Deformation to breaking of deep water gravity waves

The results of laboratory observations of the deformation of deep water gravity waves leading to wave breaking are reported. The specially developed visualization technique which was used is described. A preliminary analysis of the results has led to similar conclusions than recently developed theories. As a main fact, the observed wave breaking appears as the result of, first, a modulational instability which causes the local wave steepness to approach a maximum and, second, a rapidly growing instability leading directly to the breaking.List of symbols L total wave length - H total wave height - crest elevation above still water level - trough depression below still water level - wave steepness =H/L - crest steepness =/L - trough steepness =/L - F ₁ forward horizontal length from zero-upcross point (A) to wave crest - F ₂ backward horizontal length from wave crest to zero-downcross point (B) - crest front steepness =/F ₁ - crest rear steepness =/F ₂ - vertical asymmetry factor=F ₂/F ₁ (describing the wave asymmetry with respect to a vertical axis through the wave crest) - µ horizontal asymmetry factor=/H (describing the wave asymmetry with respect to a horizontal axis: SWL) - T ₀ wavemaker period - L ₀ theoretical wave length of a small amplitude sinusoïdal wave generated at T _inf0 ^sup–1 frequency - ₀ average wave height     

Extremum theorems for the analysis of elastic plastic structures containing unstable elements

Summary This paper deals with incremental extremum principles in an associated flow-law theory of plasticity allowing for unstable, work-softening behavior, in contrast to the traditional assumptions. The theorem for the strain rates, corresponding to the minimum potential energy principle of elasticity, is proved to hold under appropriate condition which limits the unstabilizing effects present in the considered situation of the system. The theorem for the stress rates, corresponding to the complementary energy principle, turns out not to hold in general. The theorem for the plastic strain rates is shown to have the same range of validity as that for strain rates.

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Sommario Si esaminano i teoremi di minimo d'ambito differenziale in una teoria della plasticità con leggi di scorrimento associate, che ammetta, a differenza degli assunti tradizionali, il comportamento instabile o ad incrudimento negativo. Si dimostra che il teorema per le deformazioni incrementali, corrispondente al principio della minima energia potenziale totale dell'elasticità, è valido sotto un'opportuna condizione che limita gli effetti instabilizzanti presenti nel sistema nella situazione considerata. Il teorema negli sforzi incrementali, corrispondente al principio dell'energia complementare totale, risulta non più valido in generale. Si mostra che il teorema negli incrementi di deformazione plastica ha lo stesso campo di validità del teorema negli incrementi di deformazione totale.

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This research was conducted at the Faculté Polytechnique de Mons, Belgium, with the financial support of a NATO fellowship. The author wishes to thank Professor M. Save for the kind hospitality, the C.N.R. (National Research Council) for the award of the fellowship.     

Apparent forces of analytical mechanics

Summary Some extensions of the apparent forces of classical mechanics are expounded, taking the following cases of motion: point referred to general coordinates involving time, point tied to a moving surface and a holonomic system with moving constraints.For a holonomic system with moving constraints and with stationary kinetic energy the apparent forces formally coincide (allowing, obviously, for a conversion ratio) with the ponderomotive forces of a stationary electromagnetic field.Lastly, the apparent forces introduced by the method of ignoration of coordinates are considered and the analogy of this case with the previous one is elucidated.

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Sommario Si mettono in evidenza alcune estensioni delle forze apparenti della Meccanica classica, prendendo in considerazione i seguenti casi di movimento: punto riferito a coordinate generali involgenti anche il tempo, punto vincolato a superficie mobile, sistema olonomo con vincoli mobili.Si rileva in particolare che per un sistema olonomo a vincoli mobili con energia cinetica stazionaria le forze apparenti coincidono formalmente (salvo naturalmente un coefficiente di ragguaglio) con le forze ponderomotrici di un campo elettromagnetico stazionario.Si considerano infine le forze apparenti introdotte dal metodo di ignorazione delle coordinate e si mostra il perchè dell'analogia di questo caso col precedente.

     

On linear versus nonlinear flow rules in strain localization analysis

Summary This note contains some remarks on the analysis of bifurcation phenomena, specifically strain localization (onset of a strain rate discontinuity), in small-deformation elastoplasticity. Nonassociative flow rules are allowed for to cover constitutive models frequently adopted for frictional (and softening) materials such as concrete. The conventional derivation of the localization criterion resting on an incrementally linear comparison material is critically reviewed and compared to the criterion resulting from actual nonlinear plastic flow laws.

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Sommario Si svolgono alcune considerazioni sui fenomeni di biforcazione in solidi elastoplastici in regime di piccole deformazioni (di linearità geometrica) e precisamente sul manifestarsi di localizzazioni intese come discontinuità nel campo delle deformazioni incrementali. Si considerano leggi nonassociate. Vengono così inclusi nella trattazione modelli costitutivi frequentemente adottati per descrivere il comportamento di materiali ad attrito interno e soggetti a danneggiamento (nel senso di degrado di rigidezze elastiche in seguito a deformazioni anelastiche), oltre che soggetti a manifestazioni di instabilità per incrudimento negativo (softening). Si esamina criticamente il criterio, frequentemente adottato in letteratura, di localizzazione fondato su materiale di confronto incrementalmente lineare e si fornisce, corredato da osservazioni comparative, il criterio che risulta dall'assunzione del modello di materiale incrementale non lineare

     

Oscillatory measurements of silicone oils —Loss and storage modulus master curves

The work describes a way to obtain loss modulus and storage modulus master curves from oscillatory measurements of silicone oils.The loss modulus master curve represents the dependence of the viscous flow behavior on · ₀ ^* and the storage modulus master curve — the dependence of the elastic flow behavior on · ₀ ^* .The relation between the values of the loss modulus and storage modulus master curves (at a certain frequency) is a measurement of the viscoelastic behavior of a system. The G/G-ratio depends on · ₀ ^* which leads to a viscoelastic master curve. The viscoelastic master curve represents the relation between the elastic and viscous oscillatory flow behavior.     

A matrix theory of elastic-locking structures

Summary The theory developed exhibits the following peculiar features: structures are discretizised in finite elements, the constitutive laws piecewise linearized, the problem is split in a preliminary linear elastic solution and a corrective nonlinear subproblem; concepts and techniques of quadratic and linear programming theory are utilized. The main results are: for the analysis under given loads and dislocations, a pair of extremum theorems for locking stresses, corresponding to dual quadratic programs; for the limit analysis with respect to locking situations two already known theorems, which are here deduced from the solvability conditions of the above quadratic programs and formulated as dual linear programs. The extension of the results to imperfectly locking behavior is carried out. Some examples illustrate the solution techniques based on the theory expounded.

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Sommario Caratteristiche peculiari della teoria sviluppata sono: discretizzazione della struttura in elementi finiti, linearizzazione a tratti delle leggi costitutive, suddivisione del problema in una preliminare soluzione elastica lineare ed in una fase nonlineare correttiva, utilizzazione di concetti e tecniche della teoria delle programmazioni quadratiche e lineari.Si ottengono, per l'analisi di continui a deformabilità limitata soggetti a dati carichi e distorsioni, due teoremi di estremo corrispondenti a programmi quadratici negli sforzi di bloccaggio; per l'analisi limite al bloccaggio del sistema, due teoremi già noti, che qui si deducono dalle condizioni di solubilità dei precedenti programmi quadratici e si presentano in veste di programmi lineari duali. I risultati ottenuti vengono generalizzati ai casi definibili a deformabilità imperfettamente limitata. Alcuni esempi illustrano le tecniche risolutive che sorgono dalla teoria svolta.

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The study presented here forms part of a research program supported by the C.N.R.     

On elastic-plastic structures with associated stress-strain relations allowing for work softening

Summary For the elementary (finite or infinitesimal) constituents of the structure are assumed generalized stress-strain relations which satisfy the condition of normality but which may exhibit work-softening, concavity of yield surfaces, variation of elastic coefficients with stress and/or plastic strain.The usual phenomena of geometric instability are excluded. Sufficient conditions are formulated for overall stability in spite of the presence of unstable elements, and for uniqueness of the incremental boundary-values problem. Conditions are discussed with a view to applications and expressed in terms of positive definiteness of appropriate quadratic forms.Finally, yield surfaces and flow laws for the structure are examined, and among other things their necessary association is shown.

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Sommario Per i costituenti elementari (finiti o infinitesimi) della struttura si assumono legami incrementali tra sforzi e deformazioni generalizzati che soddisfano alla condizione di normalità ma che per il resto sono generici, cioè tali da presentare eventualmente incrudimento negativo, concavità del campo elastico, variazione dei coefficienti elastici con gli sforzi e/o con le deformazioni plastiche.Esclusi per il sistema i fenomeni usuali di instabilità geometrica si formulano condizioni sufficienti per la stabilità del complesso nonostante la presenza di parti a funzionamento instabile, e per l'unicità del problema incrementale al contorno. Le condizioni sono discusse in vista delle applicazioni ed espresse in termini di definizione positiva di forme quadratiche opportune.Si esaminano infine le superfici di snervamento e le leggi di scorrimento per l'intera struttura e, tra l'altro, se ne dimostra la necessaria associazione.

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First published in Italian in Rendiconti dell'Istituto Lombardo Classe Scienze e Lettere, A 100, 1966.The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza delle Costruzioni of the Facoltà di Architettura, Politecnico of Milano. Part of it was carried out at Brown University (Providence R. I. - U.S.A.). The author acknowledges with tanks the NATO Fellowship assigned by the C.N.R. in 1964, the encouragement and kind hospitality he received from Professor D.C. Drucker, and the interesting discussions he had with Professor Drucker and Dr. A. C. Palmer.     

Pressure measuring techniques in I.C.E.

Summary A revue of the possible errors affecting pressure measurements in internal combustion engines is presented. A new instrument based on the principle of the Balanced Pressure Indicator and signal multiplexing was developped. Its characteristics used both to obtain an accurate mean pressure diagram and to calibrate pressure transducers in working engines. The overall ability of obtaining meaningful pressure data was shown, even if it is clear that pressure measurements are more an art than a mere technique, given the complexity of the problems involved.

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Sommario L'articolo presenta un'analisi dei possibili errori che possono distorcere la misurazione delle pressioni nella camera di combustione dei motori a combustione interna. Un nuovo strumento, basato sul principio dell'indicatore di pressione a bilanciamento di pressioni e del multiplex a modi di impulsi, è qui anche presentato ed utilizzato sia per ottenere un diagramma medio di pressioni di notevole accuratezza, che per calibrare trasduttori di pressione in condizioni di lavoro, cioè mentre il motore è in funzione. Ne risulta che è possibile ottenere diagrammi di pressione veramente rappresentativi delle condizioni di lavoro del motore, anche se è chiaro che, data la complessità dei problemi relativi a detta misurazione, misurare la pressione nei motori è più un'arte che pura tecnica.

     

An “ideal equivalent gas method” for the study of shock waves in supersonic real gas flows

Summary A method developed by the author for the systematic study of the thermodynamic and dynamic properties of the gas behind a shock wave is reported.The method is applicable to supersonic flow regimes for which the excitation, dissociation and ionization effects invalidate the usually adopted hypothesis of ideal gas.An Ideal Equivalent Gas, having the ratio of the specific heats _s dependent on Mach number and altitude of flight is postulated.On the basis of the mass, momentum and energy conservation equations, valid through the shock wave, the relations defining the thermodynamic and dynamic state of the gas behind the shock wave are derived. These relations establish an extension of the classic relations valid for the ideal gas and reduce to them identically for _s=.The dependence of the ratio of specific heats _s of the Ideal Equivalent Gas on Mach number and altitude has been established, over a wide range, on the basis of the real gas solutions derived by Huber.

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Sommario Nella presente nota viene esposto un metodo sviluppato dall'autore per lo studio sistematico dello stato termodinamico e dinamico del gas a valle di un'onda d'urto in regime supersonico, allorchè cioè gli effetti dell'eccitazione dei gradi di libertà vibrazionali delle molecole e della loro dissociazione e successiva ionizzazione invalidano l'ipotesi di gas ideale generalmente adottata.Viene definito un gas ideale equivalente avente rapporto dei calori specifici _s funzione del numero di Mach e della quota di volo ed in base alle equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, valide attraverso all'onda d'urto, vengono derivate delle relazioni definenti lo stato termodinamico e dinamico del gas a valle dell'onda d'urto. Tali relazioni costituiscono una estensione delle classiche relazioni dell'urto valide per il gas ideale alle quali si riducono per _s=.La dipendenza del rapporto dei calori specifici _s del gas ideale equivalente, dal numero di Mach e dalla quota è stata stabilita sulla base delle soluzioni ottenute da Huber per il gas reale.

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Dynamic shakedown by modal analysis

Summary Dynamic shakedown of discrete elastic-perfectly plastic structures under a specified load history is studied using the dynamic characteristics of the structure provided by modal analysis. Several statical and kinematical theorems are presented, including lower and upper bound theorems for the minimum adaptation time of the structure. In the formulation of the kinematical theorems a crucial role is played by the appropriate definition of admissible plastic strain cycle.

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Sommario Si studia il problema dell'adattamento dinamico (shakedown) di una struttura discreta elasto-perfetta-mente plastica e soggetta ad una storia di carichi prestabilita, facendo uso a tale scopo delle caratteristiche dinamiche della struttura fornite dalla analisi modale. Vengono presentati svariati teoremi, sia di tipo statico che cinematico, tra cui taluni teoremi di delimitazione superiore ed inferiore del tempo minimo di adattamento. Nella formulazione dei teoremi cinematici ha un ruolo cruciale la corretta definizione di ciclo deformativo ammissibile.

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This paper is part of a research project sponsored by the National (Italian) Research Council, C.N.R., Group of Structural Engineering, and by the National Department of Education (M.P.I.).     

New results on the semidiscrete Boltzmann equation for a binary gas mixture

Summary A plane semidiscrete model of the Boltzmann equation for a binary gas mixture with molecular collisions ruled by the hard-spheres interaction potential is described. After establishing a model, a theorem demostrating the global existence of mild solutions of the initial-value problem is given and the propagation of unidimensional shock waves examined.

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Sommario Si propone un modello semidiscreto piano dell'equazione di Boltzmann per una miscela binaria con collisioni molecolari soggette al potenziale di interazione delle sfere rigide. Costruito il modello, si dà un teorema di esistenza globale di soluzioni generalizzate per il problema di Cauchy, e si analizza la propagazione di onde d'urto unidimensionali.

     

Existence theorem for a minimum problem with free discontinuity set

We study the variational problem Where is an open set in ⁿ ,n2gL ^q () L (), 1q<+, O<, <+ andH _n–1 is the (n–1)-dimensional Hausdorff Measure.     

On flow and stability of a Newtonian fluid past a rotating plane

An exact solution is given for the steady flow of a Newtonian fluid occupying the halfspace past the plane z=0 uniformly rotating about a fixed normal axis (Oz). This solution is obtained in a velocity field of the form considered by Berker [2] and can be deduced as a limiting case, as h+, of the solution to the problem relative to the strip 0zh imposing at z=h either the adherence boundary conditions or the free surface conditions. Furthermore, the stability of this flow, subject to periodic disturbances of finite amplitude, is studied using the energy method and the result is compared with those corresponding to stability of flows in the strip 0zh.

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Sommario In questa nota si mostra che-oltre alla calssica soluzione di von Karman [1] — esiste, per opportuni valori del gradiente di pressione all'infinito, una soluzione esatta per il moto stazionario di un fluido Newtoniano posto nel semispazio limitato dal piano z=0 uniformemente rotante attorno ad un asse ad esso perpendicolare (Oz). Tale soluzione, ottenuta sulla scia del lavoro di Berker [2], si può dedurre anche come limite, per h+, della soluzione del problema relativo alla striscia 0zh quando sul piano z=h si assegnano o le condizioni di aderenza o le condizioni di frontiera libera. Si studia poi la stabilità di tale moto rispetto a perturbazioni spazialmente periodiche di ampiezza finita col metodo dell'energia e si confronta il risultato ottenuto con quelli relativi alla stabilità dei moti nella striscia 0zh.

     

Calculation of heat transfer accompanying hypersonic three-dimensional flow of air over slender blunt-nosed cones

The effective length method [1, 2] has been used to make systematic calculations of the heat transfer for laminar and turbulent boundary layers on slender blunt-nosed cones at small angles of attack ( + 5° in a separationless hypersonic air stream dissociating in equilibrium (half-angles of the cones 0 20°, angles of attack 0 15°, Mach numbers 5 M 25). The parameters of the gas at the outer edge of the boundary layer were taken equal to the inviscid parameters on the surface of the cones. Analysis of the results leads to simple approximate dependences for the heat transfer coefficients.Translated from Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, No. 5, pp. 173–177, September–October, 1981.     

On the Ellipticity of the Middle Surface of a Shell and its Application to the Asymptotic Analysis of ‘Membrane’ Shells

We consider a surface S = (), where ² is a bounded, connected, open set with a smooth boundary and : ³ is a smooth map; let () denote the components of the two-dimensional linearized strain tensor of S and let 0 with length 0 > 0. We assume the the norm ,|| ()||0, in the space V0() = { H¹() × H¹() × L²(); = 0 on 0 } is equivalent to the usual product norm on this space. We then establish that this assumption implies that the surface S is uniformly elliptic and that we necessarily have 0 = .     

Some properties of gases with vibrational relaxation when viewed as materials with memory

Summary In recent years there has been developed a general thermodynamics of materials for which the stress, temperature, and energy depend on the histories of the strain and another variable, such as the entropy. Here we discuss the compatibility of that thermodynamical theory with a special theory of mechanical dissipation which has been successfully used in physical gas dynamics: the theory of gases with vibrational relaxation. Granting, without detailed study, certain technical points involving the uniqueness and stability of solutions of a class of non-linear integral equations, we observe that the theory of relaxing gases can be imbedded in the framework of the thermodynamics of materials with memory, provided only that we identify the temperature of the thermodynamical theory with the translational or (activemode) temperature of the internal-relaxation theory.We conclude our discussion with a report of a calculation we have made of the isentropic, pressure-volume, relaxation function exhibited by a gas with vibrational relaxation when regarded as a linearly viscoelastic material.

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Sommario Si è ultimamente sviluppata una termodinamica generale dei materiali per i quali la tensione, la temperatura e l'energia dipendono dalla storia passata dello strain e da un'altra variabile, come l'entropia.Studiamo qui la compatibilità di questa teoria termodinamica con una teoria speciale di dissipazione meccanica, che è stata applicata con successo nella dinamica dei gas reali: la teoria dei gas con rilassamento vibrazionale.Accettati, senza un esame dettagliato, certi punti tecnici che comportano l'unicità e la stabilità delle soluzioni di una classe di equazioni integrali non lineari, osserviamo che la teoria dei gas con rilassamento vibrazionale può essere inquadrata nella struttura della termodinamica dei materiali con memoria, a patto che la temperatura della teoria termodinamica venga identificata con la temperatura di traslazione o di modo attivo della teoria del rilassamento interno.Concludiamo la nostra discussione riportando i risultati ottenuti nella derivazione della funzione che descrive il rilassamento isoentropico di pressione che segue una variazione di volume rivelata da un gas con rilassamento vibrazionale quando è considerato come materiale visco-elastico lineare.

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This research was supported in part by the U. S. Air Force Office of Scientific Research and the U. S. Office of Naval Research.     

Gasdynamics of a plasma in a multiple-mirror magnetic trap with “point” mirrors

Equations are derived for the gasdynamics of a dense plasma confined by a multiple-mirror magnetic field. The limiting cases of large and small mean free paths have been analyzed earlier: ₀ and k, where is the length of an individual mirror machine, ₀ is the size of the mirror, and k is the mirror ratio. The present work is devoted to a study of the intermediate range of mean free paths ₀ k. It is shown that in this region of the parameters the process of expansion of the plasma has a diffusional nature, and the coefficients of transfer of the plasma along the magnetic field are calculated.Translated from Zhurnal Prikladnoi Mekhaniki i Tekhnicheskoi Fiziki, No. 6, pp. 14–19, November–December, 1974.The authors thank D. D. Ryutov for the statement of the problem and interest in the work.     

Anwendung des Übertragungsverfahrens bei stark abklingenden Lösungsfunktionen

Übersicht Bei stark abklingenden Funktionen wird die Übertragungsmatrix U() aufgespalten in die Anteilc U ₁() e^– und U ₂() e. Der zweite Term spielt am Rand = 0 keinc Rolle. Die unbekannten Anfangswerte sind über die Matrix U ₁(0) an die bekannten gebunden und eindeutig bestimmbar.

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Summary For strongly decaying solution functions the transfer matrix U() is splitted into the parts U ₁() e^– and U ₂() e. The second term does not influence at the boundary = 0. The unknown initial values are related by the matrix U ₁(0) to the known values and they can be uniquely determined.

     

Optical co-ordinates in general relativity 2 — the problem of distance

Summary Let denote the congruence of null geodesics associated with a given optical observer inV ₄. We prove that determines a unique collection of vector fieldsM₍₎ ( =1, 2, 3) and ₍₀₎ overV ₄, satisfying a weak version of Killing's conditions.This allows a natural interpretation of these fields as the infinitesimal generators of spatial rotations and temporal translation relative to the given observer. We prove also that the definition of the fieldsM₍₎ and ₍₀₎ is mathematically equivalent to the choice of a distinguished affine parameter f along the curves of, playing the role of a retarded distance from the observer.The relation between f and other possible definitions of distance is discussed.

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Sommario Sia la congruenza di geodetiche nulle associata ad un osservatore ottico assegnato nello spazio-tempoV ₄. Dimostriamo che determina un'unica collezione di campi vettorialiM₍₎ ( =1, 2, 3) e ₍₀₎ inV ₄ che soddisfano una versione in forma debole delle equazioni di Killing. Ciò suggerisce una naturale interpretazione di questi campi come generatori infinitesimi di rotazioni spaziali e traslazioni temporali relative all'osservatore assegnato. Dimostriamo anche che la definizione dei campiM₍₎, ₍₀₎ è matematicamente equivalente alla scelta di un parametro affine privilegiato f lungo le curve di, che gioca il ruolo di distanza ritardata dall'osservatore. Successivamente si esaminano i legami tra f ed altre possibili definizioni di distanza in grande.

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Work performed in the sphere of activity of: Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del CNR.     

Das erweiterte Korrespondenzgesetz für die dynamische Idealviskosität und die Idealwärmeleitfähigkeit reiner Stoffe

Zusammenfassung Zur Berechnung der dynamischen Idealviskosität Ideal (T) und der Idealwärmeleitfähigkeit ideal (T) benötigt man die kritische TemperaturT _kr, das kritische spezifische Volum _kr, die MolmasseM, den kritischen Parameter _kr und die molare isochore WärmekapazitätC _v(T). Sowohl das theoretisch, als auch das empirisch abgeleitete erweiterte Korrespondenzgesetz ergeben eine für praktische Zwecke ausreichende Genauigkeit für die Meßwertwiedergabe, die bei den assoziierenden Stoffen und den Quantenstoffen jedoch geringer ist als bei den Normalstoffen.

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The extended correspondence law for the ideal dynamic viscosity and the ideal thermal conductivity of pure substances

For the calculation of the ideal dynamic viscosity Ideal (T) and the ideal thermal conductivity ideal (T) the critical temperatureT _kr, the critical specific volumev _kr, the molecular massM, the critical parameter _kr, and the molar isochoric heat capacityC _v(T) is needed. Not only the theoretically determined but also the empirically determined extended correspondence law gives for practical use a good representation of the measured data, which for the associating substances and the quantum substances is not so good as for the normal substances.