再谈双曲线的光学性质

二次曲线在高中学习中既是一个重点也同时是一个难点.学好二次曲线可以通过解析方法或代数的方法.二次曲线在生产实际中有重要的应用,广为人知的是抛物线的光学性质,同时双曲线和椭圆也具有一些好的光学性质.在2011年北京大学招收保送生试题中就出现了此类型题目,其光学现象是从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线的反射后的光线的虚焦点为它的另一个焦点.     

抛物线与双曲线的光学性质及其综合应用

1　抛物线与双曲线的光学性质注意到 ,抛物线与双曲线的光学性质分别都是由两个部分组成的 ,其详细表述如下 .抛物线的光学性质 :从抛物线的焦点发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都平行于抛物线的轴 ;反之 ,沿着平行于抛物线的轴的方向向抛物线发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都聚交于抛物线的焦点上 .双曲线的光学性质 :从双曲线的一个焦点发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反射光线是散开的 ,它们就好像是从另一个焦点 (称为虚焦点 )发出的一样 ;反之 ,向双曲线的一个焦点 (也称为虚焦点 )发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反…     

圆锥曲线的光学性质的应用

圆锥曲线的光学性质在高中数学课本中有简单介绍,本文介绍它们的应用． 结论1 从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后经过另一个焦点（证明略）．     

“导数视角下”对圆锥曲线光学性质的探究

<正>圆锥曲线是高中数学的重要组成部分,它在生产生活中具有广泛的应用.我们知道,以抛物线为母线绕其对称轴旋转180°形成一个抛物面,在其焦点上放置一个点光源,其发出的光线经抛物面反射镜反射后将沿着平行于对称轴的方向射出,车灯和手电筒都是利用抛物线的这一光学性质设计的.人民教育出版社B版高中教材选修2-1的"数学文化阅读与欣赏"中就介绍了椭圆、双曲线和抛物线的光学性质,但是没有给出证     

“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考

1椭圆光学性质简介椭圆光学性质是指:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.其等价形式有:椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同.椭圆的光学性质在生产与科技方面有着广泛应用,如电影放映机的聚光灯泡(如图1),以及光能的换位聚焦等就是利用椭圆的这一性质.     

2011年北京大学保送生考试数学试题赏析

点评此题即是双曲线的光学性质,在课本中有介绍,椭圆、抛物线也有类似的光学性质,请同学们查阅资料,自行证明．     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

有关直角双曲线的一些性质

近年,在二次曲线上的研究中,发现直角双曲线可以由它的内接三角形的垂心生成,且用射影几何的方法比用平面几何方法处理更自然、条理更清楚.在此基础上,用射影几何的方法得到一些直角双曲线的性质,给出了直角双曲线的其它生成方法.     

圆锥曲线光学性质的证明

在物理学中有关于圆锥曲线的光学性质的论述,这里给出性质的数学证明,我们力求使证明简洁易懂,避开繁琐的计算.一、圆锥曲线的光学性质1.1椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上(如图1.1)     

过双曲线的焦点且长度为m的弦有几条

过双曲线的焦点且长度为ｍ的弦有几条向本清（湖南城步一中）研究直线与二次曲线的位置关系是平面解析几何的主要内容之一，也是近年来高考解析几何命题的热点之一．过二次曲线的焦点且长度为ｍ的弦有几条？这一问题对于椭圆与抛物线来说较为简单，但是对双曲线来说稍为复...     

二次曲线垂直切线的研究

用解析几何与射影几何的方法讨论二次曲线垂直切线交点的轨迹,重新证明了:椭圆、双曲线垂直切线交点的轨迹是圆;抛物线垂直切线的交点在准线上,且切点的连线过焦点.     

有关椭圆焦点的一些性质

在二次曲线的研究中,有些问题用射影几何的方法比用平面几何方法处理更简单、自然,且条理更清楚.用射影几何的方法,将二次曲线中的椭圆放在拓广平面上,给出椭圆特别是有关椭圆焦点的许多有趣性质.     

椭圆、双曲线的一个定值性质及极端情形

在对圆锥曲线的研究中,笔者偶得关于椭圆、双曲线的如下一个涉及焦点、中心的定值性质.     

黄金双曲线的若干性质

文[1]给出了黄金椭圆的定义和性质.阅后很受启发,类似地,本文给出黄金双曲线的定义及性质.定义若双曲线x2a2-by22=1的离心率为黄金比的倒数(记w=52-1,e=ac=1w=5 2 1),则称双曲线为黄金双曲线.性质1黄金双曲线都具有方程x2-wy2=a2的形式.性质2在黄金双曲线中,任一焦点F和它距离较远的实轴的端点A以及虚轴的任一端点B所成的角∠FBA=90°.性质3在黄金双曲线中,虚轴是实轴和焦距的等比中项.性质4黄金双曲线的虚端点圆面积(就是以双曲线的中心为圆心,过虚轴端点的圆的面积,下类同)是实端点圆面积和焦点圆面积的等比中项.以上性质的证明比较容…     

同一法证明圆锥曲线光学性质及应用举例北大核心

1圆锥曲线的光学性质 1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上（如图1．1）     

椭圆、双曲线的一个定值性质及极端情形

在对圆锥曲线的研究中,笔者偶得关于椭圆、双曲线的如下一个涉及焦点、中心的定值性质.定理1设     

充分利用二次曲线的定义解题

李存虎 ( 194 7— ) ,男 ,陕西蓝田人 ,中学高级教师高中数学教材关于椭圆、双曲线、抛物线给出第一定义和统一定义 .第一定义展示了三类曲线的各自独特的性质及几何特征 ;统一定义则深刻地揭示了三类曲线的内在联系 ,使焦点、离心率、准线等构成和谐的整体 .灵活地运用这两种定义在二次曲线中解有关证明、计算及求点的轨迹问题时 ,能达到直观方便 ,简洁易行的解题效果 ,同时能开拓学生视野 ,加深对二次曲线的认识和理解 .例 1　已知椭圆 ｘ216 ｙ27=1及点Ｍ ( 2 ,1) ,Ｆ1 ,Ｆ2 分别是左、右焦点 .设Ａ是椭圆上的动点 ,求 |ＡＭ | |ＡＦ2 |…     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

同一法证明圆锥曲线光学性质及应用举例

1 圆锥曲线的光学性质 1.1 椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上(如图1.1)     

浅议椭圆与双曲线的两条性质及其应用

在解析几何学习中，同学们对椭圆与双曲线的焦点的性质已经有一个全面的了解．但是，对椭圆和双曲线的顶点具有什么性质不是十分清楚，本文给出椭圆与双曲线的顶点的两条性质，供大家参考．