定积分的一个性质在证明不等式中的应用

高等数学中证明不等式的方法很多,本文介绍用读者熟知的定积分的如下性质,证明不等式的一些例子.性质 如果函数f(x),g(x)都在闭区间〔a,b〕上连续,且f(x)≤g(x)(X∈〔a,b〕),则integral from n=a to ∞(f(x)dx)≤integral (?)((x)dx);当且仅当f(x)=g(x)(X∈〔a,b〕)时,等式成立.     

函数迭代中的循环现象

一、从一道例.谈拐金一l 劣例l已知函数I(二)=公一l 劣对于,〔N,解:(l)丫了式:)一了〔了:(·)〕一了(宁)-劣一l 劣定义f:(‘)=I(二),j.(x)=了叶一,(x)〕,(l)求f一(二);(2)求证:f。(x)=fa(x). l1一公1991年第9期数学通报‘吕‘·,一‘〔‘2‘·,〕一‘仁、)-六一,一万一=劣1一2.’.f一(x)二f[f:(工)〕二f(x)即了;(x)二(2)由(l)可知f:(x)=z f。(:)二f!(:).‘.f。(x)=f〔f;(x)〕二f〔f,(x)〕二fZ(x).‘.fe(x)二f〔fs(x)〕=f〔fZ(x)j二f3(x).从例1的解题过程可以发现:f,(x)二f一(I)=…=fa。,,(x)=劣一l 劣人(x)二人(x)二f。(二)二f。(x)二一…     

趣味数学几例

1.今年元旦是星期日,试问今年元旦后的第1984~(1984)天是星期几。解:∵1984~(1984)=(283×7+3)~(1984) =7m+3~(1984),m∈N。而 3~6≡1(mod7),3~(1984)=3~4×3~(6×330) 3~4≡4(mod7),∴1984~(1984)≡4 (mod7)。答:今年元旦后的第1984~(1984)天是丛期四。 2.若f(x+1)=|x-1|,求f(1984)。解:令 x+1=1984,则x-1=1982, ∴ f(1984)=1982。 3.已知 f(x)=3x+1,g(x)=2x-1,h(g〔f(x)〕)=f(x)。求h(1984)。解:∵ f(y)=3y+1, ∴ g〔f(y)〕=2(3y+1)-1=6y+1, 故h(6y+1)=3y+1。令6y+1=1984,     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

例谈数学思维情境的创设

1　 诱题深入 ,活跃思维解决数学问题的过程是思维训练的过程 ,也是心理内化的过程 .这需要教师创设恰当的情境 ,逐步引导学生思维活动展开 ,提高思维能力 .例　设 f ( x)是 ( -∞ , ∞ )上的奇函数 ,且 f( x 2 ) =- f ( x) ,当 0≤ x≤ 1时 ,f ( x) =x,求 f ( 7.5) .[教师引导 ]欲求 f ( 7.5) ,必须知道 f ( x)的表达式 ,而题设中已知 f ( x) =x,则 f ( 7.5)= 7.5是否正确 ?为什么 ?学生思考后可以识别上述结论有误 ,因f ( x) =x是 x∈ [0 ,1 ]上的函数表达式 ,这里7.5不属于区间 [0 ,1 ],故不能代入这个表达式 .[教师引导 ]回答正确 !看…     

一类方程的求解方法

问题试解方程:2 2 2x-1-1-1=x22 1.此题若采用常规解法,需解一个16次方程,这显然是不可取的,经过一番思考,我们得到关于此类方程解的一个性质.性质定义f(0)(x)=x,f(1)(x)=f(x),f(n)(x)=f[f(n-1)(x)],n∈N*.若f(x)在其定义域上为增函数,g(x)为f(x)的反函数,则方程f(n)(x)=g(m)(x     

一元不等式的方程解法

本文将根据方程f(x)=0实数根的分布情况,给出不等式f(x)>0的一种统一解法。这种解法的理论根据,是下面的定理设函数f(x)在区间〔a,b〕上连续且恒不等于零。如果存在a∈〔a,b〕,使f(α)>0,那么在〔a,b〕上恒有f(x)>0;如果存在α∈〔a,b〕,使f(α)<0,那么在〔a,b〕上恒有f(x)<0。证明先证定理的前半部分。若不然,设有β∈〔a,b〕,使f(β)≤0,但,(β)≠0,所以f(β)<0.根据连续函数的介值定理,必有α与β之间的数x。(当然有x。∈〔a,b〕),使f(x_0)=0。这和假设f(x)在〔a,b〕上恒不等于零相矛盾。这就证明了在〔a,b〕上恒有     

通过解题训练 强化逆向思维

如果方程f(x)=0的根为a,很多学生很容易知道f(a)=0.但是,反过来,由f(a)=0,学生就很不容易想到a是方程f(x)=0的根.究其原因,是由于不善于反向运用方程根的定义,不习惯按逆向展开思维.下面通过一些例子,谈谈如何强化学生的逆向思维.     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

对两种观点正误的分析

1　问题的提出在复合函数的有关问题中,对一类问题的解法经常有两种不同的观点.下面先看一些数学读物中的有关问题的解法.例1　已知函数f(x2-3)=lgx2x2-4,求f(x)的定义域(文[1])解　先求f(x)的表达式令x2-3=t,∵x2x2-4>0,∴x<-2或x>2.则x2=t 3,此时由抛物线的性质知t>1.∴f(t)=lgt 3t-1,即f(x)=lgx 3x-1此时f(x)的定义域就是t的取值范围.故f(x)的定义域为{x|x>1}例2　已知函数y=f(1x 1)的定义域为〔-23,-12〕,求函数f(x)的定义域(文〔2〕)解　∵-23≤x≤-12∴13≤x 1≤12∴3≥1x 1≥2∴函数f(x)的定义域为〔2,3〕例3　(1986年广东省高考题)…     

方程+f(x)■+g(x)=p(t)的调和解

本文不作假设integral from 0 to ±∞ (f(x)+|g(x)|dx=±∞),得到方程(?)+f(x)(?)+g(?)=p(t)调和解的存在性,以及当integral from 0 to ±∞(g(x)dx=+∞时,其解的正向有界性和当g(x)=x,f(x)>0时,其调和解的渐近稳定性、唯一性。     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当x≠0时,g(x)≠1,试判断F(x)=     

一道高考压轴题的优化解法

2007年江苏高考卷的压轴题如下:已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.此题主要考查函     

求函数值域的一般方法

关于函数值域的确定,是统编高中数学教材中的一个难点。学生作题通常没有一般方法可循,并且容易出现混乱和错误。本文拟给出求初等函数值域的一般方法。下面我们提出三个定理,为尽量避免使用较多的实数理论,仅用几何图形加以直观说明,不给出严格论证。然后归纳出只需运用简单的导数知识,对中学生可行的初等函数值域的一般方法。定理1 若函数y=f(x)满足条件 (1)、在闭区间〔a,b〕上连续; (2),最大值、最小值分别为M,m,则函数y=f(x)的值域为〔m,M〕。(其中mM) 定理1中,M、m的存在性与结论的正确性从函数图象(图1)上看是很明显的。例1,求函数f(x)=x~2-5x+6,x∈〔2,     

有约束总极值的最优性条件

卜设f(对,g:(对,…,肠(x),l:(x),…,lr(x)是定义在,维欧氏空间有界闭区域‘上的连续函数.考虑下列有约束曹、极值问题: ’ min厂(x) 盆〔C并满足约束 ’_一.‘一‘狱 g、(x)《o,f“1,”’,p,x〔e,(1) l,(x)=0,夕=1,…,犷, 以前我们己经讨论过无约束条件的情形x,〔G是总极值点的充要条件(’“、〔’〕.当考虑有约束情形时,最优性条件有它的特殊性,本文将讨论此问题.记 G‘=丈x!g,(x)《0,x〔G},f=1,…,p, L丈={x!l,(x)>0,x〔G}, 厂=1,…,:,(2) L了一{万ll,(劝簇0,“赶‘卜一 ‘。一只‘f,五。一只‘五了门五犷’, S=L。nG。. H。={二{厂(…     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当     

上期课外练习解答

高一年级1 .9(2004)一f[g(2003)]~f{f[g(2002)〕}一”‘一找宜比(“)〕} 2002个f一刀:j(2”。。3,} 2002个f一找,仁(2,2。。3,合〕} 2001个f~...一<=202003…((22,。。3)合)合…)令,卫一泊 一2 . 1 11.-.一.—二二二 2 22222003、-一一一幸一一一一 :002个合 ~22~4,2.设f(x)一a,(a>0,。笋1),g(x)~fogbx(b>0,b并1),由已知,得{ _7a“一10娜艺~二犷, 山。4一10904一15, {a=解得( lb- f(x)=Zx,g(x)=109;x. :.G(x)=3 109,2玄x 3一16109;x 一3(Zx十3)一xZ =18一(x一3)“簇18. 当x一3时,g(x)取得最大值为18.3.设第一行的数组成的等差数列的公差为…     

关于三次函数切线问题的思考

<正>2014年北京高考文数试卷的20题如下:已知函数f(x)=2x³-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax3-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax³-3x,g(x)=xlnx+63-3x,g(x)=xlnx+6^(1/2)/9,且函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在交点处存在公共切线,(Ⅱ)若     

一个定理的再推广

定理若函数f-1(x),g-1(x)分别是函数f(x),g(x)的反函数(下同),且g-1(x)=g(x),则方程f(x)=g(x)有根a方程f-1(x)=g(x)有根g(a).证由f(a)=g(a),可得f-1(g(a))=a=g-1(g(a))=g(g(a)),即方程f-1(x)=g(x)有根g(a).由f-1(g(a))=g(g(a))=g-1(g(a))=a得f(a)=g(a),即方程f(x)=g(x)有根a.推