A mixing length model for turbulent flow in constant cross section ducts

In this paper, a study is made of the damping influence of the wall on turbulent fluid flow. By considering the oscillation of the whole of the boundary, van Driest's original hypothesis has been extended to obtain the wall damping factor in flow in a duct of constant cross section. The damping factor is used in conjunction with mixing length expressions to obtain the velocity field. Particular examples considered are plane parallel flow and axisymmetric flow in a pipe and in an annulus.

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Ein Modell für die Mischungslänge von turbulenten Strömungen in Rohren mit konstantem Querschnitt

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde der dämpfende Wandeinfluß in turbulenten Strömungen untersucht. Unter Berücksichtigung der Schwingungen in der gesamten Grenzschicht wurde die ursprüngliche Theorie von van Driest erweitert und ein Dämpfungsfaktor an der Wand in Rohrströmungen mit konstantem Querschnitt ermittelt. Dieser Dämpfungsfaktor diente in Verbindung mit Ausdrücken für die Mischungslänge zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes. Ausgewählte Beispiele waren die ebene Parallelströmung sowie die Zylinderströmung in einem Rohr und einem Ringspalt.

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Nomenclature A, A^*(=Au/v) Parameter defined in text - b, b^*(=bu/v) semi-width of parallel plate channel - c(= 1/A) parameter defined in text - E[, /2] complete elliptic integral of the second kind - d damping factor - F, G, H functions - l, l^*(=/v) mixing length - M_O, _O functions - r, r^*(=ru/v) radius - A real part of function - R, S, T, U functions - u, u^*(=u/u) velocity in flow direction Z - friction velocity - x, y, z co-ordinates (z in flow direction) - y^*(=yu/v) non-dimensional wall distance - fluid density - , _eff kinematic viscosity, effective kinematic viscosity - phase angle, or polar coordinate angle - shear stress - (=r/r_W) radius ratio - angular velocity Suffixes w wall value - far from a wall     

Application of Rayleigh-Ritz method to forced convection turbulent heat transfer

An analytical model to predict heat transfer rates to an incompressible fluid in turbulent flow, with fully developed velocity profile, between a heated plate and a parallel, insulated plate is developed. The model employs van Driest's mixing length expression near the wall, a constant eddy diffusivitiy in the core and a constant turbulent Prandtl number. An approximate solution obtained by employing Rayleigh-Ritz method is shown to compare well with the exact solution obtained by numerical integration of the differential equations. The results are compared with the available experimental data and analytical solutions.

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Anwendung der Rayleigh-Ritz-Methode auf die Wärmeübertragung bei erzwungener turbulenter Strömung

Zusammenfassung Es wird ein analytisches Modell zur Berechnung der Wärmeübertragung an ein inkompressibles Fluid in turbulenter Strömung mit voll ausgebildetem Geschwindigkeitsprofil zwischen einer beheizten Platte und einer dazu parallelen isolierten Platte angegeben. Das Modell verwendet van Driest's Ausdruck für die wandnahe Mischungslänge, eine konstante Wirbeldiffusivität im Kern und eine konstante turbulente PrandtlZahl. Eine Näherungslösung nach der Rayleigh-Ritz-Methode läßt sich gut mit der exakten Lösung vergleichen, die durch numerische Integration der Differentialgleichungen erhalten wurde. Die Ergebnisse werden mit verfügbaren Versuchswerten und analytischen Lösungen verglichen.

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Nomenclature A⁺ dimensionless constant in van Driest formula - a⁺ dimensionless distance from the wall after which the eddy diffusivity of momentum is constant - b half-gap of passage - b⁺ dimensionless half-gap=bu^*/ - C_f skin friction coefficient - C_p constant pressure specific heat - d hydraulic mean diameter defined as 4xarea/perimeter=4b - h convective heat transfer coefficient - K⁺ dimensionless constant in van Driest formula - k fluid thermal conductivity - m mass flow rate of fluid - Nu Nusselt number hd/k - P pressure - Pr Prandtl number=/ - Pr_t turbulent Prandtl number=_m/ - q_w heat flux at wall - Re Reynolds number=v_md/ - T Temperature - u⁺ dimensionless velocity=V_x/u^* - u^* friction velocity= - V_x axial velocity - x axial distance from the entrance - x⁺ dimensionless distance=x/d - y distance from the heated wall - y⁺ dimensionless distance=yu^*/ Greek Symbols thermal molecular diffusivity - function equal to (_H+)/ - boundary layer thickness - _H eddy diffusivity of heat - _m eddy diffusivity of momentum - _m0 uniform eddy diffusivity of momentum in the core - dimensionless temperature - T-T_i/q_wd/k uniform heat flux - T-T_w/T_i-T_w uniform temperature - fluid kinematic viscosity - fluid density - fluid shearing stress - bulk mean temperature—fully developed region - fully developed transverse temperature profile Suffixes 1 fully developed - 2 in the entrance region - i at the inlet - m bulk mean value - w at the heated wall     

Free convection heat transfer from an isothermal plate with arbitrary inclination

This paper presents a new formulation for the laminar free convection from an arbitrarily inclined isothermal plate to fluids of any Prandtl number between 0.001 and infinity. A novel inclination parameter is proposed such that all cases of the horizontal, inclined and vertical plates can be described by a single set of transformed equations. Moreover, the self-similar equations for the limiting cases of the horizontal and vertical plates are recovered from the transformed equations by setting=0 and=1, respectively. Heated upward-facing plates with positive and negative inclination angles are investigated. A very accurate correlation equation of the local Nusselt number is developed for arbitrary inclination angle and for 0.001 Pr .

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Wärmeübertragung bei freier Konvektion an einer isothermen Platte mit beliebiger Neigung

Zusammenfasssung Diese Untersuchung stellt eine neue Formulierung der laminaren freien Konvektion von Flüssigkeiten mit einer Prandtl-Zahl zwischen 0,001 und unendlich an einer beliebig schräggestellten isothermen Platte dar. Ein neuer Neigungsparameter wird eingeführt, so daß alle Fälle der horizontalen, geneigten oder vertikalen Platte von einem einzigen Satz transformierter Gleichungen beschrieben werden können. Die unabhängigen Gleichungen für die beiden Fälle der horizontalen and vertikalen Platte wurden für=0 und=1 aus den transformierten Gleichungen wieder abgeleitet. Es wurden erwärmte aufwärtsgerichtete Platten mit positiven und negativen Neigungswinkeln untersucht. Eine sehr genaue Gleichung wurde für die lokale Nusselt-Zahl bei beliebigen Neigungswinkeln und für 0,001 Pr entwickelt.

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Nomenclature C _p specific heat - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashof number,g(T _w –T _w ) x³/v² - h local heat transfer coefficient - k thermal conductivity - n constant exponent - Nu local Nusselt number,hx/k - p pressure - Pr Prandtl number, v/ - Ra local Rayleigh number,g(T _w –T )J x³/v - T fluid temperature - T _w wall temperature - T temperature of ambient fluid - u velocity component in x-direction - v velocity component in y-direction - x coordinate parallel to the plate - y coordinate normal to the plate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - (Ra¦sin¦)^1/4/( Ra cos()^1/5 - pseudo-similarity variable, (y/) - dimensionless temperature, (T–T )/(T _w–T ) - ( Ra cos)^1/5+(Rasin)^1/4 - v kinematic viscosity - 1/[1 +(Ra cos)^1/5/( Ra¦sin)^1/4] - density of fluid - Pr/(1+Pr) - _w wall shear stress - angle of plate inclination measured from the horizontal - stream function - dimensionless dynamic pressure     

Reflection, transmission and excitation of SH-surface waves by a discontinuity in mass-loading on a semi-infinite elastic medium

The scattering of an SH-wave by a discontinuity in mass-loading on a semi-infinite elastic medium is investigated theoretically. The incident wave is either a plane body wave or a plane SH-surface wave. The problem is reduced to a Wiener-Hopf problem for the scattered wave. In this problem the amplitude spectral density of the particle displacement occurs as unknown function. Special attention is given to the numerical values of the surface wave contributions to the scattered field.Nomenclature x ₁, x ₂, x ₃ Cartesian coordinates - , polar coordinates in x ₁, x ₃-plane - volume mass density - surface mass density of mass-loading - , Lamé constants - U scalar wave function, defined by (2.1) - c _S speed of propagation of uniform shear waves in bulk medium (c _S=(/)^1/2) - angular frequency - t time - k _S wave number of uniform shear waves (k _S=/c _S) - reduced specific acoustic impedance of mass-loading (=k _S /) - k _m wave number of SH-surface wave (k _m=k _S(1+ ²)^1/2) - _1,2,3 partial differentiation with respect to x _1,2,3 - ⁱ angle between x ₃-axis and direction of propagation of incident body wave - ⁱ wave number in horizontal direction of incident body wave ( ⁱ=k _S sin( ⁱ)) - ⁱ wave number in vertical direction of incident body wave ( ⁱ=k _S cos( ⁱ)) - C _1,2 complex amplitude of surface wave excited by a body wave - R reflection factor of surface wave, when surface wave is incident - T transmission factor of surface wave, when surface wave is incident - S particle displacement vector The research presented in this paper has been carried out with partial financial support from the Delfts Hogeschoolfonds.     

Reservoir transport equations by compositional approach

The objective of this paper is to present an overview of the fundamental equations governing transport phenomena in compressible reservoirs. A general mathematical model is presented for important thermo-mechanical processes operative in a reservoir. Such a formulation includes equations governing multiphase fluid (gas-water-hydrocarbon) flow, energy transport, and reservoir skeleton deformation. The model allows phase changes due to gas solubility. Furthermore, Terzaghi's concept of effective stress and stress-strain relations are incorporated into the general model. The functional relations among various model parameters which cause the nonlinearity of the system of equations are explained within the context of reservoir engineering principles. Simplified equations and appropriate boundary conditions have also been presented for various cases. It has been demonstrated that various well-known equations such as Jacob, Terzaghi, Buckley-Leverett, Richards, solute transport, black-oil, and Biot equations are simplifications of the compositional model.Notation List B reservoir thickness - B formation volume factor of phase - Cⁱ mass of component i dissolved per total volume of solution - C ⁱ mass fraction of component i in phase - C heat capacity of phase at constant volume - C_p heat capacity of phase at constant pressure - D ⁱ hydrodynamic dispersion coefficient of component i in phase - D_MTf thermal liquid diffusivity for fluid f - F = F(x, y, z, t) defines the boundary surface - f_p fractional flow of phase - g gravitational acceleration - H_p enthalpy per unit mass of phase - J_p volumetric flux of phase - k_rf relative permeability to fluid f - k₀ absolute permeability of the medium - M_p ⁱ mass of component i in phase - n porosity - N rate of accretion - P_f pressure in fluid f - p_ca capillary pressure between phases and =p-p - Rⁱ rate of mass transfer of component i from phase to phase - Rⁱ _source source rate of component i within phase - S saturation of phase - s gas solubility - T temperature - t time - U displacement vector - u velocity in the x-direction - v velocity in the y-direction - V volume of phase - V_s velocity of soil solids - W_i body force in coordinate direction i - x horizontal coordinate - z vertical coordinate Greek Letters _p volumetric coefficient of compressibility - _T volumetric coefficient of thermal expansion - _ij Kronecker delta - volumetric strain - _m thermal conductivity of the whole matrix - internal energy per unit mass of phase - gf suction head - density of phase - _ij tensor of total stresses - _ij tensor of effective stresses - volumetric content of phase - f viscosity of fluid f     

Mixed convection on vertical plate for fluids of any prandtl number

A mixed convection parameter=(Ra) ^1/4/(Re)^1/2, with=Pr/(1+Pr) and=Pr/(1 +Pr)^1/2, is proposed to replace the conventional Richardson number, Gr/Re², for combined forced and free convection flow on an isothermal vertical plate. This parameter can readily be reduced to the controlling parameters for the relative importance of the forced and the free convection,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) forPr 1, and (RaPr)^1/2/(RePr ^1/2 forPr 1. Furthermore, new coordinates and dependent variables are properly defined in terms of, so that the transformed nonsimilar boundary-layer equations give numerical solutions that are uniformly valid over the entire range of mixed convection intensity from forced convection limit to free convection limit for fluids of any Prandtl number from 0.001 to 10,000. The effects of mixed convection intensity and the Prandtl number on the velocity profiles, the temperature profiles, the wall friction, and the heat transfer rate are illustrated for both cases of buoyancy assisting and opposing flow conditions.

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Mischkonvektion an einer vertikalen Platte für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

Zusammenfassung Für die kombinierte Zwangs- und freie Konvektion an einer isothermen senkrechten Platte wird ein Mischkonvektions-Parameter=( Ra) ^1/4 (Re)^1/2, mit=Pr/(1 +Pr) und=Pr/(1 +Pr)^1/2 vorgeschlagen, den die gebräuchliche Richardson-Zahl, Gr/Re², ersetzen soll. Dieser Parameter kann ohne weiteres auf die maßgebenden Kennzahlen für den relativen Einfluß der erzwungenen und der freien Konvektion reduziert werden,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) fürPr 1 und (RaPr)^1/4/(RePr)^1/2 fürPr 1. Weiterhin werden neue Koordinaten und abhängige Variablen als Funktion von definiert, so daß für die transformierten Grenzschichtgleichungen numerische Lösungen erstellt werden können, die über den gesamten Bereich der Mischkonvektion, von der freien Konvektion bis zur Zwangskonvektion, für Fluide jeglicher Prandtl-Zahl von 0.001 bis 10.000 gleichmäßig gültig sind. Der Einfluß der Intensität der Mischkonvektion und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeitsprofile, die Temperaturprofile, die Wandreibung und den Wärmeübergangskoeffizienten werden für die beiden Fälle der Strömung in und entgegengesetzt zur Schwerkraftrichtung dargestellt.

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Nomenclature C _f local friction coefficient - C _p specific heat capacity - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashoff number,g T _w –T )x³/v² - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number,v/ - Ra local Rayleigh number,g T _w –T x ³/( v) - Re local Reynolds number,u x/v - Ri Richardson number,Gr/Re ² - T fluid temperature - T _w wall temperature - T free stream temperature - u velocity component in thex direction - u free stream velocity - v velocity component in they direction - x vertical coordinate measuring from the leading edge - y horizontal coordinate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - mixed convection parameter (Ra)1/4/Re)^1/2 - pseudo-similarity variable,(y/x) - ₀ conventional similarity variable,(y/x)Re ^1/2 - dimensionless temperature, (T–T T _W –T - unified mixed-flow parameter, [(Re) ^1/2 + (Ra)^1/4] - dynamic viscosity - kinematic viscosity - stretched streamwise coordinate or mixed convection parameter, [1 + (Re)^1/2/(Ra) ^1/4]^–1=/(1 +) - density - Pr/(1 + Pr) _w wall shear stress - stream function - Pr/(l+Pr)^1/3 This research was supported by a grand from the National Science Council of ROC     

Eine analytische Näherungslösung für die eingefrorene laminare Grenzschichtströmung eines binären Gemisches

Zusammenfassung Für die eingefrorene laminare Grenzschichtströmung eines teilweise dissoziierten binären Gemisches entlang einer stark gekühlten ebenen Platte wird eine analytische Näherungslösung angegeben. Danach läßt sich die Wandkonzentration als universelle Funktion der Damköhler-Zahl der Oberflächenreaktion angeben. Für das analytisch darstellbare Konzentrationsprofil stellt die Damköhler-Zahl den Formparameter dar. Die Wärmestromdichte an der Wand bestehend aus einem Wärmeleitungs- und einem Diffusionsanteil wird angegeben und diskutiert. Das Verhältnis beider Anteile läßt sich bei gegebenen Randbedingungen als Funktion der Damköhler-Zahl ausdrücken.

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An analytical approximation for the frozen laminar boundary layer flow of a binary mixture

An analytical approximation is derived for the frozen laminar boundary layer flow of a partially dissociated binary mixture along a strongly cooled flat plate. The concentration at the wall is shown to be a universal function of the Damkohler-number for the wall reaction. The Damkohlernumber also serves as a parameter of shape for the concentration profile which is presented in analytical form. The heat transfer at the wall depending on a conduction and a diffusion flux is derived and discussed. The ratio of these fluxes is expressed as a function of the Damkohler-number if the boundary conditions are known.

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Formelzeichen A Atom - A₂ Molekül - C Konstante in Gl. (20) - c₁=1/(2C) Konstante in Gl. (35) - c_p spezifische Wärme bei konstantem Druck - D binärer Diffusionskoeffizient - Ec=u ² /(2h_f) Eckert-Zahl - h spezifische Enthalpie - h_t=h+u²/2 totale spezifische Enthalpie - h _A ⁰ spezifische Dissoziationsenthalpie - K_w Reaktionsgeschwindigkeitskonstante der heterogenen Wandreaktion - 1= /( ) Champman-Rubesin-Parameter - Le=Pr/Sc Lewis-Zahl - M Molmasse - p statischer Druck - Pr= c_pf/ Prandtl-Zahl - q_w Wärmestromdichte an der Wand - q_cw, q_dw Wärmeleitungsbzw. Diffusionsanteil der Wärmestromdichte an der Wand - universelle Gaskonstante - R=/(2M_a) individuelle Gaskonstante der molekularen Komponente - Re_x= u x/ Reynolds-Zahl - Sc=/( D) Schmidt-Zahl - T absolute Temperatur - T_d=h _A ⁰ /R charakteristische Dissoziationstemperatur - u, v x- und y-Komponenten der Geschwindigkeit - U=u/u normierte x-Komponente der Geschwindigkeit - x, y Koordinaten parallel und senkrecht zur Platte Griechische Symbole - =A/ Dissoziationsgrad - Grenzschichtdicke - ₂ Impulsverlustdicke - Damköhler-Zahl der Oberflächenreaktion - =T/T normierte Temperatur - =y/ normierter Wandabstand - Wärmeleitfähigkeit - dynamische Viskosität - , ^* Ähnlichkeitskoordinaten - Dichte - Schubspannung Indizes A auf ein Atom bezogen - M auf ein Molekül bezogen - f auf den eingefrorenen Zustand bezogen - w auf die Wand bezogen - auf den Außenrand der Grenzschicht bezogen     

Unsteady convective diffusion in a rotating parallel plate channel

The paper presents an exact analysis of the dispersion of a passive contaminant in a viscous fluid flowing in a parallel plate channel driven by a uniform pressure gradient. The channel rotates about an axis perpendicular to its walls with a uniform angular velocity resulting in a secondary flow. Using a generalized dispersion model which is valid for all time, we evaluate the longitudinal dispersion coefficientsK _i (i=1, 2, ...) as functions of time. It is shown thatK ₁=0 andK ₃,K ₄, ... decay rapidly in comparison withK ₂. ButK ₂ decreases with increasing (the dimensionless rotation parameter) for values of upto approximately =2.2. ThereafterK ₂ increases with further increase in and its value gets saturated for large values of (say, 500) and does not change any further with increase in . A physical explanation of this anomalous behaviour ofK ₂ is given.

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Instationäre konvektive Diffusion in einem rotierenden Parallelplattenkanal

Zusammenfassung In dieser Untersuchung wird eine exakte Analyse der Ausbreitung eines passiven Kontaminierungsstoffes in einer zähen Flüssigkeit gegeben, die, befördert durch einen gleichförmigen Druckgradienten, in einem Parallelplattenkanal strömt. Der Kanal rotiert mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine zu seinen Wänden senkrechte Achse, wodurch sich eine Sekundärströmung ausbildet. Unter Verwendung eines generalisierten, für alle Zeiten gültigen Dispersionsmodells werden die longitudinalen DispersionskoeffizientenK _i (i=1, 2, ...) als Funktionen der Zeit ermittelt. Es wird gezeigt, daßK ₁=0 gilt und dieK ₃,K ₄, ... gegenüberK ₂ schnell abnehmen.K ₂ nimmt ab, wenn , der dimensionslose Rotationsparameter, bis etwa zum Wert 2,2 ansteigt. Danach wächstK ₂ mit bis auf einem Endwert an, der etwa ab =500 erreicht wird. Dieses anomale Verhalten vonK ₂ findet eine physikalische Erklärung.

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List of symbols C solute concentration - D molecular diffusivity - K _i longitudinal dispersion coefficients - 2L depth of the channel - P ₀ dimensionless pressure gradient along main flow - Pe Péclet number - q velocity vector - Q _x,Q _y mass flux along the main flow and the secondary flow directions - dimensionless average velocity along the main flow direction - (x, y, z) Cartesian co-ordinates Greek symbols dimensionless rotation parameter - the inclination of side walls withx-axis - kinematic viscosity - fluid density - dimensionless time - angular velocity of the channel - dimensionless distance along the main flow direction - dimensionless distance along the vertical direction - dimensionless solute concentration - integral of the dispersion coefficientK ₂() over a time interval     

Turbulent heat and mass transfer for Pr ≫ 1 and law of turbulent diffusion damping at a solid wall

The question of determining the law of damping for the turbulent diffusion coefficient at a smooth wall according to data on mass and heat transfer for Pr 1 is discussed. It is proved that the hypothesis that this law is determined by the first member of the Taylor series expansion of , namely, / = yⁿ ₊ is valid in the Pr range from 10³ to 10⁵ only under the assumption that the subsequent terms in the expansion have smaller coefficients. A statistical analysis of electrochemical and other experiments devoted to this problem shows that apparently n = 3, but singularities in the experimental results do not permit making a final conclusion. Requirements on a conclusive experiment are formulated on the basis of the analysis made.Translated from Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, No. 2, pp. 172–175, March–April, 1977.     

On the laminar forced convection with axial conduction in a circular tube with exponential wall heat flux

The values of the fully developed Nusselt number for laminar forced convection in a circular tube with axial conduction in the fluid and exponential wall heat flux are determined analytically. Moreover, the distinction between the concepts of bulk temperature and mixing-cup temperature, at low values of the Peclet number, is pointed out. Finally it is shown that, if the Nusselt number is defined with respect to the mixing-cup temperature, then the boundary condition of exponentially varying wall heat flux includes as particular cases the boundary conditions of uniform wall temperature and of convection with an external fluid.

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Über laminare Zwangskonvektion mit Längswärmeleitung in einem Kreisrohr mit exponentiell veränderlichem Wandwärmefluß

Zusammenfassung Es werden die Endwerte der Nusselt-Zahlen für vollausgebildete laminare Zwangskonvektion in einem Kreisrohr mit Längswärmeleitung und exponentiell veränderlichem Wandwärmefluß analytisch ermittelt. Besondere Betonung liegt auf dem Unterschied zwischen den Konzepten für die Mittel- und die Mischtemperatur bei niedrigen Peclet-Zahlen. Schließlich wird gezeigt, daß bei Definition der Nusselt-Zahl bezüglich der Mischtemperatur die Randbedingung exponentiell veränderlichen Randwärmeflusses die Spezialfälle konstanter Wandtemperatur und konvektiven Wärmeaustausches mit einem umgebenden Fluid einschließt.

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Nomenclature A _n dimensionless coefficients employed in the Appendix - Bi Biot numberBi=h _e r ₀/ - c _n dimensionless coefficients defined in Eq. (17) - c _p specific heat at constant pressure of the fluid within the tube, [J kg^–1 K^–1] - f solution of Eq. (15) - h ₁,h ₂ specific enthalpies employed in Eqs. (2) and (4), [J kg^–1] - h _e convection coefficient with a fluid outside the tube, [W m^–2 K^–1] - rate of mass flow, [kg s^–1] - Nu bulk Nusselt number,2r ₀ q _w /[(T _w –T _b )] - Nu _H fully developed value of the bulk Nusselt number for the boundary condition of uniform wall heat flux - Nu _T fully developed value of the bulk Nusselt number for the boundary condition of uniform wall temperature - Nu ^* mixing Nusselt number,2r ₀ q _w /[(T _w –T _m )] - Nu _C ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of convection with an external fluid - Nu _H ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of uniform wall heat flux - Nu _T ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of uniform wall temperature - Pe Peclet number, 2r ₀/ - q ₀ wall heat flux atx=0, [W m^–2] - q _w wall heat flux, [W m^–2] - r radial coordinate, [m] - r ₀ radius of the tube, [m] - s dimensionless radius,s=r/r ₀ - T temperature, [K] - T ₀ temperature constant employed in Eq. (14), [K] - T reference temperature of the fluid external to the tube, [K] - T _b bulk temperature, [K] - T _m mixing or mixing-cup temperature, [K] - T _w wall temperature, [K] - u velocity component in the axial direction, [m s^–1] - mean value ofu, [m s^–1] - x axial coordinate, [m] Greek symbols thermal diffusivity of the fluid within the tube, [m² s^–1] - exponent in wall heat flux variation, [m^–1] - dimensionless parameter - dimensionless temperature =(T _w –T)/(T _w –T _b ) - ^* dimensionless temperature ^*=(T _w –T)/(T _w –T _m ) - thermal conductivity of the fluid within the tube, [W m^–1 K^–1] - density of the fluid within the tube, [kg m^–3]     

Rheologie pathologischer Gelenkflüssigkeiten

Zusammenfassung Die eingehende Analyse des viskoelastischen Verhaltens von 193 Kniegelenkspunktaten verschiedenster entzündlicher und nichtentzündlicher Gelenkerkrankungen ließ keine wesentlichen diagnostischen Hilfen für klinische Problemfälle erkennen. Untersucht wurden im einzelnen Fließkurven einschließlich der Anfangsviskosität ₀ und durch eine Normierungsmethode ermittelte master-curves, sowie Normalspannungen und in 3 Fällen gleichzeitig auch der SpeichermodulG und der VerlustmodulG mit Hilfe von dynamischen Messungen.Durch Vergleich der pathologischen Gelenkpunktate mit normaler, post mortal gewonnener gepoolter Synovia ließ sich ein Eindruck vom Grad der gestörten Viskoelastizität gewinnen. Dabei lassen die erniedrigten Hyaluronsäure-Konzentrationen, die Veränderungen der konzentrationsunabhängigen Knickzeitt _k> und die master-curve erkennen, daß hierfür sowohl eine verringerte Konzentration als auch ein geringeres Molekulargewicht der Hyaluronsäure verantwortlich ist. Konzentrierungsversuche pathologischer Synovia ergaben den Hinweis auf die Entstehung von Mikrogelen und ließen in Fällen zuvor fehlender Normalspannungen auch nach der Eindickung keine Normalspannungen erkennen. Es wird deshalb auch die Möglichkeit gestörter intermolekularer Interaktionen in der pathologischen Synovia diskutiert.

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Summary A thorough analysis of the viscoelastic behaviour of 193 synovial fluid samples of knee joints concerning different joint diseases (inflammatory and non-inflammatory) gives no essential diagnostic help in case of clinical problems.Investigations were done particularly on flow curves including the Newtonian viscosity ₀ and normal forces, and with the help of a standardization-method we got master curves. In three cases we also got dynamic properties i.e. the elastic modulusG and the loss modulusG. By comparison of the pathological synovial fluid samples with normal, post-mortem pooled synovial fluid one gets an idea of the degree of disturbance on viscoelasticity. It was found that the reduced concentration and the lower molecular weight of the hyaluronic acid are responsible for the pathological variation of the concentration independent bending timet _k as well as the shape of the master curves.Tests on concentrated pathological synovial fluids indicate the beginning formation of micro-gels. In cases of absence of normal forces even after concentration no normal forces could be detected. Therefore the possibility of disturbed intermolecular interactions in pathological synovial fluids will be discussed, too.

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D Schergeschwindigkeit - D _K D-Koordinate des Tangentenschnittpunktes - t _k Knickzeit - s Steigung des geradlinigen Anteils der Fließkurve - scheinbare Viskosität - _m mittlere Viskosität beiD = 10² s^–1 - ₀ Anfangsviskosität, Nullviskosität - Endviskosität - _{N 11} – ₂₂ 1. Normalspannungsdifferenz - G ₀ Ruheschermodul - G ^* komplexer (dynamischer) Schermodul - G Speichermodul - G Verlustmodul - Winkelgeschwindigkeit - Winkel der Phasendifferenz - Kegelwinkel - d Durchmesser von Kegel und Platte des Meßsystems - f Frequenz der vorgegebenen Oszillation - f _n Eigenfrequenz des Torsionskopfes - _IA Amplitude der Eingangsschwingung - _TA Amplitude der Ausgangsschwingung - _I axiale Bewegung der Schneckenwelle - _T Bewegung des Torsionskopfverminderers - [] Grenzviskositätszahl (Staudinger-Index) - v Verhängungszahl - r Korrelationskoeffizient - m Mittelwert - s Standardabweichung - p Signifikanzniveau - n.s. nicht signifikant p > 0,05 Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.Mit 9 Abbildungen und 8 Tabellen     

A power-law fluid flow past a porous sphere

Summary A model has been developed for the flow of a non-Newtonian fluid past a porous sphere. The drag force exerted on a porous sphere moving in a power-law fluid is obtained by an approximate solution of equations of motion in the creeping flow regime. It is predicted that the effect of the pseudoplastic anomaly on the drag force is more pronounced at large porosity parameters.

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Zusammenfassung Es wird ein Modell für die Strömung einer nichtnewtonschen Flüssigkeit längs einer porösen Kugel entwickelt. Die auf die in einer Ostwald-DeWaele-Flüssigkeit bewegte Kugel ausgeübte Reibungskraft wird durch eine Näherungslösung der Bewegungsgleichungen für schleichende Strömung gewonnen. Man findet, daß der Einfluß der Abweichung vom newtonschen Verhalten um so ausgeprägter wird, je größer die Porosität ist.

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A, B, C, D a, b, c, d coefficients in eqs. [10] and [18] - F _D drag force - K consistency index in power-law model - k ₁ ,k ₂ coefficients defined by eq. [18] - m porosity parameter - n flow index in power-law model - P pressure - P ^* dimensionless pressure defined by eq. [4] - P pressure difference - R radius of porous sphere - r radial distance from the center of the sphere - U velocity of uniform stream - u _i velocity component - u _i ^* dimensionless velocity component defined by eq. [4] - Y drag force correction factor defined by eq. [27] - _ij rate of deformation tensor - _ij ^* dimensionless rate of deformation tensor defined by eq. [4] - , spherical coordinates - dimensionless radial distance defined by eq. [4] - second invariant of rate of deformation tensor - ^* dimensionless second invariant of rate of deformation tensor defined by eq. [4] - _ij stress tensor - _ij ^* dimensionless stress tensor defined by eq. [4] - stream function - ^* dimensionless stream function defined by eq. [4] - i inside the surface of the sphere - o outside the surface of the sphere With 1 figure and 1 table     

Similar solutions and the asymptotics of filtration equations

In this paper we consider the asymptotic behavior of solutions of the quasilinear equation of filtration as t. We prove that similar solutions of the equation u _t = (u )_xx asymptotically represent solutions of the Cauchy problem for the full equation u _t = [(u)]_xx if (u) is close to u for small u.     

Dehnströmungen mit verdünnten Polymerlösungen: Ein theoretisches Modell und seine experimentelle Verifikation

Zusammenfassung Es werden theoretische Überlegungen zusammenfassend dargestellt, welche die Streckung und Ausrichtung von flexiblen Makromolekülen in stationären einfachen Dehnströmungen beschreiben. Die Makromoleküle werden hierbei als EDNE-(endlich dehnbare, nichtlinear elastische) Hanteln modelliert. Für den Fall niedriger bzw. hoher Dehnungsraten werden Dehnviskositätsgleichungen für Strömungen mit verdünnten Polymerlösungen angegeben.Die Arbeit vergleicht die abgeleiteten theoretischen Gleichungen mit experimentellen Ergebnissen, welche für Porenströmungen erhalten wurden; Porenströmungen weisen Dehnströmungen auf. Anhand der durchgeführten experimentellen Untersuchungen, in denen alle die den Druckverlust maßgebend beeinflussenden strömungsmechanischen und physikalisch-chemischen Parameter variiert wurden, kann gezeigt werden, daß sich die aufgezeigten theoretischen Zusammenhänge quantitativ bestätigen lassen.Schlüsselwörter Dehnströmung, Makromolekülmodell, Porenströmung, EDNE-Hantelmodell, Polymerlösung

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Summary The present paper summarizes theoretical considerations regarding the elongation of flexible macromolecules in simple steady elongational flows. The macromolecules are treated as FENE(finite extensible, nonlinear elastic)-dumbbells. Equations for extensional viscosity are given for flows of dilute polymer solutions applicable at low and high elongation rates.The present paper compares the derived theoretical relationships with experimental results. These results were obtained in porous media flows, which exhibit strong elongational rates. It can be shown on the basis of the experimental investigations, that all fluid mechanic and physico-chemical parameters that influence the measured pressure losses responded as predicted by the theory.

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a Mark-Houwink-Exponent - A Avogadro-Konstante - b Verhältnis von Molekülzeitkonstanten - c Polymergewichtskonzentration - d Kugeldurchmesser der Schüttung - D Diffusionskonstante - De Deborahzahl - f Reibungsbeiwert der Porenströmung - F Kraftvektor des Hantelmodells - g Erdbeschleunigung - H Hookesche Federkonstante des Makromoleküls - k Boltzmann-Konstante - k _1,2,3 empirische Konstanten - K Mark-Houwink-Konstante - l ₀ Länge des Monomeren - L Länge des statistischen Fadenelementes - L ₀ Maximallänge des gestreckten Polymermoleküls - L Bezugslänge für den Druckverlust der Porenströmung - m Masse des statistischen Fadenelementes - m ₀ Masse des Monomeren - Molarität - M Molekulargewicht des Polymeren - n Porosität der Kugelschüttung - n ₀ Hantelkonzentration - N Anzahl der statistischen Fadenelemente - p Druckverlust der Porenströmung - P Polymerisationsgrad - R Endpunktabstand des Makromoleküls - R ₀ maximaler Endpunktabstand des gestreckten Moleküls - mittlerer Endpunktabstand des Moleküls - Orientierungsvektor des Hantelmodells - Re Reynoldszahl der Porenströmung - t Zeit - T Temperatur - mittlere Filtergeschwindigkeit der Porenströmung - v Strömungsfeld - Aufweitungsparameter - Bindungswinkel zweier Kohlenstoffatome - Dehnungsrate - Stokesscher Reibungsfaktor - dynamische Viskosität - ^* reduzierte Viskosität - [] Grenzviskositätszahl - Dehnviskosität - ^* reduzierte Dehnviskosität - Widerstandskennzahl der Porenströmung - v kinematische Viskosität - Dichte des Fluids - _H Hookesche Relaxationszeit des EDNE-Hantelmodells - _H,e Hookesche Relaxationszeit des linear elastischen Hantelmodells - _R Relaxationszeit des starren Hantelmodells - _zz , _yy Normalspannungen - Volumenkonzentration - _fl. dimensionsloser Faktor des Strömungsfeldes - ₀ Konstante der Flory-Fox-Gleichung - Verteilungsfunktion des Hantelmodells - _eq. Gleichgewichtsverteilungsfunktion - a aufgeweitet - e effektiv - max maximal - p polymer - s solvent, Lösungsmittel - Theta-Zustand Mit 12 Abbildungen und 2 Tabellen     

Messung und Berechnung des örtlichen und mittleren Stoffübergangs an stumpf angeströmten Kreisscheiben bei unterschiedlicher Turbulenz

Zusammenfassung In einer vergleichenden Literaturübersicht zu Umströmung, Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung sowie Wärme- und Stoffübergang werden bislang vorliegende Angaben zu stumpf angeströmten Kreisscheiben und -Zylindern zusammengefaßt. Wenige und zudem divergierende Ergebnisse zum Wärme- und Stoffübergang machen grundlegende experimentelle und theoretische Untersuchungen notwendig, wie sie in [l, 2] für die Eichung von Stoffübergangsmeßmethoden benötigt werden.Unter Einbeziehung des quer angeströmten Kreiszylinders wird gezeigt, daß genaue Angaben zum Wärme- und Stoffübergang bei zwei- wie dreidimensionalen Staupunktströmungen bislang nur über die Messung möglich sind. Über gemessene Geschwindigkeitsverteilungen berechnete Stoffübergangskoeffizienten werden von der Messung nicht bestätigt. Sie liegen gegenüber dem Experiment zu niedrig.Die Messungen wurden bei Turbulenzintensiten 0,8%Tu6%, Reynolds-Zahlen 2·10³5 und Scheibendurchmessern 9,3mmd73,7mm durchgeführt. Der Einfluß der Turbulenz auf den Stoffübergang im Staupunkt von Kreisscheiben kann nur näherungsweise über den Smith-Kuethe-Parameter Tu · Re/100 erfaßt werden. Differenzen zwischen Theorie nach Smith und Kuethe für Tu· Re<5 und Messung lassen sich über die Stabilitätstheorie erklären. Für eine genauere Erfassung des Stoffübergangs muß den unterschiedlichen Transportvorgängen über Turbulenzballen oder Längswirbeln sowie der Struktur der Turbulenz Rechnung getragen werden.

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Measuring and computation of local and average mass transfer to disks in cross flow at different turbulence intensities

The results of different publications concerning the flow, pressure and velocity distributions as well as the heat and mass transfer of disks and cylinders in cross flow are compared by a literature review. A few diverging results for heat and mass transfer require new experimental and theoretical approaches. The calibration of recently developed techniques for the determination of mass transfer rates as published in [1, 2] make these investigations expecially necessary. Including the cylinder in cross flow the authors show, that up to now exact data of heat and mass transfer for two- or three-dimensional flow at a forward stagnation region can be obtained by direct measuring only.Mass transfer coefficients computed from measured velocity distributions are not confirmed by the experimental results. Compared to the experimental data they are too low. The measurements were accomplished for turbulence intensities 0.8%Tu6%, Reynolds-numbers 2· 10³5 and disk diameters 9.3 mm d 73.7 mm.The influence of the turbulence on the stagnation point mass transfer of disks can be obtained only approximately by the Smith-Kuethe-parameter Tu·Re/100. Differences between theoretical results of Smith and Kuethe and experimental ones for Tu·Re/100<5 may be explained by the stability theory. For a more accurate determination of the mass transfer the different transport mechanisms of the scale of turbulence or the tree-dimensional flow pattern like Taylor-Görtler-vortices as well as the structure of the turbulence itself have to be regarded.

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Bezeichnungen a Temperaturleitkoeffizient - C_p Beiwert für den statischen Druck - C₂, C₃ Gradient der bezogenen Geschwindigkeit U⁺ am Staupunkt bei ebener, räumlicher Strömung - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - d Durchmesser - Fr=Sh/Re Frössling-Zahl für den Stoffübergang - Fr=Nu/Re Frössling-Zahl für den Wärmeübergang - Le=a/D_A Lewis-Zahl - L Bezugslänge - M Maschenweite von Turbulenzgittern - Nu=·d/ Nußbelt-Zahl - n Exponent der Prandtl-bzw. Schmidt-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - p Druck, Partialdruck - p_x statischer Druck an der Stelle x am Rand der Grenzschicht - Re=U · d/ Reynolds-Zahl - r Radius - r(x) radiale Distanz von der Rotationsachse eines Körpers zu einem Oberflächenelement - Sc=/D_A Schmidt-Zahl - Sh= _A ·d/D_A Sherwood-Zahl - T absolute Temperatur - Tu Turbulenzintensität (Turbulenzgrad) in% - U Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - U Hauptströmungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt - U⁺=U/U bezogene Geschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - u Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung, tangential zur Oberfläche - mittlere turbulente Geschwindig-keitsschwankung in x-Richtung - v Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung, normal zur Oberfläche - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - x_G Entfernung vom Turbulenzgitter in Strömungsrichtung - x⁺ bezogene Länge x/r - y Koordinate normal zur Oberfläche - Wärmeübergangskoeffizient - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - dimensionsloses Temperaturgefälle an der Wand - Keilvariable - Wärmeleitkoeffizient - Wirbelweilenlänge (mm) - kinematische Zähigkeit - transformierte bezogene Länge - _A Partialdichte von Ammoniak Indices B mit Korrektur aufgrund der Verengung - m mittel - S bezogen auf die Kreisscheibe - Z bezogen auf den Kreiszylinder Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Ipfelkofer zum 70. Geburtstag am 7. April 1977 gewidmet.     

Rheologie pathologischer Gelenkflüssigkeiten

Zusammenfassung Zur Charakterisierung der Lösungsstruktur pathologischer Synovialflüssigkeiten wurden parallel rheologische Untersuchungen sowohl im Bereich konzentrierter als auch verdünnter Lösungen durchgeführt. Durch die Berücksichtigung der Scherabhängigkeit der Grenzviskositätszahl [] und Messung bei niedrigen Schergeschwindigkeiten (D 2,9 10^–3 – 4,6 s^–1) errechneten sich höhere Molekulargewichte der Hyaluronsäure (HA) als bisher angegeben. Für entzündliche Gelenkergüsse betragen sie (2,4–12,0) 10⁶, für nicht entzündliche (3,1–11,4) 10⁶ und sind damit gegenüber der normalen Synovia mit 16,2 10⁶ erniedrigt. Unterschiedlichek _SB-Werte sprechen zusätzlich für eine stärkere Verknäuelung der HA-Makromoleküle in der pathologischen Synovia.Durch Ermittlung der kritischen Polymerkonzentration der HA sowie der Verhängungszahlenv aus Anlaufmessungen konnten quantitative Aussagen zum makromolekularen Netzwerk getroffen werden. Die normale Synovia entspricht einem sehr engmaschigen und dichten Netz, aber auch in den pathologischen Gelenkflüssigkeiten ist die HA nicht im Sinne einer Partikellösung isoliert, sondern bildet ein, wenn auch lockeres Netzwerk mit wesentlich niedrigerer Verhängungszahl. Eine Erniedrigung der Viskosität und Elastizität isolierter HA weist darauf hin, daß molekulare Wechselwirkungen zwischen HA und anderen Makromolekülen in der Synovialflüssigkeit für das rheologische Verhalten von wesentlicher Bedeutung sind. Relaxationszeitmessungen in Ruhe und unter Scherung zeigten eine vermehrte Segmentbeweglichkeit des Netzwerkes der pathologischen Synovia als Folge der HA-Konzentrationsabnahme und/oder Molekulargewichtsverminderung.

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Summary Rheological investigations were done in concentrated as well as diluted solutions to characterize the solution structure of pathological synovial fluids. By looking at the shear rate dependence of [] at low shear rates (D 2,9 10^–3 – 4,6 s^–1) higher molecular weights were determined than reported before. The so determined molecular weights of hyaluronic acid (HA) are in the range ofM = 2,4 10⁶–12 10⁶ g/mol in inflammatory joint diseases and in non-inflammatory in a range ofM = 3,1 10⁶–11,4 10⁶ g/mol and therefore both are lower than in normal synovial fluids,M = 16,2 10⁶ g/mol. Additional distinctk _SB-values indicate a compacter coil of HA macromolecules in the pathological synovial fluid.Quantitative statements can be made to the macromolecular network structure by determination of the critical HA polymer concentration and the number of entanglements resulting from prestationary measurements. The normal synovial fluid is comparable with a very narrow-meshed and dense network, but also in the pathological synovial fluid the HA is not isolated like in a particle solution but forms a much looser entanglement network structure. The reduction of viscosity and elasticity of isolated HA indicate that molecular interactions between HA and other macromolecules in synovial fluid are of essential significance for the rheological behaviour. Measurements of relaxation time at rest as well as shear conditions show a higher segment-flexibility of macromolecular network structure resulting from a reduction of HA-concentration and/or molecular weight in the pathological synovial fluid.

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D Schergeschwindigkeit - D _K D-Koordinate des Tangentenschnittpunktes der Fließkurve - t _k Knickzeit (Relaxationszeit) - scheinbare Viskosität (Scherviskosität) - ₀ Anfangs-, Nullviskosität - _rel relative Viskosität - _sp spezifische Viskosität - _red = _sp/c reduzierte Viskosität - [] Grenzviskositätszahl (Staudinger-Index) - A Flächenmaß der master-curve - G ₀ Ruheschermodul - G _s Schermodul der strömenden Lösung - _N = ₁₁ – ₂₂ erste Normalspannungsdifferenz - ₁₂ Schubspannung - ₀ scheinbare Relaxationszeit der ruhenden Lösung - scheinbare Relaxationszeit der strömenden Lösung - v Verhängungszahl - M Molekulargewiht - s ₂₀ Sedimentationskoeffizient bezogen auf 20°C - s ₂₀ ⁰ Sedimentationskoeffizient bezogen auf 20°C bei unendlicher Verdünnung (c 0) - c Hyaluronsäure-Konzentration - c _krit kritische Hyaluronsäure-Konzentration - c _p Protein-Konzentration - _äqu Dichte äquivalenter Kugeln - Dichte des Mediums im Kegel/Platte-Spalt - Winkelgeschwindigkeit - R Radius von Kegel und Platte des Meßsystems - r Korrelationskoeffizient - p Signifikanzniveau Herrn Prof. Dr. med.Fritz Hartmann zu seinem 60. Geburtstag gewidmet.Mit 14 Abbildungen und 5 Tabellen     

The dynamic performance of the Weissenberg rheogoniometer III. Large amplitude oscillatory shearing — harmonic analysis

The harmonic content of the nonlinear dynamic behaviour of 1% polyacrylamide in 50% glycerol/water was studied using a standard Model R 18 Weissenberg Rheogoniometer. The Fourier analysis of the Oscillation Input and Torsion Head motions was performed using a Digital Transfer Function Analyser.In the absence of fluid inertia effects and when the amplitude of the (fundamental) Oscillation Input motion _I is much greater than the amplitudes of the Fourier components of the Torsion Head motion _Tn empirical nonlinear dynamic rheological propertiesG _n (, ⁰),G _n (, ⁰) and/or _n (, ⁰), _n (, ⁰) may be evaluated without a-priori-knowledge of a rheological constitutive equation. A detailed derivation of the basic equations involved is presented.Cone and plate data for the third harmonic storage modulus (dynamic rigidity)G ₃ (, ⁰), loss modulusG ₃ (, ⁰) and loss angle ₃ (, ⁰) are presented for the frequency range 3.14 × 10^–2 1.25 × 10² rad/s at two strain amplitudes, _CP ⁰ = 2.27 and 4.03. Composite cone and plate and parallel plates data for both the third and fifth harmonic dynamic viscosities ₃ (, ⁰), _S (, ⁰) and dynamic rigiditiesG ₃ (, ⁰),G ₅ (, ⁰) are presented for strain amplitudes in the ranges 1.10 _CP ⁰ 4.03 and 1.80 _PP ⁰ 36 for a single frequency, = 3.14 × 10^–1 rad/s. Good agreement was obtained between the results from both geometries and the absence of significant fluid inertia effects was confirmed by the superposition of the data for different gap widths.     

Deformation to breaking of deep water gravity waves

The results of laboratory observations of the deformation of deep water gravity waves leading to wave breaking are reported. The specially developed visualization technique which was used is described. A preliminary analysis of the results has led to similar conclusions than recently developed theories. As a main fact, the observed wave breaking appears as the result of, first, a modulational instability which causes the local wave steepness to approach a maximum and, second, a rapidly growing instability leading directly to the breaking.List of symbols L total wave length - H total wave height - crest elevation above still water level - trough depression below still water level - wave steepness =H/L - crest steepness =/L - trough steepness =/L - F ₁ forward horizontal length from zero-upcross point (A) to wave crest - F ₂ backward horizontal length from wave crest to zero-downcross point (B) - crest front steepness =/F ₁ - crest rear steepness =/F ₂ - vertical asymmetry factor=F ₂/F ₁ (describing the wave asymmetry with respect to a vertical axis through the wave crest) - µ horizontal asymmetry factor=/H (describing the wave asymmetry with respect to a horizontal axis: SWL) - T ₀ wavemaker period - L ₀ theoretical wave length of a small amplitude sinusoïdal wave generated at T _inf0 ^sup–1 frequency - ₀ average wave height     

An exact solution for non-darcy free convection from a horizontal line source of heat

In this paper we consider the free convection from a horizontal line source of heat which is embedded in an unbounded porous medium saturated with a fluid at rest under gravity. The convective fluid and the porous medium are in local thermal equilibrium.

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Eine exakte Lösung der nicht-darcy'schen freien Konvektion von einer horizontalen, linienförmigen Wärmequelle

Zusammenfassung In dem Aufsatz wird die freie Konvektion von einer horizontalen, linienförmigen Wärmequelle untersucht, die in ein unbegrenztes poröses Medium eingebettet ist. Die Poren des porösen Mediums sind mit einem Fluid gefüllt, das unter Schwerkrafteinfluß ruht. Das strömende Fluid und das poröse Medium sind örtlich im thermischen Gleichgewicht.

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Nomenclature c _p specific heat of convective fluid - F _o parameter,=/(vl>g - g acceleration due to gravity - k thermal conductivity of the saturated porous medium - l typical length scale of body - Q heat flux per unit length of a line source - Ra Rayleigh number, =gQl/²c_p - Ra _x local Rayleigh number, =xg Qx/ a²c_p - T temperature - T temperature of ambient fluid - u, x andy components of velocity - x, y coordinates vertically upwards and normal to axis of plume - X, Y non-dimensional coordinates vertically upwards and normal to axis of plume Greek symbols equivalent themal diffusivity - coefficient of thermal expansion - similarity variable - non-dimensional temperature - x permeability of porous medium - viscosity of convective fluid - v kinematic viscosity of convective fluid - density of convective fluid - stream function - non-dimensional stream function - the Forchheimer's coefficient     

Estimate of the transient conduction of heat in materials with linear thermal properties based on the solution for constant properties

A method of analysis is described which yields quasianalytical solutions for one and multidimensional unsteady heat conduction problems with linearly dependent thermal properties, such as thermal conductivity and volumetric specific heat. The method accomodates rather general thermal boundary conditions including arbitrary variations in surface temperature or in surface heat flux or a convective exchange with a fluid having even varying temperature. Once the solution for the identical problem but with constant properties has been developed, its practical realization is rather direct, being facilitated by a reduced number of iterations. The four applied examples given in this work show that a wide variety of nonlinear heat conduction problems can be tackled by this procedure without much difficulty. These simple solutions compare favorably with more laborious results reported in the archival heat transfer literature.

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Berechnung nichtstationärer Wärmeleitvorgänge mit linear temperaturabhängigen Stoffwerten aus der Lösung für konstante Stoffwerte

Zusammenfassung Es werden quasi-analytische Lösungen für ein- und mehrdimensionale nichtstationäre Wärmeleitprobleme mit linear temperaturabhängigen Stoffwerten, wie Wärmeleitfähigkeit und volumetrische Wärmekapazität, mitgeteilt. Die Methode gilt für recht allgemeine Randbedingungen wie beliebige Veränderungen der Oberflächentemperatur, der Wärmestromdichte oder auch konvektiven Wärmeaustausch mit veränderlicher Fluidtemperatur. Ist die Lösung für das identische Problem mit konstanten Stoffwerten bekannt, kann die Methode direkt mit einer begrenzten Zahl von Iterationen angewandt werden. Die vier hier mitgeteilten Beispiele zeigen, daß eine große Zahl nichtlinearer Wärmeleitprobleme auf diese Weise ohne Schwierigkeit angepackt werden können. Die einfachen Lösungen stimmen befriedigend mit komplizierteren Ergebnissen aus der Literatur überein.

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Nomenclature a side of square bar - B _i0 reference Biot number,hR/k₀ - B _i0 ^T transformed Biot number, equation (16) - c geometric parameter, equation (8) - h convective coefficient - k thermal conductivity - k ₀ value ofk atT ₀ - K dimensionless thermal conductivity,k/k ₀ - K _i value ofK at _i - K _i+1 value ofK at _i+1 - m _k slope of theK- line, equation (3) - m _s slope of theS- line, equation (4) - R characteristic length - s volumetric specific heat - s ₀ value of s at T₀ - S dimensionless volumetric specific heat, s/s₀ - S _i value ofS at _i - S _i+1 value of S at _i+1 - t time - T temperature - T ₀ reference temperature - x, y cartesian coordinates - X, Y dimensionless cartesian coordinates,x/a andy/a - thermal diffusivity - _k transformed time, equation (11) - _s transformed time, equation (37) - _k dimensionless time for variable conductivity, equation (8) - _s dimensionless time for variable specific heat, equation (34) - dimensionless temperature,T/T ₀ - dimensionless coordinate,r/R - ₀ value of at T₀ - _i lower value of the interval (_i, _i+1) - _i+1 upper value of the interval (_i, _i+1