>1)的值域是_.简析先求出函数f(x)=x2-x+1(x<1)和f(x)=1/x(x>1)的值域,再求它们的并x集就是函数f(x)的值域.     

例谈分段函数的解题策略

<正>分段函数是指一个函数由几段构成,对于自变量在不同的取值范围内,其对应法则表示不同的函数.以分段函数为载体,能很好地考察同学们对函数性质的理解和灵活运用.1分合结合——整体规划、局部突破分段函数的"分"是外在的形式,"合"是内     

例谈分段函数在高考中的四个考查方向

分段函数是高中数学中一类重要的函数类型,不仅能考查函数的概念、表示及性质,而且能有效考查学生数学思想方法,因此在高考中被频繁考查.下面,从四个方面说明分段函数在高考中的考查方向. 一、对应性 与分段函数相关的函数值、方程、不等式问题,由于自变量的取值范围不同,对应法则不同,应根据定义域分类讨论.分段函数在高考中首先考查对应性,由于对应的不确定,实质考查分类讨论思想.     

例谈分段函数问题中的几种特殊图象

分段函数是一类特殊表达形式的函数，指的是自变量在不同的取值范围内，其对应法则不相同的函数．它不仅在初等数学乃至高等数学中具有重要的理论价值，而且具有较广泛的应用价值．笔者经过研究发现：把握住分段函数的图象特征对于解决此类问题而言具有至关重要的作用，下文将就“分段函数”问题中的几种特殊图象展开例析．