椭圆、双曲线的一个定值性质及极端情形

在对圆锥曲线的研究中,笔者偶得关于椭圆、双曲线的如下一个涉及焦点、中心的定值性质.定理1设     

关于双曲线 椭圆的一个性质

1　引子笔者在研究圆锥曲线时 ,发现图 1中的凸四边形AF1BF2 有内切圆 .事实上 ,由双曲线定义 :｜AF1｜- ｜AF2 ｜=｜BF1｜ - ｜BF2 ｜即 ｜AF1｜+ ｜BF2 ｜ =图 2｜AF2 ｜ + ｜BF1｜表明 ,四边形AF1BF2的两组对边之和相等 .由平几知识 ,知 :AF1BF2 有内切圆 .进一步 ,若AF1BF2 为凹四边形时 ,会有什么情况 .经过探求 ,得到以下结论 .图 32　性质性质 1　A ,B分别是双曲线同支上两点 ,连AF1,AF2 ,BF1,BF2 .( 1 )若四边形AF1BF2为凸四边形时 ,AF1BF2 有内切圆 (图 1 ) .　　 ( 2 )若四边形AF1BF2 为凹四边形时 ,则四边…     

椭圆双曲线焦点三角形的若干性质

文[1]介绍了椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1焦点三角形的7个个性质，笔者读后深受启发，经过研究，笔者也得到了椭圆焦点三角形的若干性质，作为对文[1]的补充．     

椭圆、双曲线的一个对偶性质

在对圆锥曲线的研究中,笔者发现椭圆、双曲线有一个非常有趣的对偶性质.     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

圆锥曲线的一组定值

文[1]给出了椭圆、双曲线的一个有趣性质，笔者经过探究，发现该性质可以推广．     

有心圆锥曲线与焦点准线相关的一个定值性质

性质1已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,点O是椭圆的中心,点F是椭圆的一个焦点,M是相应于焦点F的准线l上的任一点,过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,则｜ON｜=a．     

圆锥曲线的一个统一定值性质

笔者通过研究，发现圆锥曲线的一个统一定值性质，现介绍如下．：     

椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一组性质

本文借助于椭圆焦点三角形角平分线的方程,通过探究得到了椭圆焦点三角形角平分线的一组性质,并将此性质推广到双曲线中.     

双曲线中几个有趣的定值

在圆锥曲线中,蕴涵着许多结构新颖独特、内容丰富多彩的性质,我在学习过程中发现,双曲线中有几个有趣的定值,介绍如下．     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点,根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型,然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论,使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

共焦点椭圆、双曲线的两个性质及应用

在求解一道共焦点的椭圆和双曲线的题目时,从离心率的视角展开了探究,发现了两个性质,并举例说明其应用.     

椭圆和双曲线中一个有趣的不等式

圆锥曲线积沉深厚的文化底蕴,潜在许多的优美性质,笔者对椭圆和双曲线上的点和对两条准线和对称轴的交点作了研究,得到了如下一个有趣的不等式．     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用． 定理1如果直线z与离心率为P的双曲线C：     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．