华中科技大学《高等数学》期末试卷(附答案)

考试时间 ;( 1 50分钟 ) 2 0 0 1 .1 .4一、填空题 (每小题 3分 ,共 1 5分 ) (将答案填在题中横线上 ,不填解题过程 )1 .函数 f ( x) =1 x,x≤ 0 ,ex,x>0 的反函数为 [y=x-1 ,x≤ 1lnx,x>1 .2 .limx→∞2 x2 1x 2 sin 3x=[6.3 .曲线 y =∫x0 sintdt在 0≤ x≤π上的弧长 s=[∫π0 1 sinxdx.(只需写出表达式 ,不必计算 )4 .∫ ∞0dxx2 9=[=π6.5.设函数 y=y( x)由方程 siny xey=0所确定 ,则 dydx=[=-eycosy ey .二、单项选择题 (每小题 3分 ,共 1 5分 )(将唯一正确答案填入圆括号内 )1 .设 f ( x) =3 x-1 ,x<1 ,1 ,　　 x=1 ,3 -x,x>1 ,…     

试题研讨(18)

题 1　设 f(x) =2 -x - af (x - 1 )(x≤ 0 ) ,(x >0 ) .若 f (x) =x有且仅有两个实数解 .则实数 a的取值范围是 (　　 ) .(A) (-∞ ,2 )　　　 (B) [1 ,2 )(C) [1 , ∞ ) (D) (-∞ ,1 ]命题思想　近年高考对基本数学思想和方法的考查得到加强而且更具综合性 ,为此特新编此题作为选择题中的把关题 ,以提高区分度 .评卷分析　本班学生答题情况统计显示此题难度系数为 0 .2 1 ,再除去猜对的情形 ,实际难度系数不到 0 .1 5.主要错误原因是不能利用周期性正确画出分段函数图像而乱选答案 ,或者用特值检验时取值不够典型与计算不准确而误选 (B)…     

C~∞-solutions for the Second Type of Generalized Feigenbaum's Functional Equations

This work focuses on the second type of generalized Feigenbaum's equation(f(x)) = f(f((x))),f(0) = 1, 0 ≤ f(x) ≤ 1, x ∈ [0, 1],where (x) is C∞-increasing function on [0, 1] and satisfies that (0) = 0, 0 (x) 1(x ∈ [0, 1]).Using constructive method, we discuss the existence of C∞-single-valley solutions whose derivatives are not equal to 0 on origin of the above equation.     

综合题新编选登

题 6 7　 已知函数 f(x) =x2 - 2tx + 1,其定义域为 {x| 0≤x≤ 1或 7≤x≤ 8} .1)f(x)在定义域内是否一定有反函数 ?2 )当 f(x)在定义域内有反函数 ,求t的范围 .3)在 2 )的条件下 ,求反函数 f- 1(x) .解　 1)取t =12 ,有 f(0 ) =f(1) =1.∴f(x)在其定义域内不一定有反函数 .2 )∵f(x)在x∈R时其对称轴为x =t.当t≤ 0时 ,f(x)在其定义域内为增函数 ,∴此时 f(x)有反函数 ;同理 ,当t≥ 8时 ,f(x)在其定义域内也有反函数 .图 1　题 6 7图当 1≤t≤ 4时 ,f(x)图象在x∈ [0 ,1]的一段比在x∈ [7,8]的一段更靠近对称轴 .那么要使 f(x)有反函数 ,…     

试题研讨(1)

题 1　 ( 2 0 0 2年 2月武汉市高三调研测试题 ,裴光亚命题 )设 f( x) =x3 - 3x.( )试确定函数 f ( x)的单调区间 ,以及在每一个区间上该函数是增函数还是减函数 ?( )假设 [a, ∞ )是由 ( )解得的f ( x)的一个单调区间 ,f-1( x)是 f( x)在该区间上的反函数 .当 x0 ∈ [a, ∞ )且 f( x0 ) =f-1( x0 )≥ 1时 ,求 x0 的值 .命题溯源　此题第 ( )题与 2 0 0 1年天津市高三质量调查第 1 3题相类似 ,第 ( )题与 2 0 0 1年福建省高三质量检测第 2 1题相类似 ,上述三卷的命题老师可能都受到 2 0 0 0年春季京皖高考第 1 4题的启发 ,开拓考查简单…     

I.J.Matrix定理的进一步推广

文献 [1]— [5 ]连续讨论了 I.J.Matrix定理的一些推广及应用 ,特别是文 [5 ]利用高阶微分的知识简明地给出了一个推广 ,本文给出其进一步的推广 .设 a0 ,a1 ,… ,an 是 n 1个互不相同且不为零的数 ,f ( x)是次数为 m的多项式 ,文 [5 ]讨论的是m相似文献   

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

新题征展(7)

A.题组新编1.设函数 f ( x) =ax bx ( a >0 ,b >0 ) ,则( 1) f ( x)在区间 ( 0 , ∞ )上的最小值为　　 ,其中取得该最小值时 x =　　 ;( 2 )奇函数 f ( x)的递增区间为　　 ,递减区间为　　 ;( 3) f ( x)在区间 ( 0 ,c]上的最小值为　　 .(邹吉奎供题 )2 .已知等差数列 {an}     

剖析一道高考试题 提高解题教学效果

1题目呈现(2015浙江高考文-20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R). (1)当b=a2/4+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围. 对于第(2)问,从题面上看,这是一道以函数和方程为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对二次方程与二次函数之间关系的认知程度,对数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的掌握情况.     

试题研讨(21)

题目　( 2 0 0 3年南昌市高三第二次调研测试题)设函数f ( x)是定义在[- 1 ,0 )∪( 0 ,1 ]上的奇函数,当x∈[- 1 ,0 )时,f ( x) =2 ax 1x2 　( a为实数) .1求当x∈( 0 ,1 ]时,f ( x)的解析式;2若f ( x)在区间( 0 ,1 ]上为增函数,求a的取值范围;3求f( x)在x∈( 0 ,1 ]上的最大值.命题溯源　本题研究了函数y =2 ax -1x2 的单调性及最值,2 0 0 2年天津市高中质量调查理科第1 9题与2 0 0 3年合肥市高三抽样测试第2 2题都涉及此类问题.原解思路　1设x∈( 0 ,1 ],则- x∈[- 1 ,0 ) .又f ( x)为奇函数,则f ( x) =- f ( - x) =- [2 a( - x) 1( -…     

应用题新编选登

题1　某企业有一条价值a万元的生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,提高产品的增加值,就要对流水线进行技术改造,假设增加值y万元与技改投入x万元之间的关系满足1y与(a- x)x2 成正比例.2当x =a2 时,y=a32 .30≤x2 (a- x)≤t,其中t为常数且t∈[0 ,2 ].1)设y=f(x) ,求出f(x)的表达式,并求其定义域;2 )求出增加值y的最大值,并求出此时的技改投入x值.解　1)设y=f (x) =k(a- x ) x2 ,因当x =a2时,y=a32 .故a32 =k(a- a2 ) (a2 ) 2 ,∴k=4 ,从而有y=4 (a- x) x2 .因0≤x2 (a- x) ≤t,解得0≤x≤2 t1+ 2 ta,于是f(x) =4 (a- x) x2 (0≤x≤2 t…     

L_([0,1])~p空间Müntz有理逼近的Jackson型估计

设A={λn}n=1∞为正的实数数列,且当n→∞时,有λn↘0．本文给出了当λn≤Mn-1/2,n=1,2,…,(其中M>0为一正常数)时Muntz系统{xλn}的有理函数在Lp[0,1]空间的逼近速度,主要结论为Rn(f,Λ)Lp≤CMω(f,n-1/2)Lp,1≤p≤∞.     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

函数单调性问题中的恒成立问题

有一类关于函数单调性的判定问题 ,根据函数单调性的定义 ,可转化为恒成立问题后 ,方便、快捷地得以解决 .例 1　设函数 f(x) =logπ(ax2 + 2x)在 [2 ,4 ]上为单调递增函数 ,求a的取值范围 .浙江《中学教研 (数学 )》2 0 0 3年第 4期中 ,用分类讨论法求解此题 ,较繁 ,现简解之 .解　因为 f(x) =logπt在t∈ (0 ,+∞ )上为单调递增函数 ,所以只需t =ax2 + 2x在 [2 ,4 ]上为单调递增函数即可 .若设 2≤x1- 2x1+x2在 [2 ,4 ]上须恒成立 .由…     

关于同号系数的三角级数

<正> 设三角级数 (a_0)/2+sum from n=1 to ∞ a_n cosnx+b_n sinnx 的余弦系数有相同符号(全部≥0或全部≤0),正弦系数也有相同的符号,简称这种级数为同号系数级数.在[1][2]中,我们讨论过这类级数.我们证明了S_n(f;x)-f(x)=0(E_n(f)). (1)这里 S_n(f;x) 是 f(x)的富里埃级数的第 n 个部分和,E_n(f)表示 f(α)的阶不高于 n 的     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

关于Szász-Mirakjan型算子的加权逼近

设S_n(f;x)表示如下的Sz(?)sz-Mirakjan算子:S_n(f;x)=sum from k=0 to ∞ f(k/n)S_(nk)(x),这里S_(nk)(x)=e~(-nx)(nx)~k/k!,x∈[0,∞),f∈C_[0,∞),C_[0,∞),表示在[0,∞)上连续且有界之函数集,1983年在[1]中给出了Sn(f;x)在一致逼近意义下的特征刻划,为讨论L_p逼近,[2]中引进了如下的Sz(?)sz-Mirakjan-Kantorovich算子:     

关于Szász-Mirakjan型算子的加权逼近

设S_n(f;x)表示如下的Sz(?)sz-Mirakjan算子:S_n(f;x)=sum from k=0 to ∞ f(k/n)S_(nk)(x),这里S_(nk)(x)=e~(-nx)(nx)~k/k!,x∈[0,∞),f∈C_[0,∞),C_[0,∞),表示在[0,∞)上连续且有界之函数集,1983年在[1]中给出了Sn(f;x)在一致逼近意义下的特征刻划,为讨论L_p逼近,[2]中引进了如下的Sz(?)sz-Mirakjan-Kantorovich算子:     

吉林大学高等数学(二)期末试题(附答案)

(工科　 2 0 0 1级学生用 ,2 0 0 2年 7月 5日 )一、填空题 (共 2 4分 ,将答案填在横线上 )1 .设 u=xy,则 u x=　 [yxy- 1　 , u y=　 [xylnx　。2 .曲面 z-ez+2 xy=3在点 ( 1 ,2 ,0 )处的切平面方程为　 [2 x+y-4 =0　。3 .函数 u=ln( x2 +y2 +z2 )在点 M( 1 ,2 ,-1 )处的梯度 gradu|M=　 [26 i+46 j-26 k　。4.设平面曲线 L为下半圆 y =-1 -x2 ,则曲线积分∫L( x2 +y2 ) ds=　 [π　。5.设 f( x)是周期为 2的周期函数 ,它在区间 ( -1 ,1 ]上的定义为f ( x) =2 ,-1 相似文献