一题一议

已知:,有诸如求的值之类的题目。其实这类问题用复数处理是很简单的,对一般情况,可以得到十分优美的结果,使对这类题目的答案可脱口而出。事实上,x x~(-1) =1x~2-x 1=0,其二根是一对共轭虚数:cosπ±isinπ/3。于是,对任是一对共轭虚数:cosπ/3±isinπ/3。于是,对任意自然数n,有     

溯源拓展 一题一法

“教育要面向现代化,面向世界,面向未来”。课本内容也必须不断更新。为了加大课本的容量和密度,编者在精编精选的过程中,往往要求从一个特例引伸推至一般,也常常要求从一个习题总结出一类规律。可谓精心设计,颇具匠心。这就要求教师不仅在知识系统内容上要注意按课本准确传授,还要在习题教学中注重运用求异思维、逆向思维等心理手段和方法,追根溯源,引伸拓展,以领会编者意图,挖掘内在联系,总结解题规律,提高学生能力。例如,在高中《立体几何》课本中P124,有如下一题: “一个多面体的各面都与一个球相切,求证:多面体的体积等于它的表面积与球的半径的积的三分之一”。     

一题多解一例

<正>~~     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

一题多解一例

<正>题目如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC的延长线上,且CD=AB,∠CBD=30°,求证:AC·BD/AB²为定值.该题源自本刊一文,作者用余弦定义与余弦定理巧妙结合的方法来解恰到好处,但显得冗长繁锁.笔者探究的几何解法更为简单,且易为同学们接受,现介绍于后供赏折.为方便起见我们不妨设AC=x,BD=y,     

一剪刀剪出一条正弦曲线

把一张纸卷到圆柱形的纸筒侧面上 ,卷上几圈 .用剪刀斜着将纸筒剪断 ,再把卷着的纸展开 .你就会看到 :纸的边缘线是一条波浪形的曲线 .你知道吗 ?这条曲线就是正弦曲线 !下面就来证明这一事实 .如图 1,设纸筒底面半径为 1单位长 ,截面 (椭圆面 )与底面所成的二面角为θ(定值 ) ,截口的中心为Ｏ′ .过Ｏ′作圆柱的直截面 ,交截口曲线于两点 .取其中一点为Ｏ ,在过点Ｏ且与圆柱侧面相切的平面内 ,以点Ｏ为坐标原点建立直角坐标系 ,使得ＯＹ轴是圆柱的一条母线 .设点Ｐ是截口曲线上任意一点 ,点Ｑ是点Ｐ在⊙Ｏ′所在平面内的射影 .过Ｑ作ＱＨ⊥…     

一题一议话转化

例 一个零件的形 状如图1所示,零件要求 ∠A应等于90°,∠B和 ∠C应分别为35°和23°, 检验工人量得∠BDC= 151°就判定这个零件不 合格,你知道为什么吗?能否运用有关知识 说明不合格的理由?     

一篇刊文的一处错误

贵刊2007年11月上第8页文《辅助元素的作用及应用策略》有一处错误,现先将原文部分摘录如下：     

巧用一例题解一名题

巧用一例题解一名题３０１６００天津市静海一中陈文明高级中学课本（甲种本）代数第二册Ｐ９１有一例７：已知ａ、ｂ、ｍ∈Ｒ＋，且ａ＜ｂ，求证：下面，我们利用此不等式证明波兰数学家斯坦国豪斯所编一道著名题目：其中所有字母都代表正数．证明注意到所有字母都是正数...     

精解一题 复习一片

本文介绍一道极具训练价值的好题．其多种解法中,涉及函数、三角、极限与导数、直线与圆锥曲线等诸多高中数学的核心知识,渗透了函数与方程、数形结合、转化与化归等重要的数学思想方法．     

折一折，剪一剪

一变二,二变四,折一折就让魔法实现了。剪一剪,涂一涂,部分变成了整体的美图。     

一题多解 覆盖一章

直线是研究各种运动方向和位置关系的基础工具,直线方程是学习圆锥曲线和其他知识的基础,是解析几何的重要知识之一,它涉及到的概念多、公式多、方法多.下面从一道例题的多种解法谈挖掘例题的复习功能,提高复习效率.     

一题、一法、一类

一题、一法、一类蒋涛（江苏滨海县中学２２４５００）例１设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，且ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝１，求证：ｘ１２１－ｘ１＋ｘ２２１－ｘ２＋…＋ｘｎ２１－ｘｎ≥１ｎ－１．（《数学通报》１９９３年７月号问题８４５）我们通过引入参数，给出一种新...     

一题——一法——一类

1982年西德一道数学竟弃题是:昨负实数a:,a:,…,。。满足a, a: … 。.~l,求 口11十a: a3十一 a- 二-厂一一下一一一-下一一-:- l州卜al十aZ,十a3」es…州卜a. 众多书刊都是应用柯西不等式求得最小‘是病·本文运用切贝雪夫不子式将它推广为:… 言,下粤一二,一的最, i,r“l,~“2     

一常见三角公式的另一证法

“在△A刀c中,有t、A十toB十tgC= 即tga=又’:乙CBE=‘分+仇而‘一夕之匕OAE,探一︷劣招Atg山茄”这是一个常见的三角公式,但许多数学参考书都是利用三角证明的。现用另一种方法给予证明。.’.△O月E。△C刀刀,.’o刀C召EA口刀召 证明:如图,设刀D、召E、 CF分别是△A刀C三边上的 高,重心为O, 刀C=a,AC=乙, AB=C,AO=x, 刀O=万,CO=z, 乙BAC=二.乙ABE,乙刀OC=匕EOF,丫在Rt△ABE中,tga=塑二三A丑x c邵十乙之a~、-,·、-,一白‘一万之x整理得:卿:十乙二:+。刀x=a乙。,两边同除以粉之得:,.’乙且CF=(1)(2)(8)‘︸之 .,口一…     

談談一元一次不等式的教学

一元一次不等式是初中代数教材的組成內容之一。在这篇文章里,想談一談我研究了这部分教材后的几点体会。首先要談一下在初中代数里为什么要学习一元一次不等式。这主要是为了滿足以后学习中的需要。例如,在初中代数中学习一元二次方程的根的判別式,学习函数的定义域和值域,以及在高中学习三角吋,都要用到不等式的知識。因此,不能把一元一次不等     

四面体一猜想与数学奥林匹克一试题

编者按：此文讨论的关于四面体的一个问题，在参考文献［３］（１９９３年出版）中被作为一个未解决的猜想，而在１９８２年全苏第１６届数学竞赛中已把此问题作为一个试题．由此看来，需要倡导关注世界上数学研究新进展的风气．从文献［１－２］中可以看出，１９８７年杨...