函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论 当点M（x0,y0）在⊙O：x2＋y2=r2外时,过P（x0,y0）向⊙O：x2＋y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l：x0x＋y0y=r2.     

巧用圆的一般方程解题

圆的一般方程C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）.当点P（x0,y0）在圆外时,x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F〉0,那么x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F的几何意义是什么呢？经过探索,我们发现：结论1已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）,当点P（x0,y0）在圆外时,过点P作圆的切线PA,     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

一类Kolmogorov捕食系统的极限环

本文研究kolmogorov捕食系统{（dx/dt）=x（ψ（x）-φ（y） （dx/dt）=y（bx^m-d） 得到了极限环存在唯一的条件，从而推广了前人相关的结果．其中：ψ（x）=a0＋a1x＋a2x^2＋…＋a（a-1）x^（n-1） -anx^n;n≥m≥1（n,m∈N）,φ（0）=0,φ（y）〉ε〉0（y〉0）.     

关于一类奇异两点边值问题的 Chawla样条方法

1、引言 本文考虑如下的奇异两点边值问题。-1/w（x）（p（x）y＇（x））＇ = f（x,y（x））, x ∈ （0, 1）（1）limx→0＋ p（x）y＇（x） = 0,y（1）=A（2）。     

RESEARCH ANNOUNCEMENTS——Dynamical Behavior for the Three-dimensional Generalized Hasegawa-Mima Equations

We consider the following generalized three-dimensional （3-D） dissipative Hasegawa-Mima equations： △ut - ut ＋ {u, △u} ＋ knuy - vz ＋ α△（u - △u） ＋ f（x, y, z） = 0, （1） vt ＋ {u, v} ＋ uz ＋ γv - β△v = g（x, y, z） （2） with initial datum v｜t=0=u0（x,y,z）,v｜t=0=v0（x,y,z）,（x,y,z）∈Ω∈R^3 （3）.     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

二阶系统边值问题的正解

本文以关于非线性全连续算子的锥不动点定理为工具，研究以下二阶系统边值问题x"（t）＋λa（t）f（x（t），y（t）＝0，y"（t）＋λb（t）g（x（t），y（t））＝0，x（0）＝x（1）＝y（0）＝y（1）＝0．在不假定f单调的情况下，本文得出了上述问题存在正解的若干充分条件．     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

Liouvillian and analytic integrability of the quadratic vector fields having an invariant ellipse

We characterize the Liouvillian and analytic integrability of the quadratic polynomial vector fields in R2 having an invariant ellipse.More precisely,a quadratic system having an invariant ellipse can be written into the form x=x2＋y2-1＋y（ax＋by＋c）,y=x（ax＋by＋c）,and the ellipse becomes x2＋y2=1.We prove that（i） this quadratic system is analytic integrable if and only if a=0;（ii） if x2＋y2=1 is a periodic orbit,then this quadratic system is Liouvillian integrable if and only if x2＋y2=1 is not a limit cycle;and（iii） if x2＋y2=1 is not a periodic orbit,then this quadratic system is Liouvilian integrable if and only if a=0.     

谨防推广的陷阱

对于直线,有如下结论： 若直线l的方程为f（x,y）=Ax＋By＋C=0,及点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,则     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

韦达定理的几何意义巧解一道高考题

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）．韦达定理是：x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a,设不过原点的二次函数y=ax^2＋bx＋c=0的图像与x轴有两个交点A（x1,0）、B（x2,0）与y轴的交点是C（0,c）,过A、B、C做圆M,     

对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

一类平面方程的几何意义

根据点P（x0,y0,z0）与椭球面x^2/a^2＋y^2/b^2＋z^2/c^2=1的三种位置关系,给出平面方程x0x/a^2＋y0y/b^2＋y0y/b^2＋z0z/c^2=1的三种几何意义．     

包含三角形的最小圆

遇到下面一道习题：已知集合P＝{（x,y）│{3x-4y＋3≥0 4x＋3y-6≤0 y≥0},Q={（x,y）│（x-a）^2＋（y-b）^2≤r^2},     

圆的一组有趣规律的探究及推广

点P（x0,y0）与圆x2＋y2=r2的位置关系有三种情况,无论点P在何处（除非与圆心重合）,x0x＋y0y=r2都表示一条确定的直线,那直线x0x＋y0y=r2与圆．x2＋y2=r2到底存在什么关系？笔者经研究后得出如下结论．     

从一道自主招生考试试题看能力考查

华中师范大学2010年自主招生考试数学试题的压轴题是：已知当a〉1时,函数y=x^a（a〉0）的图像如图1所示． （i）设a〉1,试用y=x^a（a〉0）的图像说明,当x1〉0,x2〉0时,不等式 （x1＋x2/x）^a≤x1^a＋x2^a/2①成立．