联盟杯数学竞赛的背景及推广

题目已知α为锐角,求证：1/sinα＋（3~（1/3））/cosα≥8.此题是刚刚结束的第五届联盟杯数学竞赛第9题,下面给出其背景及解法,以飨读者.     

一道竞赛题的简解

题目已知α为锐角,求证:1/sinα+3^1/3/cosα≥8.此题为2010年第五届联盟杯数学竞赛第9题,所给的参考答案技巧性较强.另文[1]构设背景使抽象的数学问题具体化,但解题过程过于曲折繁琐.本题可以借助函数的思想,化繁为简.解析令f（α）=1/sinα+3（1/3）/cosα（0<α<π/2）,     

上楼梯问题的一种解法及推广

人民教育出版社《数学》（必修）第一册（上）第129页习题3．5第7题． 已知数列{αn}是等比数列，Sn是其前n项和，α1，α7，α4成等差数列，求2S3，S6，S12-S6成等比数列．     

一道三角不等式的修正

2005年中国东南地区数学奥林匹克的第8题是一道三角不等式如下： 设0〈α,β,γ〈π/2，且sin^3α＋sin^3β＋sin^3γ=1，求证，tan^2α＋tan^2β＋tan^2γ=1≥3/2√3。     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

一道高考题的多角度审视

2007年广东高考数学卷理科第21题：题目已知函数f（x）=x^2＋x-1，α,β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数,设α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f′（αn）（n=1,2，…）．     

2004年高考湖北卷的一道题的来龙去脉

2004年高考湖北卷数学第11题(以下简称"＇04题");已知平面α与平面β所成的二面角为80°,P为α,β外一定点,过P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题(以下简称为＇93题):已知异面直a与b所成的角是50°,P为空间     

一道数学题的几何背景探源及启示

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道吸引大家眼球的试题： 题1 设α,b,c∈R＋,且α^2＋b^2＋c^2＋αbc=4,证明α＋b＋c≤3。     

一道解析几何高考题的多角度思考与引申

（2010年高考安徽卷文科数学第17题）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=2/1（如图1）．     

一道选择题的神机妙算

题目：（2008年全国数学卷Ⅰ第10题）若直线x/a＋x/b=1通过点M（cosa，sina），则（ ）．     

一道竞赛题的“深度解析”与推广

1996年香港国际数学奥林匹克试题“已知α,β∈（0,π/2）,且sin^4α/cos^2β＋cos^4α/sin^2β=1,求证：α＋β=π/2”是一道既有综合性又有创新性的好题,如果仔细对此题的解法作深入的研究,将会有许多意外的收获．     

一题多证真奇妙，改编凸现精彩点

人教版高中数学课本第二册（上）《复习参考题六》A组第8题是： 已知a〉b〉c，求证：1/a-b＋1/b-c＋1/c-a〉0. 本文给出它的多证及改编，希望能够给同学们的学习及数学素养的提高带去帮助．     

赏析一道高考题

1问题提出 2008年高考数学全国卷I理科第19题： 设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB—bcosA=3/5c．     

对两道高考题的进一步思考

2006年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）文科数学第（7）题： 为设x，y为正数，则（x＋y）（1/y＋4/t）的最小值（ ）（A）15．（B）12．（C）9．（D）6．     

例谈隐含条件的发掘方法

隐含条件是数学问题中题设的非凸现性属性，它不易被学生所注意，导致解答结果失误．如：已知a∈(0，π)，且sinα cosα=1／5，求tanα的值．     

一道奥林匹克训练题的简解

《中等数学》2008年第6期“数学奥林匹克训练题（13）”第三大题： 求函数f（x）=√x/x^2＋1的最大值． 原解答用待定参数法求得了结果,篇幅较长,十分繁难．下面给出三种简单易想的解法．     

斯坦纳定理的又一个证明

<数学通报2005年第3期数学问题解答栏1539题为:"已知:α、β为锐角,且sin2α/sin(2α+β)=sin2β/sin(2β+α).求证:α=β".……     

关于逆否命题的一个问题

全日制普通高级中学教科书(试验本)数学新教材第一册(上)(必修)37页习题1．7第3题(3)是这样一道题目．     

一道填空试题的剖析

江苏省2008年数学高考试题第14题（14道填空题中的压轴题）为：题1设函数f（x）=ax^3-一3x＋1（x∈R）,若对于任意x∈[-1,1],都有f（x）≥0成立,则实数a的值为——．     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广． 命题1若A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右顶点，设P为右准线上不同于点（a^2/c，0）的任意一点，若直线AP，LBP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N．则点B在以MN为直径的圆内．