用((a b)/2)~2≤(a~2 b~2)/2解题两例

对于a、b∈R,易知(a b/2)2≤a2 b2/2恒成立,此不等式反映了任意两个实数的和与这两个数的平方和的大小关系,巧用这一不等式可以妙解一些数学不等关系的问题．请看以下两例: 1．比较大小例1试比较2~(1/2) 3~(1/2) 4~(1/2)与30~(1/2)的大小．解∵(a b/2)2≤a2 b2/2,     

环F_2+uF_2+u~2F_2上线性码的广义Gray像

摘要:引入了环F_2+uF_2+u~2F_2与F_2之间的广义Gray映射,利用环F_2+uF_2+u~2F_2上线性码的生成矩阵得出了广义Gray像φ(C)的生成矩阵,证明了F_2+uF2+u2F2上线性码自正交码的广义Gray像仍为自正交码和F_2+uF_2+u~2F_2上循环码的广义Gray像是F_2上的准循环码.     

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

L~2(R~2)中2进变元低通滤波器

一维2进低通滤波器在一维多分辨分析(MRA)小波的构造和拓扑性质研究中起到重要作用.对于高维小波,其生成要依赖于某个扩张矩阵,所以构造比较复杂.该文讨论由一致矩阵2I_2(2002)生成的MRA小波的低通滤波器(称作2进双变量滤波器.利用2进双变量滤波器乘子完全刻画了2进双变量滤波器,并且证明了所有2进双变量滤波器集合在L~2(T~2)范数拓扑下是道路连通的结论.     

环$F_2 uF_2 u^2F_2$上的循环码及自对偶码

We give the structures of a cyclic code over ring
R = F2 ＋ uF2 ＋ u^2F2 = {0, 1,u, u^2,v, v^2,uv, v^3},
where u^3 = 0, of odd length and its dual code. For the cyclic code, necessary and sufficient conditions for the existence of self-dual code are provided.     

双曲线的渐近线方程x^2/a^2-y^2/b^2=0在解题中的应用

先看一道经典的例题[1]：例1如图1,直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1交于A1、B1两点,与双曲线C的渐近线交于A2、B2两点,求证：｜A1A2｜=｜B1B2｜.证明设A1（x1,y1）,B1（x2,y2）,A2（z3,y3）,B2（x4,y4）。     

环F_2+uF_2+u~2F_2上线性码的MacWilliams恒等式

记R=F_2+uF_2+u~2F_2,定义了环R上码字的李重量分布的概念,构造了从R~n到F_2~(3n)的Gray映射φ.通过对环R上线性码及其对偶码生成矩阵的研究,证明了环R上线性码及其对偶码的Gray象是F_2上的对偶码.利用域F_2上线性码及其对偶码的重量分布关系,得到了环R上线性码及其对偶码关于李重量分布的MacWilliams恒等式.     

a~2+b~2≥2ab的一点引伸

众所周知,不等式a~2+b~2≥2ab是一个应用广泛的重要不等式,由此容易推出以下两个不等式: a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca; a~2+b~2+c~2+d~2≥ab+bc+cd+da。进一步推广可得更一般的如下: 定理当a_1∈R (i=1,2,…,n)时,     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的公解

设p_1,p_2,p_3为不同的奇素数,c1是整数.给出了Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的所有非负整数解(x,y,z),从而推广了Keskin (2017)和Cipu(2018)等人的结果.     

a~2 b~2≥2ab的变形推广及应用

人们熟知的不等式 a2 b2 ≥ 2 ab应用很广泛 ,如果将其变形后再应用 ,你会感到另一种新奇与愉悦 .原式 a2 b2≥ 2 ab中 a,b∈ R,为变形方便 ,将条件强化为 a,b∈R ,则a2b≥ 2 a- b ( 1 )如果将此式推广 ,可有结论a2b≥ 2λa-λ2 b (λ≠ 0 ) ( 2 )应用举例例 1　设 x1,x2 ,… ,xn是正数 ,则x21x2 x22x3 … x2n- 1xn x2nx1≥ x1 x2 … xn( 1 984年全国联赛试题 ) .证明 :由 ( 1 )式 ,x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn- x1,将以上各式相加 ,命题即得证例 2　设 α、β、γ为锐角 ,且 sin2 α sin2 β sin…     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

关于不定方程x~2-5ly~2=1与y~2-Dz~2=49的公解

设p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2~tp_1~(a_1)p_2~(a_2)p_3~(a_4)p_4~(a_4)(a_i=0或1,1≤i≤4,t∈Z~+)时,不定方程x~2-51y~2=1与y~2-Dz~2=49仅当D=2~t×4999(t=1,3,5)时有非平凡公解(x,y,z)=(±50,±7,0).     

也谈Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-DZ~2=4的公解

本文证明了:若D为奇数且最多含有3个互不相同的素因数时,Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-Dz~2=4的公解仅有非平凡解(x,y,z)=(17,12,2)(D=35);(x,y,z)=(19601,13860,26)(D=29×41×239)。这个结论加强了Mohanty和Ramasamy以及陈建华的结论。     

关于不定方程x~2-23y~2=1与y~2-Dz~2=25的公解

设p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2~tp_1~α_1p_2~a_2p_3~a_3p_4~a_4(a_i=0或1,1≤i≤4,t∈Z~+)时,不定方程x~2-23y~2=1与y~2-Dz~2=25仅当D=2~t×1151(t=1,3,5,7,9)时有正整数解.     

F_2+vF_2上的循环码

本文研究了环F_2+vF_2上的循环码.利用标准形生成元集刻画了环F_2+vF_2上的循环码的代数结构,证明了环F_2+vF_2上的每一个非零的循环码均有唯一的标准形生成元集,进而得到了每一个循环码均是由一个多项式生成的.     

关于Pell方程组X~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…P_s(1≤s≤4),P_1…,P_s是互异的奇素数.证明了:Pell方程组x~2-3y~2=1,y~2-Dz~2=1除开D=2×7,2×3×5×7×13外,仅有平凡解(x,y,z)=(±2,±1,0).     

关于Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

设p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用同余、递归序列、Pell方程的解的性质等证明了:当D=2p1…p_s,1≤s≤4时除开D为2×241外,Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有平凡解(x,y,z)=(±11,±2,0).     

环F_2+uF_2+u~2F_2上循环码的Gray距离

定义了环R=F2+uF2+u2 F2(u3=0)到F32的一个新的Gray映射.首先介绍环R上奇长度的循环码的挠码,给出了各阶挠码的生成多项式.利用一阶挠码与二阶挠码确立了R上奇长度的循环码的Gray距离.     

解方程(2+(2+(2+X)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的

探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2殊解法时,联想到方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与力程x=(a±x)~(1/2)是否等价的问题。如果结论成立,则x=1/2((4a+1)~(1/2))±1)就是方程 (a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x的根,这样不仅可使这种形式的方程有了较为简捷的求解公式,而且也为形如(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=b的方程提供了一种极为简便的解法。事实上,若a>0,x>0,则