直线上整点个数及圆上有理点个数问题

2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)中有一道这样的题目:在平面直角坐标系中,如果x和y都是整数,则称点(x,y)为整数,下列命题中正确的是:(1)存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;     

数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g（f（x））的零点问题,即复合函数方程g（f（x））=0的根,令u=f（x）（内层方程）,这样g（f（x））=0就转化成g（u）=0.当外层方程g（u）=0容易求解时,可以先解方程g（u）=0,再解内层方程u=f（x）,这样方程的总个数即为复合函数y=g（f（x））的零点个数.     

广义Pell方程Ax^2-By^2=4的通解公式

主要运用 Lucas 数的奇偶性,讨论了当 A, B 是适合 A〉1,2-AB 且 AB 非平方数的正整数时,广义 Pell 方程的整数解（x, y）,即给出了方程 Ax^2 -By^2=4适合gcd（x, y）=1的整数解（x, y）的通解公式。     

争鸣

问题147 下面是一道常见的三角函数题： 若函数y=tanwx（w〉0）满足当自变量x在任意两个连续整数间（包括两个整数本身）取值时，函数y至少两次失去意义，求w的取值范围．     

这个"1"有用吗——对课堂一则片段性教学的反思

案例 最近笔者在高三数学教学高考复习指导中遇到这样一个问题：设f′（x）是函数f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图像如图1所示，则y=f（x）的图像最有可能的是（ ）     

一个函数最值问题的探究

文[1]给出了这样一个不等式： 已知x，y∈R^＋，且x＋y=1，则 （x-1/x）（y-1/y）≤9/4 设x＋y=S， f（x,y）=（x-1/x）（y-1/y）。     

上半连续函数的拟凸性

在这篇文章里,证明了下述结果：设是非空开凸集,f是C上的上半连续函数且存在α∈（0,1）,使得f（αx＋（1－α）y≤max｛f（x）,f（y）｝,∨x》,y∈C则f为C上的拟凸函数．     

一道耐人寻味的抛物线习题

有这样一道习题：设A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线x2=4y上不同的两点,该抛物线在点A,B处的两条切线相交于点C。     

关于图的距离标号问题

图G的L（2，1）-标号是一个从顶点V（G）集到非负整数集的函数f（x），使得若d（x，y）：1，则｜f（x）-f（y）｜≥2；若d（x，y）=2，则｜f（x）-f（y）｜≥1。图G的L（2，1）-标号数A（G）是使得G有max{f（v）：v∈V（G）}=k的L（2，1）-标号中的最小数愚。本文将L（2，1）-标号问题推广到更一般的情形即L（d1，d2，d3）-标号问题，并得出了复合图的λd1，d2，d3（G）的上界。     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

y=f（a＋x）的特征确定y=f（x）的哪些性质？

函数y=f（a＋x）（a≠0，以下不特别说明都有这样的要求）是由函数y=f（x）经过简单的函数复合得来。它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系．试题常以告诉y=f（a＋x）的性质。研究y=f（x）以及y=f（x）的其它复合函数的性质的形式命制．那么y=f（a＋x）的特征决定了y=f（x）的哪些性质？对这个问题的回答是解决这类问题的关键所在．     

f_(xy)(x_0,y_0)=f_(yx)(x_0,y_0)一个充分条件的介绍

一般高等数学教材中是这样给出二元函数二阶混合偏导数与求导次序无关的条件的：如果在点连续，则这个充分条件是可以减弱的，现介绍如下：定理如果在点（x。，y。）的某一邻域内，人（x，s）与人（x，，）都连续，且人（x，s）在（x。，y。）处连续，则几（x。，y。）存在，且人／X。，y）一九（X。，y）．证由偏导数的定义故只需证明（）、（2）两式右端之极限存在且相等。由于人（。，g）在（x。，g。）连续，从而由Lagrange中值定理有Q（｝1，足）一g（yo＋k）－g（yo）一kg’（yo＋0k），此处O＜「＜1．而／（y）一人（X。＋4，y）…     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

关于直线y=±x＋b的对称曲线的简易求法

众所周知,曲线c：f（x,y）=0关于直线l：y=x的对称曲线为f（y,x）=0,只需把原式中的字母x,y互换就可以了,其原因在于,原图像厂上任一点P（x,y）关于直线l：y=x的对称点为P（y,x）,所以c关于l的对称曲线为f（y,x）=0。同理,c：f（x,y）=0关于直线l：y=-x的对称曲线为f（-y,-x）=0。基于这一思想,我们有如下推广：     

一类椭圆曲线有正整数点的判别条件

设p是适合p≡1（mod81的奇素数．本文主要利用初等方法证明了椭圆曲线y2=px（x2＋1）在P≡9（rood16）时没有正整数点（x,y）;并且对于p≡1（mod16）的情况,给出了该椭圆曲线有整数点的两个判别条件．     

由分析一道高考模拟试题引发的思考

一、问题提出 在2010年4月的上海市松江区模拟考试中有这样一道压轴题： 设函数f（x）的定义域为D,值域为B,如果存在函数x=g（t）,使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B,那么,称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换。     

关于振荡函数积分的渐近展开问题

的渐近展开问题,其中{x}=x-[x],[x]为不超过x的最大整数,f(x,y)∈C在徐利治和周蕴时[3]中,他们又把[1]的展开式拓广成N不是正整数的一般情形,获得这样的定理:设C中函数f(x,y)关于x有m阶连续偏导数,那么对于充分大的N有渐     

关于函数及其反函数交点问题的探讨

2007年重庆高考数学试题文科第（10）题,题目是这样的： 设P（3,1）为二次函数f（x）=ax^2-2ax＋b（x≥1）的图像与其反函数y=f^-1（x）的图像的一个交点,则（ ）。     

对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

一类四阶边值问题正解的存在性

证明了四阶边值同题{y^（4）=λα（x）f（y（x）,y＂（x）） x∈（0,1） y（0）=y（1）=y＂（0）=y＂（1）=0.当λ〉0，且充分小时正解的存在性，其中：α：[0，1]→R连续，f（0，0）〉0本文的工具是Leray—Schauder不动点定理．