向量的"闭合回路"在解题中的应用

所谓"闭合回路"指的是由折线A1A2,A2A3,…,AnA1所组成的封闭图形A1A2…An中,对于向量有A1A2→A2A3→+…+AnA1→=0.这个结论内涵丰富,非常有用,特别是在求数量积、求两点之间的距离、求角、求值等方面应用非常方便.本文通过数例,阐述这个结论的具体应用,以引起读者的关注,从而在复习中强化这个结论,可以提高学生运用这一知识解题的能力.     

一个向量恒等式在解题中的应用

若A1，A2，…，An-1，An围成封闭折线，则有如下的向量恒等式^→A1A2 →A2A3 …^→AnA1，本文举例说明该恒等式在解题中的应用．     

封闭折线中的一个幽美不等式

本文所述的封闭折线，若无特别声明，都是指空间封闭折线（包括平面封闭折线在内）．定义1封闭折线A1A2A3…AnA1的任意两条相邻的边所成的劣角（小于平角的角），称为这年封闭折线的顶角．顶点为Ai的记作Ai（i＝1，2，…，n）．定义2所有项角都相等的封闭折线，称为等角闭拆线；否则，就称为非等角闭折线．定义3在封闭折线A1A2A3…AnA1中，若点Bi是边AiAi＋1的内点（i＝1，2，…，n，且An＋1为A1，如图1所示），则封闭折线B1B2B3…BnB1称为A1A2A3…AnA1的内接闭折线，在本文的讨论中，约定封闭折线A1A2A3…AnA1的周长记作pA，…     

向量“闭合回路”在解题中的作用

何谓向量的"闭合回路",指的是由折线段A₁A₂,A₂A₃,…,A_nA₁所围成的封闭图形A₁A₂…A_n,对于向量A₁（?）+A₂（?）+…+A_n（?）=（?）,该结论内涵丰富,应用价值高.特别是在求数量积,求两点间的距离,求值,求角等方面     

一个结论的商榷

本刊2007年第23期刊载了纪保存老师的《正三角形向量特征的推广》一文,其结论3是：在n边形A1A2……An（n≥3）中,设A1A2=a1,A2A3=a2,……AnA1=an,则n边形A1A2…An是正n边形的充要条件是所有首尾相连的两个向量的数量积都相等,     

向量的闭合回路在问题解决中的巧妙运用

所谓“向量的闭合回路”就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到原点的那个通路．显然,n个向量构成闭合回路的条件是相邻两个向量都必须首尾相接,     

新教材中几点商榷之处

1．人教A版选修2-1P98A组第11题已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a-b，c是空间的另一个基底，若向量p在基底口，b，c下的坐标为（1，2，3），求p在基底a＋b，a-b，c下的坐标．     

封闭折线的同侧点及其性质

本文所讨论的封闭折线，都是平面封闭折线．定义1设M是封闭折线A2A2A3…AnA1所在平面内的定点．，动点P沿着这条析线的边A2A2，A2A3，…，AnA1依次行进，若定点M始终处于动点P行进方向的左侧（或右侧），则点M称为这条封闭折线的左侧点（或右侧．戈）．左侧点与右侧点统称为同侧点．定义2一条封闭析线的所有同侧点组成的集合，称为这条封闭折线的同侧域．例如，困1中的点M就是封闭折线AIA。A3…A7AI的同侧点，阴影部分（不包含边界）是这条封闭拆线的同侧城．定义3设封闭折线AIAZA3…A。AI有同侧，k．M，若，k．M位于ZA。A；…     

面积等式的一种证法

本文约定，按照反时针顺序排列n（n>3，nN）边形的顶点：A1（x1，y1），A2（x2，y2），……，An-1（xn-1，yn-1），An（xn，yn）．n边形的面积S－＝MIj。Zt、I．、。。…、；．、；、，J“＼y！yZ””’yn－ly。yil一7卜IyZ＋xZy3＋”””十x。－I人十xJ！一（yllZ－I－y。2。＋…－I－y。；2。－I－ygn；）］［‘］（l）本文应用公式（豆）证明一些数学竞睿试题中的面积等式（面积不等式另文介绍）．例1在凸四边形ABCD中，E、F分别是BC、DA的中点．已知凸W面积为2．8，thAED面积为2．4，求四边形ABCD的面积（1990年安庆市…     

“向量回路法”为求空间角注入新的活力

说起“向量回路法”,或许之前你从没听说过,对它陌生不已．可它确实为求“空间角”注入新的途径、新的契机,特别是求“难以建系或难以找‘平面角’”的立几“空间角”题,更是魅力无尽．     

平面四边闭折线有向面积的一个性质

定义1[1]对于平面内任意一条闭折线A(n)=A1A2…AnA1,设顶点Ai的坐标为(xi,yi)(i=1,2,…,n),那么式子12x1y1x2y2 xx32yy23 … yn-1yn-1xnyn xxn1yy1n的值,称为闭折线A(n)的有向面积.记作Δ-A(n)(或Δ-A1A2…AnA1),即Δ-A(n)=21xx12yy21 xx32yy23 … xn-1yn-1xnyn xxn1yy1n定义2[     

数学问题解答

1999年9月号问题解答（解答由问题提供人给出）12if．求ig勺O”＋ig‘SO”＋tgc7o“的值．解设A—ig1o”一ig5o”＋ig7o“，B—tglo“ig7o“－tglootg500－ig5o”ig7o”，C—tglo”ig5o”ig700．首先，求出A、B、C的值．由ig3a的公式得，ig“a－3ig3atg“a－3tga＋ig3a—O，易见，a—－SO”、IOo、7O”是方程ig‘a－／3ig‘a－3tga＋H’－j—’、—－·—－”一”3一O的在正切函数tga的单调区间（－goo，gO肝内的三个不同的根，由韦达定理得：A一人，B—一A3，卜———”～3其次，令D，；一ig”Ic“＋（－ig5o“）’‘＋ig”7O（n…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

再解二次曲线的相交的问题

文[1]中两位老师利用二次方程的实根分布来解决这类问题．然而我们发现，运用三角代换，转化为求函数值域是一种良策，本文后一例更能说明这一点．为便于大家比较，前两例进原文例．例1已知集合M求m的取值范围．可令中,得则上面关于θ的方程有实解时，求m的取值范围．从方程（1）中“分离”出参数m得m，这样求m的范围转化为农函数2cosθ的值域．时，m取最大值m取小值例2当R在什么范围取值时，动圆A：（x－1）2＋y2＝R2与椭圆x2＋4y2＝4总有公共点？照由x2＋4y2＝4可得例3当实数a在什么范围内取值时，曲有公共点？x＝2tg2θ，将此又代入a＝…     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1），求，（x）的最小值； （2）设正数p1，p2，p3，…，p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1，求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．     

基本不等式中的“一正二定三相等”

“一正二定三相等”是指在应用基本不等式a1＋a2＋…＋an/n≥√a1·a2·…·an求函数的最值时,需同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数;（2）和或积为定值;（3）具有等号成立的条件．然而在求解时,学生往往考虑不周,造成解题错误,主要体现在以下三个方面：     

向量中两个问题的辨析

问题1　已知A( 3,4 ) ,B( 9,2 ) ,把向量AB按a( - 2 ,3)平移,求平移后所得向量的坐标.解　[解法1 ]　AB =( 6 ,- 2 ) ,根据平移公式x′=x - 2 ,y′=y + 3,那么平移后的AB =( 4 ,1 ) .[解法2 ]　根据平移公式得A ( 1 ,7) ,B( 7,5) ,那么AB =( 6 ,- 2 ) .辨析　两种解法结果不同,哪种方法对呢?解法1是先求向量AB再平移;解法2是先移A ,B两点再求向量AB .要解决这个问题,首先要搞清图形的平移与向量平移的区别.教材中讲的平移有两种:一种是图形平移,一种是向量平移.向量平移是不改变大小和方向的,当然坐标也不变,所以本题中AB =( 6 ,- 2…     

用整体代换处理求值类问题

在解决某些数学问题时，可将待求式（或待证式）用一个未知数来表示，然后根据题设条件求出此未知数，从而使问题获得解决，这种方法称为整体代换法．应用此法可将一些问题化繁为简，化难为易．现举例说明如下：1求值故所求原式的值为0或2．2求取值范围例2已知sinx＋siny=1，求cosx cosy的取值范围．故cosx＋cosy的取值范围是例3已知X、y为实数，且x2 xy＋y2=1，求x2-xy y2的取值范围．解设x2-xy＋y2=k，则有的两个实数根．故x2-xy＋y2的取值范围是3证明等式k—1，故等式成立．倒5求证：4任用不苦大N6已知实数a、b满足a十b＝1，求解得故N7…