7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

二次曲线弦的中点问题与代点相减法

直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题，是解析几何中的重要内容，也是历年高考命题的热点之一，其解法丰富多采，千姿百态．本文仅不常用的代点相减法作一些探讨．1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法，就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程，然后借助代数运算实现解题目标．其一般模式是：（1）令弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将其坐标代入二次曲线的方程f（x,y）=0，得f（x1，y1）=0，f（x2，y2）＝0．（2）将（1）中所得的两式相减，并通过因式分解将其整理为只含有x1＋x2，y1＋y2，x1-x2和y1-y2的式子．…     

以直线的斜率公式立意的数学试题

我们知道经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=(y2-y1)/(x2-x1).普通高中数学课程标准对这一公式提出了"理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式"的教学要求,所以直线的斜率是高中数学的重要内     

谈向量方法在有关直线问题中的应用

平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1　有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是　x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是　x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2　…     

圆锥曲线的几个有趣轨迹

本文介绍圆锥曲线的几个有趣轨迹,供同学们学习参考．轨迹1 设A,B是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b >0)的左、右顶点,垂直于x轴的直线与椭圆相交于P,Q两点,则AP与BQ交点的轨迹是 x2/a2-y2/b2=1(y≠0)．     

粗看证法简单 实则过程有误

文[1]给出了一道变式题的另证，笔者认为：这一证法看似简单，实则过程有误．文中自加了一个条件（文[1]的（2）式），这个式子是以“-x代x，-y代y”代入（1）式中而得，那么得到的方程表示的曲线是已知方程的曲线关于原点对称的曲线．文[1]中联立（1）、（2）两式求得的x=y，实际上是以上两个关于原点对称的曲线的交线，那为什么恰好证得x=y呢？这是因为题目的答案本来就是x=y，相当于已知曲线x=y，它关于原点对称的曲线还是x=y，     

探究案例一则

又到了第二课堂活动时间 ,笔者给出了下面这道题让同学们解答、探究 .题目　给定双曲线x2 - y22 =1,过点P( 1,1)能否作直线l ,使l与此双曲线交于Q1,Q2 两点 ,且点P是线段Q1Q2 的中点 ?不一会儿 ,S1同学给出了这样的解答 :假设存在符合题意的直线l,设Q1(x1,y1) ,Q2 (x2 ,y2 ) ,则有x21- y212 =1( 1)x22 - y222 =1( 2 )( 1) - ( 2 )得 :(x1+x2 ) (x1-x2 ) =12 ( y1+ y2 ) ( y1- y2 ) ,显然x1-x2 ≠ 0 ,y1+ y2 ≠ 0 ,∴有 y1- y2x1-x2=2 (x1+x2 )y1+y2,由P( 1,1)为线段Q1Q2 中点 ,有x1+x2 =2 ,y1+ y2 =2 ,则k =2 ,所求直线方程 :y =2x - 1…     

关于直线y=±x＋b的对称曲线的简易求法

众所周知,曲线c：f（x,y）=0关于直线l：y=x的对称曲线为f（y,x）=0,只需把原式中的字母x,y互换就可以了,其原因在于,原图像厂上任一点P（x,y）关于直线l：y=x的对称点为P（y,x）,所以c关于l的对称曲线为f（y,x）=0。同理,c：f（x,y）=0关于直线l：y=-x的对称曲线为f（-y,-x）=0。基于这一思想,我们有如下推广：     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

问题求椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上一点P（x0,y0）处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k（x-x0）,联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2＋y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,     

直线与椭圆位置关系的一个判定定理的简证

文[1]证得下面: 定理若直线ι:Ax By C=0,(A2十B2≠0)与椭圆c:(x-x0)2/a2 (y-y0)2=1有公共点,则有:(Aa)2 (Bb)2≥(Ax0 By0 C)0. 本文给出上述定理的一个简单证明. 证明设x-x0/a=X,y-y0/y=Y,即x=x0 aX,y=y0 bY.则直线ι与椭圆c有公共点(?)方程组     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".     

巧设过一个定点的直线方程

关于直线方程的形式,教材中给出了斜截式、点斜式、截距式、两点式和一般式．学生根据具体题目选择相应的直线形式．当直线过一定点（x0,Y0）时,学生一般会用点斜式将直线设为y-Y0=k（x-x0）,     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…     

直线方程xF1(x0,y0)+yF2(x0,y0)+F3(x0,y0)=0的几何意义

文[1]与文[2]分别探讨了直线方程x0x/a^2 y0y/b^2=1和直线方程x0x/a^2-y0y/b2=1的几何意义，读后深受启发，本文是文[1]与文[2]的继续，探讨了是伴随于非退化二次曲Ax^2 2Bxy Cy^2 2Dx 2Ey f=0的直线方程xF1(x0,y0)     

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…     

来信摘登

1.贵刊2012第4期(下半月)第27页《例析补偿原理在解决不良结构数学问题中的运用》一文例8最后的检验不应该是方程x2/16-y2/9=1和y=x+m的公共解,而应该是双曲线x2/16-y2/9=1与直线AB的公共点,即方程x2/16-y2/9=1与y=-x-725m的公共解,此时用代数法联立方程组运算较繁(得     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

对无理函数最值问题的多种解法的探讨

试题 已知函数y=√(3-x)+√x+1的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/4 B.1/2 C.√2/2 D.√3/2此题作为一道选择题,我们容易得出答案为C,但此题同时也是一道典型的形如y=√(ax+b)+√(cx+d)(ac＜0)的求函数最值的题.它是高中数学的一个热点同时也是一个难点.本文研究此题的多种解法,与大家共勉.1 利用二次函数的性质求最值解法1显然y≥0,两边平方的y2 =4+2√(3+2x-x2),移项得y2-4=2√(3+2x-x2).因为x∈[-1,3],所以3+2x-x2 ∈[0,4],.即2√(3+2x-x2)∈[0,4],所以ymax=2√2,ymin=2.解法2由上面变形得到的y2-4=2√(3+2x-x2),两边再平方整理得4x2 -8x+y4-8y2 +4=0.(*)记f(x)=4x2 -8x+y4-8y2 +4,方程(*)在x∈[-1,3]有解.     

2007年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)

一、填空题(本大题共11题,满分44分)1.函数y=lg(x4--3x)的定义域是.2.若直线l1∶2x my 1=0与直线l2∶y=3x-1平行,则m=.3.函数f(x)=x-x1的反函数f-1(x)=.4.方程9x-6·3x-7=0的解是.5.若x、y∈R ,且x 4y=1,则x·y的最大值是.6.函数y=sinx π3sinx π2的最小正周期T=.7.在五个数字1,2,3,4,5中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).8.以双曲线4x2-y52=1的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是.9.对于非零实数a、b,以下四个命题都成立:①a 1a≠0;②(a b)2=a2 2ab b2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a2…     

一道课本习题的拓展探究

苏教版选修2-1第37页有这样一道习题: 例1在△ABC中,B(—6,0),C(6,0),直线AB,AC的斜率之积是9/4,求顶点A的轨迹方程. 通过计算很容易得到顶点A的轨迹方程是x2/36-y2/81=1(y≠0).